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26.2.6用待定系数法求二次函数的解析式1


用待定系数法
求二次函数关系式

说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

y=3x2
y= -2x2+3

顶点(0.0)对称轴y轴
顶点(0.3)对称轴y轴 顶点(-3.0)对称轴直线X=-3 顶点(2.1)对称轴直线X=2 顶点(-1.2)对称轴直线X=-1

r />
y= - 4(x+3)2
1 (x-2)2+1 y= 2

y=x2+2x+3

温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式?
? 一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) ? 顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)

猜一 猜
思考: 1.如果要求二次函数解析式y=ax2+bx+c (a≠0)中的a、b、c,至少需要几个点的坐标?

2.如果要求二次函数解析式y=a(x-h)2+k (a≠0)中的a,h,k,需要几个点的坐标?

例1:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数 值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值 为7,求这个二次函数的解析试 . 2
解:设所求的二次函数 为y ? ax ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4 4a ? 2b ? c ? 7

待定系数法

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5

?所求的二次函数是 y ? 2x 2 ? 3x ? 5









例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
一般式: y=ax2+bx+c

的距离为4,求此二次函数的解析式. 解: 设函数关系式 y=a(x-3)2-2
∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3

∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2 1 a= 2 1 ∴y= (x-3)2-2 2

顶点式: y=a(x-h)2+k

练习1:根据二次函数的图象上三个点的坐标(-1,0) ,(3,0),(1,-5),求函数解析式。
解法一 设所求二次函数解析式为:y = ax2+bx+c. 又抛物线过点(-1,0),(3,0),(1,-5),依题意得
a–b+c=0 9a+3b+c = 0 解得 a + b + c=-5
a?
b??

5 4
5 2

c??

∴所求的函数解析式为 y ? 。

5 2 5 15 x ? x? 4 2 4

15 4

练习1:根据二次函数的图象上三个点的坐标(-1,0),(3,0 ),(1,-5),求函数解析式。

解法二 ∵点(-1,0)和(3,0)是关于直线x =1 对称,显然( 1 , -5 )是抛物线的顶点坐标, 故可设二次函数解析式为:y = a(x-1)2-5, 又抛物 5 2 a ? 线过点(3,0),0=a(3-1) -5, 解得 , ∴ 4 , y ? 5 ( x ? 1) ? 5
2

4

即所求的函数解析式为

y?

5 2 5 15 x ? x? 。 4 2 4

练习1:根据二次函数的图象上三个点的坐标(-1,0),(3,0 ),(1,-5),求函数解析式。

解法三 经上述分析,点(1,-5)是抛物线的顶 点坐标,依题意得: 5
b ? ?1 2a

a?

4

5 解得 2 15 c ? ? a-b+c=0 4 5 2 5 15 即所求的函数解析式为 y ? x ? x ? 4 2 4

4ac ? b 2 ? ?5 4a

b??



练习2:根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式 (1)已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3) 已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是(1,2)

∴设y=a(x-1)2+2,又过点(2,3)
∴a(2-1)2+2=3,∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3

练习3:已知二次函数的图像过(-1,2),(0,1),(2, -7) 已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,

设y=ax2+bx+c过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点 a-b+c=2
c=1 a=-1



解之得

b=-2 c=1

4a+2b+c=-7
y=-x2-2x+1

练习4:已知一抛物线与x轴的交点A(-2,0),B(1,0) 且经过点C(2,8) (1)求该抛物线的解析式 (2)求该抛物线的顶点坐标 由已知,抛物线过点(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点, 得 解:设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c 4a-2b+c=0 a=2 解这个方程组得, a+b+c=0 b=2 4a+2b+c=8 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 所以该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2) C=-4

练习5:二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3, 最小值为-2,,且过(0,1),求此函数的解析式 。

方 法 小 结
用待定系数法确定二次函数解析式的基本方 法分四步完成:一设、二代、三解、四还原 一设:指先设出二次函数的解析式 二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中

二次函数关系式 2 ? 一般式 y=ax +bx+c (a≠0) ? 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
去 配 括 方 号

1. 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设为一般 式y=ax2+bx+c

2. 当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点 式y=a(x-h)2+k

作业:课本14页9题(1)(2) 《课时作业》13---14页


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