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江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

时间:2015-10-23



2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题;每小题 3 分,共 42 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1. (3 分)设全集 U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则(?∪A)∪(?∪B) =. 2. (3 分)函数 y=log2(3x﹣2)的定义域是. 3. (3 分)如图,设实数 a,b,c,d>0,且不等于 1,曲线①,②,③,④分别表示函数 y=a ,y=b ,y=logcx,y=logdx 在同一坐标系中的图象,则 a,b,c,d 的大小顺序为.
x x

4. (3 分)某高级中学高一特长班有 100 名学生,其中学绘画的学生有 67 人,学音乐的学生 有 45 人,而学体育的学生既不能学绘画,也不能学音乐,人数是 21 人,那么同时学绘画和 音乐的学生有人. 5. (3 分)已知幂函数 y=x 的图象过点(8,4) ,则这个函数的解析式是.
α

6. (3 分)已知函数 f(n)=

,其中 n∈N,则 f(8)等于.

7. (3 分)设 lg2=a,lg3=b,则 log512=. 8. (3 分)函数 y=lg(x ﹣2x)的单调递增区间是. 9. (3 分)f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,若 f(x)>f(2﹣x) ,则 x 的取值范 围是. 10. (3 分) (log43+log83) (log32+log92)+log =.
2

11. (3 分)函数 f(x)=xlog2x﹣3 的零点所在区间为(k,k+1) (k∈Z) ,则 k 的值是.

12. (3 分)已知函数 f(x)=

的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是.

13. (3 分)若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣

2

,﹣4],则 m 的取值范围是.
x

14. (3 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=2 ﹣2,则 f(log 6)=.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 58 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内.) 15. (8 分)集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7},C={x|x<a}, (1)求 A∪B; (2)求(?RA)∩B; (3)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 16. (8 分)函数 y=a +2a ﹣1(a>0 且 a≠1)在区间[﹣1,1]上有最大值 14,试求 a 的值. 17. (10 分)已知 a 为实数,当 a 分别为何值时,关于 x 的方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 有两个、三个、 四个互不相等的实数根? 18. (10 分)某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变 化.老师讲课开始时学生的兴趣激增,接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随 后学生的注意力开始分散. 该小组发现注意力指标 f (t) 与上课时刻第 t 分钟末的关系如下 (t∈ (0,40],设上课开始时,t=0) :
2 2x x

f(t)=

(a>0 且 a≠1) .若上课后第 5 分钟末时的注意力指标

为 140, (1)求 a 的值; (2)上课后第 5 分钟末和下课前 5 分钟末比较,哪个时刻注意力更集中? (3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长? 19. (10 分)已知函数 f(x)=2ax+ (a∈R) . (1)当 0<a≤ 时,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论; (2)对于任意的 x∈(0,1],使得 f(x)≥6 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (12 分)已知函数 f(x)=lg



(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)≤1,求实数 x 的取值范围; (3)关于 x 的方程 10
f(x)

=ax 有实数解,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题;每小题 3 分,共 42 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1. (3 分)设全集 U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则(?∪A)∪(?∪B) ={0,1,4}. 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 由全集 U,以及 A,B,求出 A 的补集与 B 的补集,找出两补集的并集即可. 解:∵全集 U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},

∴?∪A={4},?∪B={0,1}, 则(?∪A)∪(?∪B)={0,1,4}, 故答案为:{0,1,4} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (3 分)函数 y=log2(3x﹣2)的定义域是{x|x> }.

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 对数函数的真数一定要大于 0,即,3x﹣2>0,从而求出 x 的取值范围. 解答: 解:因为 3x﹣2>0,得到 x 故答案为:{x|x> } 点评: 对数函数定义域经常考,注意真数一定要大于 0. 3. (3 分)如图,设实数 a,b,c,d>0,且不等于 1,曲线①,②,③,④分别表示函数 x x y=a ,y=b ,y=logcx,y=logdx 在同一坐标系中的图象,则 a,b,c,d 的大小顺序为 d>c>a >b.

考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可. x x 解答: 解:由函数的图象可得①y=a 是减函数,②y=b 是减函数,故底数 a,b 都是大于 0 且小于 1 的实数. 作出直线 x=1 和函数①②图象的交点,可得 a>b,故 0<b<a<1. 由函数的图象可得函数③y=logcx 和④y=logdx 是增函数,故底数 c,d 都是大于 1 的实数. 作出直线 y=1 和函数③④图象的交点,可得 d>c,故有 d>c>1. 综上可得 d>c>a>b 故答案为:d>c>a>b 点评: 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,属于基础题 4. (3 分)某高级中学高一特长班有 100 名学生,其中学绘画的学生有 67 人,学音乐的学生 有 45 人,而学体育的学生既不能学绘画,也不能学音乐,人数是 21 人,那么同时学绘画和 音乐的学生有 33 人. 考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 根据学生学特长之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵学体育的学生既不能学绘画,也不能学音乐,人数是 21 人, ∴学绘画和学音乐的人数是 100﹣21=79 人, ∵学绘画的学生有 67 人,学音乐的学生有 45 人, ∴同时学绘画和音乐的学生有 67+45﹣79=33 人, 故答案为:33 点评: 本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义,比较基础.

5. (3 分)已知幂函数 y=x 的图象过点(8,4) ,则这个函数的解析式是 f(x)= 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 设幂函数 f(x)=x ,把点(8,4)代入即可解出.

α



解答: 解:设幂函数 f(x)=x ,把点(8,4)代入可得 4=8 ,解得.α= ∴f(x)= . .

α

α

故答案为:f(x)=

点评: 本题考查了幂函数的定义,属于基础题.

6. (3 分)已知函数 f(n)=

,其中 n∈N,则 f(8)等于 7.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据解析式先求出 f(8)=f[f(13)],依次再求出 f(13)和 f[f(13)],即得到所 求的函数值. 解答: 解:∵函数 f(n)= ,

∴f(8)=f[f(13)], 则 f(13)=13﹣3=10, ∴f(8)=f[f(13)]=10﹣3=7, 故答案为:7. 点评: 本题是分段函数求值问题,对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值,一定要注意 自变量的值所在的范围,然后代入相应的解析式求解. 7. (3 分)设 lg2=a,lg3=b,则 log512= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键,然后将所得分式的分子与分母的真 数化为 2,3 的乘积的形式进行代入计算出结果. 解答: 解:log512= = .

故答案为:



点评: 本题考查对数换底公式的运用,考查对数运算性质的应用,考查学生等价转化的能 力和运算化简得能力. 8. (3 分)函数 y=lg(x ﹣2x)的单调递增区间是(2,+∞) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点.
2

专题: 计算题. 分析: 由 x ﹣2x>0,得 x<0 或 x>2,u=x ﹣2x 在(2,+∞)内单调递增,而 y=lgu 是增 2 函数,由“同增异减”,知函数 y=lg(x ﹣2x)的单调递增区间是(2,+∞) . 2 解答: 解:由 x ﹣2x>0,得 x<0 或 x>2, 2 u=x ﹣2x 在(2,+∞)内单调递增, 而 y=lgu 是增函数, 由“同增异减”,知函数 y=lg(x ﹣2x)的单调递增区间是(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查对数函数的单调性和应用,解题时要认真审题,注意灵活运用“同增异减” 求解复合函数的单调区间的方法. 9. (3 分)f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,若 f(x)>f(2﹣x) ,则 x 的取值范 围是(1,2) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
2 2 2

分析: 由于 ( f x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调增函数, 则( f x) >( f 2﹣x) , 等价为



解出即可. 解答: 解:由于 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数, 则 f(x)>f(2﹣x) ,

等价为

,解得



即有 1<x<2. 则解集为(1,2) . 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查函数的单调性的运用:解不等式,考查运算能力,属于基础题.

10. (3 分) (log43+log83) (log32+log92)+log

=﹣ .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则和换底公式求解. 解答: 解: (log43+log83) (log32+log92)+log

=(log6427+log649) (log94+log92)+

=log64243?log98+ = = =1﹣ =﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查对数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质和运算法 则的合理运用. 11. (3 分)函数 f(x)=xlog2x﹣3 的零点所在区间为(k,k+1) (k∈Z) ,则 k 的值是 2. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求 f′(x) ,判断函数 f(x)取得最值的情况,以及取得零点的情况,及零点的个数, 并且能够得到函数 f(x)只有一个零点,并且是在(2 ,+∞)内.容易判断 f(2)<0,f (3)>0,所以零点在区间(2,3)内,所以根据已知 f(x)在(k,k+1) ,k∈Z,内有零点, 所以 k=2. 解答: 解:f′(x)=ln2+log2x,令 f′(x)=0 得,x=2 ,且 0<2 <1; ﹣ln2 ﹣ln2 ∴x∈(0,2 )时,f′(x)<0,x∈(2 ,+∞)时,f′(x)>0; ﹣ln2 ﹣ln2 ∴f(x)在(0,2 )上单调递减,在(2 ,+∞)上单调递增; ﹣ln2 又 x 趋向于 0 时,log2x<0,x>0,∴xlog2x<0,即函数 f(x)在(0,2 )内不存在零点; 又∵f(2)=2﹣3<0,f(3)=3log23﹣3>0; ﹣ln2 ∴f(x)在区间(2,3)内存在一个零点,且在(2 ,+∞)内只有一个零点; 由已知 f(x)零点所在区间为(k,k+1) , (k∈Z) ; ∴k=2. 故答案为:2. 点评: 考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法,以及函数零点的概念,以及单 调函数取得零点的情况.
﹣ln2 ﹣ln2 ﹣ln2

﹣ ﹣

12. (3 分)已知函数 f(x)=

的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 0≤m≤4.

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 问题等价于 mx +mx+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,分 m=0,和 m≠0 两种情况可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= 的定义域是一切实数,

∴mx +mx+1≥0 对一切 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,上式变为 1>0,恒成立, 当 m≠0 时,必有 ,解之可得 0<m≤4,

2

综上可得 0≤m≤4 故答案为 0≤m≤4 点评: 本题考查二次函数的性质,涉及函数的定义域和不等式恒成立问题,属基础题. 13. (3 分)若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣ [ ,3].
2

,﹣4],则 m 的取值范围是

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据函数的函数值 f( )=﹣
2

,f(0)=﹣4,结合函数的图象即可求解
2

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x﹣4=(x﹣ ) ﹣ ∴f( )=﹣ ,又 f(0)=﹣4,



故由二次函数图象可知: m 的值最小为 ; 最大为 3. m 的取值范围是: ≤m≤3. 故答案[ ,3]

点评: 本题考查了二次函数的性质,特别是利用抛物线的对称特点进行解题,属于基础题.

14. (3 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=2 ﹣2,则 f(log 6)= .

x

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先判断﹣3<log 6<﹣2,从而可知先用 f(x+2)=f(x)转化到(﹣1,0) , 再用奇偶性求函数值即可. 解答: 解:∵﹣3<log 6<﹣2, 又∵f(x+2)=f(x) , ∴f(log 6)=f(log

6+2)

=f(log

) ,

∵﹣1<log

<0,

∴0<log2 <1, 又∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(log )=﹣f(log2 )

=﹣(

﹣2)=﹣( ﹣2)= ,

故答案为: . 点评: 本题考查了抽象函数的应用,属于中档题. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 58 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内.) 15. (8 分)集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7},C={x|x<a}, (1)求 A∪B; (2)求(?RA)∩B; (3)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)由 A 与 B,求出两集合的并集即可;

(2)由全集 R 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可; (3)根据 A 与 C 的交集不为空集,求出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)∵A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7}, ∴A∪B={x|2<x<10}; (2)∵A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7}, ∴?RA={x|x<3 或 x≥10}, 则(?RA)∩B={x|2<x<3}; (3)∵A={x|3≤x<10},C={x|x<a},且 A∩C≠?, ∴a>3. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16. (8 分)函数 y=a +2a ﹣1(a>0 且 a≠1)在区间[﹣1,1]上有最大值 14,试求 a 的值. 考点: 指数函数综合题. x 2 分析: 令 b=a 构造二次函数 y=b +2b﹣1,然后根据 a 的不同范围(a>1 或 0<a<1)确定 b 的范围后可解. 解答: 解:令 b=a 则 a =b 2 2 ∴y=b +2b﹣1=(b+1) ﹣2 对称轴 b=﹣1 ﹣1 x 若 0<a<1,则 b=a 是减函数,所以 a >a 所以 0<a<b< 所以 y 的图象都在对称轴 b=﹣1 的右边,开口向上 并且递增 所以 b= 时有最大值 所以 y=b +2b﹣1=14∴b +2b﹣15=0∴(b﹣3) (b+5)=0 b>0,所以
x 2 2 x 2x 2 2x x

b= =3,a= 符合 0<a<1

若 a>1 则 b=a 是增函数,此时 0< <b<a y 的图象仍在对称轴 b=﹣1 的右边,所以还是增函数 b=a 时有最大值 2 所以 y=b +2b﹣1=14 b>0,所以 b=a=3,符合 a>1 所以 a= 或 a=3 点评: 本题主要考查指数函数单调性的问题.对于这种类型的题经常转化为二次函数,根 据二次函数的图象和性质进行求解. 17. (10 分)已知 a 为实数,当 a 分别为何值时,关于 x 的方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 有两个、三个、 四个互不相等的实数根? 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.
2

分析: 方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 的解的个数可转化为函数 y=|x ﹣6x+8|与 y=a 的交点的个数, 作 2 函数 y=|x ﹣6x+8|的图象,由数形结合求 a. 2 解答: 解:方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 的解的个数可转化为 2 函数 y=|x ﹣6x+8|与 y=a 的交点的个数, 2 作函数 y=|x ﹣6x+8|的图象如下,

2

2

故由图象可知, 当 a=0 或 a>1 时,关于 x 的方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 有两个互不相等的实数根, 2 当 a=1 时,关于 x 的方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 有三个互不相等的实数根, 2 当 0<a<1 时,关于 x 的方程|x ﹣6x+8|﹣a=0 有四个互不相等的实数根. 点评: 本题考查了函数图象的作法及方程的根与函数交点的关系,属于中档题. 18. (10 分)某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变 化.老师讲课开始时学生的兴趣激增,接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随 后学生的注意力开始分散. 该小组发现注意力指标 f (t) 与上课时刻第 t 分钟末的关系如下 (t∈ (0,40],设上课开始时,t=0) :
2

f(t)=

(a>0 且 a≠1) .若上课后第 5 分钟末时的注意力指标

为 140, (1)求 a 的值; (2)上课后第 5 分钟末和下课前 5 分钟末比较,哪个时刻注意力更集中? (3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长? 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用.

分析: (1)由题意,100?

﹣60=140,从而求 a 的值;

(2)上课后第 5 分钟末时 f(5)=140,下课前 5 分钟末 f(35)=﹣15×35+640=115,从而可 得答案; (3)分别讨论三段函数上 f(t)≥140 的解,从而求出 f(t)≥140 的解,从而求在一节课中, 学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持的时间. 解答: 解: (1)由题意得,当 t=5 时,f(t)=140, 即 100? ﹣60=140,

解得,a=4; (2)f(5)=140,f(35)=﹣15×35+640=115, 由于 f(5)>f(35) , 故上课后第 5 分钟末比下课前 5 分钟末注意力更集中; (3)①当 0<t≤10 时, 由(1)知,f(t)≥140 的解集为[5,10], ②当 10<t≤20 时,f(t)=340>140,成立; ③当 20<t≤40 时,﹣15t+640≥140, 故 20<t≤ , , ﹣5= 分钟.

综上所述,5≤t≤

故学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持

点评: 本题考查了分段函数的应用,同时考查了实际问题转化为数学问题的能力,属于中 档题. 19. (10 分)已知函数 f(x)=2ax+ (a∈R) . (1)当 0<a≤ 时,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论; (2)对于任意的 x∈(0,1],使得 f(x)≥6 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用定义证明即可, (2)利用导数判断函数的最值,需要分类讨论,问题得以解决 解答: 解: (1)f(x)在(0,1]上的单调性递减, 理由如下: 设 x1,x2∈(0,1],且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=2ax1+ ﹣2ax2﹣ =2a(x1﹣x2)+ = (1﹣2ax1x2) ,

∵x1,x2∈(0,1],且 x1<x2,0<a≤ ,

∴x2﹣x1>0,0<x1?x2<1,0<2ax1x2<1,1﹣2ax1x2>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴f(x)在(0,1]上的单调性递减, (2)∵f(x)=2ax+ ,

∴f′(x)=2a﹣

=



①当 a≤0 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(0,1]单调递减, ∴f(x)min=f(1)=2a≥6, 解得 a≤3, ∴a≤0 时,对于任意的 x∈(0,1],使得 f(x)≥6 恒成立, ②当 a>0 时, 令 f′(x)=0,解得 x= 当 f′(x)>0,即 x> 当 f′(x)<0,即 0<x< 当 , ,函数 f(x)单调递增, ,函数 f(x)单调递减,

≥1 时,即 0<a≤ 时,f(x)在(0,1]上的单调性递减,

∴f(x)min=f(1)=2a≥6 恒成立 解得 a≤3, 当 <1 时,即 a> 时, ]上的单调递减,在( )=2a? + ,1)上单调递增,

∴f(x)在(0, ∴f(x)min=f( 解得 a≥ ,

≥6 恒成立,

综上所述实数 a 的取值范围为(﹣∞, ]∪[ ,+∞) 点评: 本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题,以及求参数的取值范围, 属于中档题

20. (12 分)已知函数 f(x)=lg



(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)≤1,求实数 x 的取值范围; (3)关于 x 的方程 10
f(x)

=ax 有实数解,求实数 a 的取值范围.

考点: 指、对数不等式的解法;函数奇偶性的判断;函数的零点.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令真数大于 0 可得到函数的定义域,利用对数的运算律化简 f(﹣x) ,判断出 与 f(x)的关系,再由函数奇偶性的定义得出结论; (2)把 f(x)≤1 化为:lg 求出 x 的范围; (3)根据解析式把方程 10
f(x)

≤lg10,由函数的定义域和对数函数的单调性,列出不等式组

=ax 有实数解化为:a=

在(﹣1,1)有实数解,设 g(x)

=

,并求出 g′(x)化简后,利用二次函数的性质得到单调区间,求出函数的最大值、最

小值,得到函数的值域,就是实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由 得, (x+1) (x﹣1)<0,解得﹣1<x<1,

所以函数 f(x)的定义域是(﹣1,1) , 因为 f(﹣x)=lg =lg =﹣lg =﹣f(x) ,

所以函数 f(x)是奇函数; (2)由 f(x)≤1 得,lg ≤1=lg10,

所以

,即

,解得﹣

≤x<1,

则实数 x 的取值范围是[﹣ (3)由 10
f(x)

,1) ; =ax,且﹣1<x<1,

=ax 得,

当 x=0 时,方程不成立; 当 x≠0 时,方程化为 a= ,设 g(x)= ,

则方程 10

f(x)

=ax 有实数解化为 a=

在(﹣1,1)有实数解,

即实数 k 属于函数 g(x)=

在(﹣1,1)上的值域,

则 g′(x)=

=



令 h(x)=x ﹣2x﹣1=0,解得 x= 所以当﹣1<x<1﹣

2

=1

,则 x=1



时,h(x)>0,则 g′(x)>0, ,1)上单调递减, = ,

当1 <x<1 时,h(x)<0,则 g′(x)<0, 所以 g(x)在区间(﹣1,1﹣ )单调递增,在(1﹣ 则函数 g(x)最小值是 g(1﹣ )=

又 g(1)=0,g(﹣1)无意义,所以函数 g(x)最大值是 0, 所以函数 g(x)的值域是[ ,0) , 即实数 a 的取值范围是:[ ,0) . 点评: 本题考查对数函数的单调性、定义域,函数奇偶性的判断,对数不等式、分式不等 式的求法,以及函数与导数的应用,考查运算求解能力与化归、转化思想.属于难题.


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