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湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试文科数学试题

时间:2015-05-19


2015 届黄冈中学高三 5 月模拟考试 数学(文)试题
命题:熊 斌 校对:胡小琴 审 题:曾建民

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中

,只有一个符 合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. )

? 1? i ? 1. ? ? ? 1? i ?
A. i

2015

?(

) B. ? 1 C. 1 D. ? i ) C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

2.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是(
2 2

A. x ? 2 y ? 1 ? 0 率为( )

B. x ? 2 y ? 2 ? 0

3. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概
1 2 A. B. 5 5 4. 已知 x 与 y 之间的一组数据:
C.

3 5
1 3 2 5.5 3 7

D.

4 5

x y

0

m

? =2.1 x +0.85,则 m 的值为( 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y
A. 1 B. 0.85 C. 0.7



x x 5.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? (0,

?
2

D. 0.5

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是(
D. p ? (?q)



A. (?p) ? q

B. (?p) ? (?q )

C. p ? (?q)

6.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三 角形。若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0,2,0) , 则第五个顶点的坐标可能为( A. (1,1,1) ) B. (1,1, 2 )
·1 · 俯视图 正视图 侧视图

C. (1,1, 3 )

D. (2,2, 3 )

7.程序框图如下图所示,当 A ?

24 时,输出的 k 的值为( 25
1 k (k ? 1)



开始

k ? 1, S ? 0

S?S?

S?A



输出 k

结束


k ? k ?1

A.23

B.24

C.25

D.26

2 8.如图,已知抛物线 y ? 2 px

( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线


x y ? 2 ? 1 的右焦点,且两条曲 2 a b
y

2

2

线的交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为( A. C.

2 ?1 2

B. 2 D.

2 ?1

[

O

F

x

9. 我们处在一个有声世界里 , 不同场合 , 人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是分贝

(dB) ,对于一个强度为 I 的声波,其音量的大小 ? 可由如下公式计算: ? ? 10lg

I (其中 I 0 是人 I0


耳能听到的声音的最低声波强度),则 70 dB 的声音强度 I1 是 60 dB 的声音强度 I 2 的( A.2 倍 B .5 倍 C.10 倍 D.20 倍

10.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

)的部分图象如图所

示,下列说法正确的个数是( ) 2? ① f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称 3 5? ② f ( x) 的图象关于点 (? ,0) 对称 12 ? ③ 若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根,则实 2 数 m 的取值范围为 (?2, ? 3] ? ④将函数 y ? 2cos 2 x 的图象向右平移 个单位可得到函数 f ( x) 的图象 12 A.0 B.1 C.2 D.3
·2 ·

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 11.若向量 a , b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 12. 已知实数 x , y 满足 ?

6 ,则 a ? b ?

C1 A1 B1

?1 ? x ? y ? 3 ,则 4 x ? 2 y 的取值范围是 ??1 ? x ? y ? 1

13. 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面是边长为 1 的正三角形,

AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 2 ,则 BC1 与侧面 ACC1 A1 所成的角的
大小为_____________

C A B

14. 已知 cos(? ?

?
4

)?

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 10 2 3

.

15. 已 知 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 ?0, ??? 上 单 调 递 减 , 若 实 数 a 满 足

f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f ?1? ,则实数 a 的取值范围是
2

16. 如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,以 A 为圆心, AC 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 BA

B 为圆心, BA1 为半径,沿逆 延长线于 A 1 ,记弧 CA 1 的长为 l1 ;以
时针方向画圆弧, 交 CB 延长线于 A2 , 记弧 A1 A2 的长为 l2 ; 以C 为 圆心,CA2 为半径,逆时针方向画圆弧,交 AC 延长线于 A3 ,记弧

A2 A3 的长为 l3 ,则 l1 +l2 ? l3 ?

.如此继续以 A 为圆心, AA3 为半径,沿逆时针方 ,当弧长 ln ? 8? 时, n ? .

向画圆弧,交 AA1 延长线于 A4 ,记弧 A3 A4 的长为 l4 ,

? a, a ? b 17.定义 min{a, b} ? ? ,设函数 f ( x) ? min 2 x ,| x ? 2 | ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图 ?b, b ? a

?

?

像有三个交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围为

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 18.(本小题满分 12 分)
·3 ·

在 ΔABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 4sin A sin C - 4 cos
(Ⅰ)求角 B 的大小 (Ⅱ)若 C ?

2

A?C ? 2 ? 2. 2

?
3

, b ? 2, 求 ?ABC 的面积 S .

19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的奇数项是首项为 1 公差为 d 的等差数列,偶数项是首项为 2 公比为 q 的等比数列. {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S3 ? a4 , a3 ? a5 ? 2 ? a4 . (Ⅰ)求 d 和 q 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和 S n .
A
D

20. (本小题满分 13 分)已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC ,

AD // EF // BC , CF ? BE ? AD ? EF ?

1 BC ? 2 , AE ? 2 , 2
F

G 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求证: EG ? 平面 BDF (Ⅲ )求此多面体 ABCDEF 的体积.
E B
G

C

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的
x

底数. (Ⅰ)若 g ( x) 在 (1, g (1)) 处的切线与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上的最小值; (Ⅲ)试探究是否存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若存在,求 出区间 M ,并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 22.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2,一 a b
个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

·4 ·

(Ⅱ)椭圆 C 的右焦点为 F ,过 F 点的两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,直线 l1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, 直线 l2 与直线 x ? 4 交于 T 点. (i)求证:线段 PQ 的中点 G 在直线 OT 上;

(ii)求

TF 的取值范围. PQ

参考答案 DABDD 11. 1 12. CBACC

?2,10?

13.

? 6

14.

4?3 3 10

15. (0, ]

1 2

? 2, ?? ?

16. 4 ? ; 12

17. (4,8 ? 2 3)
2

18. 解: (1)由条件得 4sin A sin C =2(2 cos 即 4sin A sin C = 2cos( A ? C ) ? 化简得 cos( A ? C ) ? ? ∵0 ? A?C ? ? 又 A? B ?C ?? ∴ ∴

A?C ? 1) ? 2 2

2 = 2(cos A cos C ? sin A sin C ) ? 2

2 , 2
A?C ? 3? 4
………………………

B=

? 4

(2) 法一 由正弦定理得:
2 2 2

b c 2 c ? 即 ? ,则 c ? 6 0 sin B sin C sin 45 sin 600
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B得4=a ? 2 3a ? 6 ,即 a ? 2 3a ? 2 ? 0

?a ? 3 ? 1或a ? 3 ?1(舍去)
·5 ·

S?

1 3? 3 ab sin C ? 2 2
2? 3 2 ? 6. sin A ? sin( B ? C ) ? 2 ? 6 . 4 2 2

b sin C ? 法二(Ⅱ) c ? sin B

1 3? 3 S ? bc sin A ? 2 2
19.解析 :解:( 1 )根据题意得: ?

?1 ? 2 ? 1 ? d ? 2q ?1 ? d ? 1 ? 2d ? 2 ? 2q

即: ?

?4 ? d ? 2q ?d ? 2 解得: ? ?3d ? 2q ?q ? 3

(2)由(1)得: an ? ?

n, n是奇数 ? ? ?2 ? 3 ?
n?2 2

, n是偶数

所以:当n为偶数时,其中有

n n n n2 个奇数项, 个偶数项。奇数项的和为: ,偶数项的和为:32 ? 1 。 2 2 4

n2 n 所以 Sn ? + 32 ? 1 。当n为奇数时,n+1为偶数, Sn ? Sn?1 ? an?1 4

? n ? 1? =
4

2

?3

n ?1 2

?1 ? 2 ? 3

? n ?1??2
2

? n ? 1? ?
4

2

?3

n ?1 2

?1

20. 解析:证明: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形,
·6 ·

∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵ EF //BG, EF ? BE , ∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF . (3) VABCDEF ? VB ? AEFD ? VD ? BCF ,作 BH ? EF 于 H , ? BH ? 平 ? 平面 AEFD ? 平面 BEFC , 面 AEFD , EG // CF ,? CF ? 平面 BDF

1 4 3 1 1 4 3 BH ? 3 , VB ? AEFD ? ? 3 ? 2 ? 2 ? , VD ? BCF ? VC ? BFD ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 3 2 3 8 ?VABCDEF ? 3 3

21.解: (Ⅰ)

g ( x) ? ax ? ln x ,? g (1) ? a , g ?( x) ? a ?

1 x

1 g ( x) 在 (1, g (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂 直 , ? g ?(1) ? ? ?1 3 1 ? (a ? 1) ? ? ?1 ? a ? ?2 3 x (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 R ,且 f ?( x) ? e ? a .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln( ? a ) . …4 分 若 ln( ? a ) ? 0 , 即 ?1 ? a ? 0 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, 2] 上 为 增 函 数 , ? f ( x) min ? f (0) ? 1 ;
若 ln( ? a ) ? 2 , 即 a ? ?e
2
2
2

时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, 2] 上 为 减 函 数 ,

? f ( x)min ? f (2) ? e ? 2a ;
若 0 ? ln( ? a ) ? 2 ,即 ?e ? a ? ?1 时,由于 x ? [0, ln( ? a )) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (ln(? a ), 2] 时,

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) min ? f (ln(?a )) ? a ln(?a ) ? a
综上可知

f ( x) min

1, ?1 ? a ? 0 ? ? 2 ?? e ? 2a , a ? ?e 2 ? a ln(?a ) ? a, ?e 2 ? a ? ?1 ?
1 ax ? 1 . ? x x

(Ⅲ) g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x ) ? a ?

a ? 0 时,? g ?( x) ? 0 ,

? g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln( ? a ) ①若 ?1 ? a ? 0 时, ln( ? a ) ? 0 ,在 (ln( ? a ), ? ?) 上 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增,由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,所以不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调
性;……………10 分
·7 ·

②若 a ? ?1 时, ln( ? a ) ? 0 ,在 ( ??, ln( ? a )) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 在 (ln( ? a ), ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减, ? 存在区间

M ? (0, ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数.
综上, 当 ?1 ? a ? 0 时, 不能存在区间 M , 使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性; 当 a ? ?1 时,存在区间 M ? (0, ln( ? a )] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数.

?c 1 ? ? 22 解:21. 解: (Ⅰ)由题意 ? a 2 , ? ?2c ? 2
解得 a ? 2, c ? 1, b ? 3 , 所求椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)解法一: (i)设 lPQ : x ? my ? 1,

x2 y2 ? ? 1; 4 3

? x2 y 2 ?1 ? ? ,消去 x,化简得 (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ?4 ? x ? my ? 1 ?

? ? 36m 2 ? 4(3m 2 ? 4) ? 9 ? 0
设 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ), PQ 的中点 G( x0 , y0 ) ,则

y1 ? y 2 ?

? 6m ?9 , y1 y 2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

y0 ?
即 G(

y1 ? y 2 4 ? 3m ? , x0 ? my 0 ? 1 ? , 2 2 2 3m ? 4 3m ? 4
?3m ), 3m ? 4 3m 2 ? 4 4
2

,

k OG ?

? 3m 3m 2 ? 4 3m ? ?? , 2 4 4 3m ? 4

设 l FT : y ? ?m( x ? 1) ,得 T 点坐标( 4,?3m ) ,

? k OT ?

? 3m ,所以 k OG ? k OT ,线段 PQ 的中点在直线 OT 上. 4
·8 ·

(ii) 当 m ? 0 时, PQ 的中点为 F , T (4,0) .

2b2 | TF | | TF |? 3, | PQ |? ? 3, ? 1. a | PQ |
当 m ? 0 时,

| TF |? (4 ? 1) 2 ? (?3m) 2 ? 3 m 2 ? 1 , | PQ |? 1 ?

1 k PQ
2

| y 2 ? y1 |

? 1 ? m 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? m 2 ? (

? 6m 2 ?9 ) ? 4? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

? 12 ?

m2 ?1 . 3m 2 ? 4

| TF | 3 m 2 ? 1 3m 2 ? 4 1 1 ? ? ? ? (3 m 2 ? 1 ? ) 2 | PQ | 12 4 m ?1 m2 ?1
令t ?

m2 ? 1 .则

1 1 | TF | 1 1 ? ? (3t ? )(t ? 1) .令 g (t ) ? ? (3t ? )( t ? 1) 4 t | PQ | 4 t

则函数 g ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 所以 g (t ) ? g (1) ? 1.

所以

| TF | 的取值范围是 [1, ??) . | PQ |

解法二: (i)设 T 点的坐标为 (4, m) , 当 m ? 0 时, PQ 的中点为 F ,符合题意. 当 m ? 0 时,

m 3 , k PQ ? ? . 3 m ?3 lPQ : y ? ( x ? 1) m k FT ?

·9 ·

? x2 y2 ? ? 4 ? 3 ?1 ,消去 x 化简得 (m2 ? 12) y 2 ? 6my ? 27 ? 0 . ? ? y ? ? 3 ( x ? 1) ? m ?

? ? 36m2 ? 4(m2 ? 12) ? 27 ? 0
设 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ), PQ 的中点 G( x0 , y0 ) ,则

y1 ? y 2 ?

6m ? 27 . y1 y 2 ? 2 , m ? 12 m ? 12
2

y0 ?
即 G(

m y0 y1 ? y 2 3m 12 ? 2 ? 2 , x0 ? 1 ? , 2 3 m ? 12 m ? 12
12 3m , 2 ), m ? 12 m ? 12
2

k OG

m 3m m 2 ? 12 m ? 2 ? ? ,又? k OT ? . 4 12 4 m ? 12

所以 k OG ? k OT ,线段 PQ 的中点在直线 OT 上. (ii) 当 m ? 0 时, PQ ? 当 m ? 0 时,

TF 6 ? 3 , TF ? 4 ?1 ? 3 , ?1 2 PQ

| TF |? (4 ? 1) 2 ? m 2 ? m 2 ? 9 , | PQ |? 1 ?

1 k PQ

| y 2 ? y1 | .

m2 m2 6m 2 ? 27 2 ? 1? ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ? ( 2 ) ? 4? 2 9 9 m ? 12 m ? 12
? 4? m2 ? 9 . m 2 ? 12

| TF | m 2 ? 9 m 2 ? 12 1 3 ? ? ? ? ( m2 ? 9 ? ) 2 | PQ | 4 4 m ?9 m2 ? 9
令t ?

m2 ? 9 .则

1 3 | TF | 1 3 ? ? (t ? )(t ? 3) .令 g (t ) ? ? (t ? )( t ? 3) 4 t | PQ | 4 t

则函数 g ? t ? 在 ? 3, ??? 上为增函数,
·10·

所以 g (t ) ? g (3) ? 1 .

所以当

| TF | 的取值范围是 [1, ??) . | PQ |

解法三: (i)当直线 lPQ 斜率不存在时, PQ 的中点为 F , T (4,0) ,符合题意. 当直线 lPQ 斜率存在时,若斜率为 0,则 l2 垂直于 x 轴,与 x=4 不能相交,故斜率不为 0 设 lPQ : y ? k ( x ? 1) , (k ? 0)

? x2 y 2 ? ? ? 1 ,消去 y,化简得. (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ?4 3 ? ? y ? k ( x ? 1)

? ? 64k 4 ? 4(3 ? 4k 2 )(4k 2 ?12) ? 144(k 2 ? 1) ? 0
设 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ), PQ 的中点 G( x0 , y0 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

x0 ?

? 3k x1 ? x2 4k 2 ? , y0 ? k ( x0 ? 1) ? , 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

4k 2 ? 3k , ), 即 G( 2 3 ? 4 k 3 ? 4k 2 kOG ? ? 3k 3 ? 4k 2 3 ? ?? , 2 2 3 ? 4k 4k 4k
1 3 3 ( x ? 1) ,得 T 点坐标( 4,? ) , kOT ? ? ,所以 k OG ? k OT , k k 4k

设 lFT : y ? ?

线段 PQ 的中点在直线 OT 上. (ii) 当直线 lPQ 斜率不存在时, PQ 的中点为 F , T (4,0) .

| TF |? 3, | PQ |?

2b2 | TF | ? 3, ? 1. a | PQ |
·11·

当直线 lPQ 斜率存在时,

3 k2 ?1 , | PQ |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 | . | TF |? (4 ? 1)2 ? (? )2 ? 3 k k2
? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? (

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 12 ?

k2 ?1 . 3 ? 4k 2

| TF | 1 3 ? 4k 2 1 1 k2 ? 3 1? 2 ? ? 1 ? (3 ? ) | PQ | k 12( k 2 ? 1) 4 k2 k 2 ?1 ? 1 1 ? (3 1 ? 2 ? 4 k 1 1 1? 2 k ),

令 t ? 1?

1 1 1 | TF | 1 1 ? ? (3t ? )(t ? 1) .令 g (t ) ? ? (3t ? )( t ? 1) .则 2 4 t | PQ | 4 t k

则函数 g ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 所以 g (t ) ? g (1) ? 1.

所以

| TF | 的取值范围是 [1,??) . | PQ |

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·12·


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