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高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数 2-2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 基本初等函数(I) 2.2 对数函数

一、学习任务 1. 理解对数的概念及其运算性质;了解对数换底公式,知道一般对数可以转化成自然对数或常 用对数. 2. 了解对数函数模型的实际案例;了解对数函数的概念;理解对数函数的性质,会画对数函数 的图象. 二、知识清单
对数的概念与运

算 对数函数及其性质

三、知识讲解
1.对数的概念与运算 描述: 对数 一般地,如果 ax = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x = loga N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.也即 ax = N ? x = loga N ,其中 a > 0, a ≠ 1 . 对数的性质 根据对数的定义,有( a > 0, a ≠ 1 ): ① 负数与零没有对数; ② 1 的对数等于 0 ,即 loga 1 = 0 ; ③ 底数的对数等于 1 ,即 loga a = 1 ; ④ loga ax = x ; ⑤ aloga N = N (N > 0) . 常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数,常用“ lg ”表示(即“ log10 ”). 自然对数 以 e 为底的对数叫做自然对数( e 是无理数, e = 2.71828 ? ),常用“ ln ”表示(即“ loge ”). 对数的运算性质 ① 积的对数等于对数的和: loga (M ? N ) = loga M + loga N (a > 0且a ≠ 1) ; ② 商的对数等于对数的差: loga M = loga M ? loga N (a > 0且a ≠ 1) ; N ③ 幂的对数等于幂指数与幂的对数的积: loga M n = nloga M (a > 0且a ≠ 1) . 换底公式

loga N =

logb N (a > 0且a ≠ 1, b > 0且b ≠ 1, N > 0) . logb a

例题: 将下列对数式化成指数式,并求 x 的值: (1)logx 27 =

3 1 1 ;(2)ln x = ;(3)x = lg ;(4)log5 (log2 x) = 0. 2 2 10 3 2 3 解:(1)由 logx 27 = ,得 x 2 = 27 ,所以 x = 27 3 = 3 2 = 9 . 2 1 1 1 (2)由 ln x = ,得 e 2 = x ,所以 x = e 2 = √e . 2 1 1 (3)由 x = lg ,得 10x = ,得 x = ?1. 10 10 (4)由 log5 (log2 x) = 0,得 log2 x = 1 ,所以 x = 2 1 = 2 .
计算下列各式的值. (1)lg 5 2 +

2 lg 8 + lg 5 ? lg 20 + (lg 2)2 ; 3 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? (2)2(lg √2 )2 + lg √2 × lg 5 + √(lg √2 )2 ? lg 2 + 1;
(3)log2 3 × log3 5 × log5 16; 解:(1)

原式 = 2 lg 5 + 2 lg 2 + lg 5(2 lg 2 + lg 5) + (lg 2)2

= 2 lg 10 + (lg 5 + lg 2)2

= 2 + (lg 10)2 = 2 + 1 = 3.
(2) 原式 = lg √2 × (2 lg √2 + lg 5) + √(lg √2 ? 1)2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

= lg √2 × (lg 2 + lg 5) + (1 ? lg √2 ) = lg √2 + 1 ? lg √2 = 1.

(3) 原式 =

lg 3 lg 5 lg 16 lg 16 lg 2 4 × × = = = 4. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2 10 ,求 logb a ? loga b 值; 3

(1)已知 a > b > 1,loga b + logb a = (2)设 3 a = 4 b = 36,求

2 1 的值; + a b (3)已知 log18 9 = a,18b = 5,用 a, b 表示 log36 45 的值. 1 解:(1)令 loga b = x ,则 logb a = ,则 x (logb a ? loga b)2 = ( =(
2 1 ? x) x

10 2 = ( ) ?4 3 64 = . 9 8

2 1 + x) ? 4 x

又因为 a > b > 1,0 < loga b < 1 ,logb a > 1.所以 logb a ? loga b > 0,所以

0 < loga b < 1 logb a > 1 logb a ? loga b > 0 8 logb a ? loga b = . 3 (2)(方法一)对 3 a = 4 b = 36 取以 e 为底的对数,得 ln 3 a = ln 4 b = ln 36 ,即 a ln 3 = b ln 4 = ln 36,所以 1 ln 3 1 ln 4 = , = a ln 36 b ln 36
于是

2 1 2 ln 3 ln 4 + = + a b ln 36 ln 36 ln 3 2 + ln 4 = ln 36 ln 36 = ln 36 = 1.
(方法二)由 3 a = 36 ,得 a = log3 36 ,所以

1 1 = log36 3 .同理 = log36 4 ,所以 a b

2 1 + = a b = = =

2 log36 3 + log36 4 log36 9 + log36 4 log36 36 1.

(3)因为 log18 9 = a,18b = 5,所以 log18 5 = b ,于是

log36 45 =

log18 45 log18 (9 × 5) = 36 log18 log18 (18 × 2) log18 9 + log18 5 = 1 + log18 2 log18 9 + log18 5 = 18 1 + log18 9 log18 9 + log18 5 a+b = = . 2 ? log18 9 2?a

2.对数函数及其性质 描述: 一般地,形如 y = loga x (a > 0且a ≠ 1) 的函数叫做对数函数(logarithmic function),其 中 x 是自变量. 图象

定义域

(0, +∞)
值域

R
性质 ① 过定点 (1, 0) ; ② 当 0 < a < 1 时,在 (0, +∞)上是减函数;当 a > 1 时,在 (0, +∞)上是增函数. 例题: 求下列函数的定义域

? ? ? ? ? ? ? ? √log 1 x ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 (1)f (x) = ; + √4 ? x2 ;(2)f (x) = 4x ? 1 ln(x + 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)f (x) = √? loga (4x ? 3)(a > 0且a ≠ 1). ? x + 1 > 0, 解:(1)由? ln(x + 1) ≠ 0, 得 ?1 < x ≤ 2 且 x ≠ 0.所以,函数的定义域是 ? 4 ? x2 ≥ 0 (?1, 0) ∪ (0, 2]. x > 0, ? ? ? ? ? x > 0, ? 1 1 1 (2)由 ? log 1 x ? 1 ≥ 0, 解得:? x ≤ 2 , 所以 0 < x ≤ 且 x ≠ ,故函数的定义域是 2 2 4 ? ? ? ? ? 4x ? 1 ≠ 0. ?x ≠ 1 . 4 1 1 1 (0, ) ∪ ( , ] . 4 4 2 (3)因为 loga (4x ? 3) ≥ 0 ,该式可化成 loga (4x ? 3) ≥ loga 1,故当 a > 1 时, 3 4x ? 3 ≥ 1,解得 x ≥ 1;当 0 < a < 1 时,0 < 4x ? 3 ≤ 1,解得 < x ≤ 1. 4 综上所述,当 a > 1时,函数的定义域为 [1, +∞);当 0 < a < 1 时,函数的定义域为 3 ( , 1] . 4
如图所示,对数函数 ① y = loga x ;② y = logb x; ③ y = logc x ;④ y = logd x 的图 象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是( ).

A.a > b > 1 > c > d C.1 > a > b > c > d 解:B

B.b > a > 1 > d > c D.a > b > 1 > d > c

在图中画出直线 y = 1,可发现与曲线 ①②③④ 交于 A(a, 1),B(b, 1),C (c, 1) ,D(d, 1),由 图可知 b > a > 1 > d > c

设 a = log 1 2,b = log2 3 ,c = ( ) A.a < b < c 解:B
3

B.a < c < b

1 2

0.3

,则(

) D.b < a < c

C.b < c < a

因为 a = log 1 2 < log 1 1 = 0,b = log2 3 > log2 2 = 1 ,c = ( )

a < c < b.

3

3

1 2

0.3

∈ (0, 1),所以

解方程 (log2 x)2 + 3 log 1 x + 2 = 0 . 解:令 t = log2 x ,则原方程可化成
2

t 2 ? 3t + 2 = 0,
解得 t = 2 或 t = 1 ,即 log2 x = 2 或 log2 x = 1 ,故 x = 4 或 x = 2. 解关于 x 的不等式 loga (2x) < loga (x + 1). 解:当 a > 1 时,函数 y = loga x 在 (0, +∞) 上是增函数,所以 0 < 2x < x + 1,解得 0 < x < 1; 当 0 < a < 1 时,函数 y = loga x 在 (0, +∞) 上是减函数,2x > x + 1 > 0,解得 x > 1. 综上所述,当 a > 1 时,不等式的解集为 (0, 1);当 0 < a < 1 时,不等式的解集为 (1, +∞). 求函数 y = log 1 (2x 2 + x + 6) 的单调区间. 解:由 2x 2 + x + 6 > 0,其中 Δ < 0 ,得函数定义域是 R,令 u(x) = 2x2 + x + 6 ,即函数
2

1 1 , +∞),单调减区间为 (?∞, ? ). 4 4 又因为 y = log 1 u 在 (0, +∞) 上是减函数,由复合函数的单调性可知,函数 u(x) 的单调增区间为 (?
2

y = log 1
2

(2x2

+ x + 6) 的单调增区间为 (?∞, ?

1 1 ),单调减区间 (? , +∞ ). 4 4

已知函数 f (x) = lg(ax 2 + 2x + 1). (1)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. (2)若函数f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 解:(1)的定义域为 R,即关于 x 的不等式 ax 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R. 当 a = 0 时,此不等式变为 2x + 1 > 0,其解集不是 R; 当 a ≠ 0 时,有 { a > 0,

Δ = 4 ? 4a < 0, 所以 a 的取值范围是 (1, +∞).

所以 a > 1.

(1, +∞) (2)f (x) 的值域是 R,即 u = ax2 + 2x + 1 能取遍一切正数. 所以 a = 0 或 { a > 0, 解得 0 < a ≤ 1.故 a 的取值范围是 0 ≤ a ≤ 1. Δ = 4 ? 4a ≥ 0,

四、课后作业

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1. 若点 (a, b) 在 y = lg x 图象上,a ≠ 1,则下列点也在此图象上的是 ( A.(

)
D.(a2 , 2b)

1 , b) a

B.(10a, 1 ? b)

C.(

10 , b + 1) a

答案: D 解析: 由题意

b = lg a ,2b = 2 lg a = lg a2 ,即 (a2 , 2b) 也在函数 y = lg x 图象上. )
C.a > b > 1 D.b > a > 1

2. 若 loga 2 < logb 2 < 0 ,则 ( A.0 < a < b < 1
答案: B 解析:

B.0 < b < a < 1

1 1 < < 0 ,所以 0 < b < a < 1 ; log2 a log2 b 法二:因为 loga 2 < logb 2 < 0 得 0 < a < 1,0 < b < 1 ,再由对数函数的图象得 0 < b < a < 1.
法一:因为 loga 2 < logb 2 < 0 ,即

3. 若 log2 log3 log4 x = log3 log4 log2 y = log4 log2 log3 z = 0 ,则 x + y + z 的值为 ( A.50
答案: C

)

B.58

C.89

D.111

4. 若 log2a A.(
解析:

1 , +∞) 2

1 + a2 < 0 ,则 a 的取值范围是 ( 1+a
B.(1, +∞)

)
C.(

1 , 1) 2

D.(0,

1 ) 2

答案: C

1 ? ? ? 0 < 2a < 1 ?0 < a < 2 时,无解; 2 ①当? ,即 ? 2 ? log 1 + a < 0 1 + a ? 2a ? >1 1+a 1+a 1 ? ? ? 2a > 1 ?a > 1 2 2 ②当? ,即? 时, <a<1. 2 ? log 1 + a < 0 1 + a 2 ? 2a ?0 < <1 1+a 1+a

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