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安徽省马鞍山市09-10学年高二上学期第一次教学质量检测(数学理)

时间:2010-12-04


学年高二第一学期高中 高二第一学期高中学业水平测试 马鞍山市 09―10 学年高二第一学期高中学业水平测试 数学选修 2-1 试题 -
考生注意:本卷共 6 页,22 小题,满分 100 分. 题号 得分 一 二 18 19 三 20 21 22 总分

第Ⅰ卷(选择题,共 36 分) 选择题,
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分,每

小题所给的四个选项中只有一个是正确的,请将正确 答案的代号填在第Ⅰ卷后的表格内.) 1. 下列语句中是命题的是 A 周期函数的和是周期函数吗? B sin 45° = 1
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D 梯形是不是平面图形呢? C x 2 + 2x ? 1 > 0 2.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形
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3. 双曲线
3 2

x2 y2 ? = 1 的渐近线方程是 4 9

A. y = ± x

B. y = ± x

2 3

C. y = ± x

9 4

D. y = ± x

4 9

4.设 A、B、C 为三个集合,则 A ? B 是 A ? ( B U C ) 的 ≠ ≠ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知动点 P(x,y)满足 ( x + 2) 2 + y 2 ? ( x ? 2) 2 + y 2 = 2 ,则动点 P 的轨迹是 A.双曲线 6.椭圆 A. (± B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线

x2 + y 2 = 1 的焦点坐标为 4 3 ,0) 2


B. (0,±

3 ) 2


C. (± 3 ,0)

D. (0,± 3 )

7. 已知向量 a = (2,?3,5) 与向量 b = (?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别是 A. 6 和-10 B. –6 和 10 C. –6 和-10 D. 6 和 10
?? → → ??→ → ??→ →

8.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 = a , A1 D1 = b , A1 A = c , 则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 A. ?
1→ 1→ → a? b+ c 2 2
??→

B.

1→ 1→ → a+ b+ c 2 2

C.

1→ 1→ → a? b+ c 2 2

D. ?

1→ 1→ → a+ b+ c 2 2

-1-

9. △AOB 是边长为 1 的等边三角形,O 是原点, AB ⊥ x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物 线的方程是 A. y =
2

3 x 6

B. y = ±
2

3 x 6

C. y = ?
2

3 x 6

D. y = ±
2

3 x 3

10.过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、Q( x 2 , y 2 ) 两点,如果 x1 + x 2 = 6 ,则
| PQ |=

A.9

B.8

C.7

D.6

11.如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)

12. 方程 5 ? ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =| 3x ? 4 y ? 6 | 表示的曲线为 A. 抛物线 题号 答案 1 2 3. B. 椭圆 4 5 6. C. 双曲线 7 8 9 D.圆 10 11 12

第Ⅱ卷(非选择题,共 64 分) 非选择题,
二、填空题(每小题 4 分,共 20 分.请将答案直接填在题后的横线上.) 13. 写出命题“ ?x ∈ R , ax + 4 x + 1 > 0 ”的否定形式:
2

.

14.设抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米,测量水面宽度为 8 米.当水面上升 1 米后,水面宽度为 米. 15. 如果过两点 A(a,0) 和 B (0, a ) 的直线与抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数 a 的取值 范围是 . 条件. .

16. 设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么“非 p”是“非 q”的 17. 与双曲线

x2 y 2 ? = 1 有共同的渐近线, 且过点 (?3, 2 3) 的双曲线的方程为 9 16

三、解答题(本大题共 5 题,共 44 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 18. (本小题满分 8 分) 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e =
3 3 ,且过点 P(0, ) ,求这个椭圆的方程. 2 2

-2-

19.(本小题满分 8 分) 给定两个命题:

p :对任意实数 x 都有 ax 2 + ax + 1 > 0 恒成立; q :关于 x 的方程 x 2 ? x + a = 0 有实数根;
如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. .

-3-

20.(本小题满分8分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (Ⅰ)证明:AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明:面AED⊥面A1FD1.

-4-

21. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C:
x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x

轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,且向量 AB 与 OM 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率 e; (Ⅱ)若 x = ?4 是椭圆 C 的一条准线,求椭圆 C 的方程.

-5-

22. (本小题满分 10 分) 抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 l 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为邻边 作平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.

-6-

2009—2010 学年度第一学期期末高二数学选修 2-1 参考解答
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3. A 4 A 5 C 6. C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 D 12 A

二、填空题: 13. ?x ∈ R, ax 2 + 4 x + 1 ≤ 0 ;14. 4 2 ; 15. (?∞,? 三、解答题: 18. 解:∵椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上且过点 P(0, ) ∴b = 又e =
3 ………………………………………………………………………………3 分 2 3 c2 a2 ? b2 3 ,∴ e 2 = 2 = = ,∴ a 2 = 9 ……………………………6 分 2 4 a a2
x2 4y2 + = 1 …………………………………………………8 分 9 9

13 4x 2 y 2 ) ;16.必要不充分;17. ? =1 4 9 4
3 2

故这个椭圆方程是

19.解:对任意实数 x 都有 ax 2 + ax + 1 > 0 恒成立
?a > 0 ? 0 ≤ a < 4 ;………………………………………………2 分 ? a = 0或? ?? < 0

关于 x 的方程 x 2 ? x + a = 0 有实数根 ? 1 ? 4a ≥ 0 ? a ≤ 如果 p 正确,且 q 不正确,有 0 ≤ a < 4, 且a > ∴
1 4

1 ;……………4 分 4

1 < a < 4 ;……………6 分 4
4

如果 q 正确,且 p 不正确,有 a < 0 或 a ≥ 4 , 且 a ≤ 1 ∴ a < 0 .…………7 分 所以实数 a 的取值范围为 (? ∞ ,0 ) U ? 1 , 4 ? ……………………………………8 分 ? ?
?4 ?

20. 解:以 D 为原点,DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1…………………………………………… ………………………………1 分 则有 A(1,0,0) ,E(1,2,
1 1 ) ,F(0, ,0) 1(0,0,1) 1(1,0,1)……2 分 ,D ,A 2 2

1 (Ⅰ) AD = (?1,0,0), D1 F = (0, ,?1), AD ? D1 F = 0 ,∴AD⊥D1F………………………4 分 2 1 (Ⅱ) AE = (0,1, ), AE ? D1 F = 0 ,∴AE⊥D1F 2 0 AE 与 D1F 所成的角为 90 …………………………………………………………………6 分

(Ⅲ)由以上可知 D1F⊥平面 AED,又 D1F 在平面 A1FD1 内, ∴面 AED⊥面 A1FD1……………………………………………………………………8 分 21.解:(Ⅰ)∵ F1 (?c,0), 则x M = ?c, y M = ∵ k AB
b2 b2 ,∴ k OM = ? .……………………………2 分 a ac b b2 b 2 = ? , OM 与 AB 是共线向量,∴ ? = ? ,∴b=c,故 e = .……………4 分 a ac a 2 2 a, 2
-7-

(Ⅱ) 由 b = c ? c =

又 x = ?4 = ?

a2 ? a 2 = 4c = 2 2a ? a = 2 2 , b = 2 ,…………………………8 分 c x2 y2 + = 1 …………………………………………………………10 分 8 4

所以椭圆 C 的方程为 解:设 R(x,y),

∵F(0,1), ∴平行四边形 FARB 的中心为 C ( ,

x y +1 ) , …………………………2 分 2 2 将 l : y = kx ? 1 代入抛物线方程得 x 2 ? 4kx + 4 = 0 ,

由题意△= 16k 2 ? 16 > 0 = 0 ,即 | k |> 1 ………………………………………4 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,
∴ y1 + y 2 = x12 + x 2 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 = = 4k 2 ? 2 , 4 4

∵C 为 AB 的中点. ∴
? x x2 + x2 = 2k ?2 = ? 2 ………………………………………………6 分 ? ? y + 1 = y 2 + y 2 = 2k 2 ? 1 ? 2 2 ?

? x = 4k ? ? ? ,消去 k 得 x 2 = 4( y + 3) ? y = 4k 2 ? 3 ?

………………………………………8 分

由 x = x1 + x 2 = 4k 及 | k |> 1 得, x > 4 ,…………………………………………9 分 .…………………………………10 分 故动点 R 的轨迹方程为 x 2 = 4( y + 3) ( x > 4 )

-8-


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