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2015届高考数学一轮复习 第6篇 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文 新人教版


第 3 节 二元一次不等 式(组)与简单的线性 规划问题

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合

抓主干

固双基

1.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的 有序数对(x,y),叫做二

元一次不等式(组)的解,所 有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次 不等式(组)的解集.

2.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的 平面区域
不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所 有点组成的平面区域 不包括边界 包括边界

各个不等式所表示平面区域的交集

(2)平面区域的确定 对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标 (x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需 在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试 点,由 Ax0+By0+C 的符号即可断定 Ax+By+C>0 表示 的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

3.线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x、y 组成的不等式(组) 由 x、y 的一次不等式组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x 、y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值问题

质疑探究:最优解一定唯一吗? 提示:不一定.当线性目标函数对应的直 线与可行域多边形的一条边平行时,最 优解可能有多个甚至无数个.

双基自测
? x ? 3 y ? 6 ? 0, 1.(2013 东北三省四市三模)不等式组 ? 表示 ?x ? y ? 2 ? 0
的平面区域是( B )

解析:x-3y+6≥0 表示直线 x-3y+6=0 以及该直线下方的区 域,x-y+2<0 表示直线 x-y+2=0 的上方区域.故选 B.

? x ? y ? 2, ? 2.不等式组 ?2 x ? y ? 4, 所围成的平面区域的面积为( ?x ? y ? 0 ?

D

)

(A)3 2

(B)6 2

(C)6

(D)3

解析:不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),C(2,0)
1 1 ∴S△ ABC=S△OBC-S△AOC= ×2×4- ×2×1=3. 2 2

故选 D.

?2 x ? y ? 40, ?? x ? 2 y ? 30, ? 3.(2013 广东六校联考)若变量 x,y 满足 ? 则 ? x ? 0, ? ? y ? 0,

z=-x+3y 的最大值是( C ) (A)90 (B)80 (C)50 (D)40 解析:画出可行域(如图所示), 目标函数 z=-x+3y 在 B(10,20) 点取最大值 zmax=-10+3×20=50. 故选 C.

4.(2013 广东六校高三第三次联考)点 A(3,1)和 B(-4,6) 在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 解析:由题意知(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0 解得-7<a<24. 答案:(-7,24) .

考点突破

剖典例 知规律

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
? ? 3 x ? y ? 0, 【例 1】 (2013 太原模拟)已知不等式组 ? (a>0) ? ? x ? ay ? 2

3 表示的平面区域的面积是 ,则 a 等于( 2

)

(A) 3

(B)3 (C) 2

(D)2

思维导引:作出可行域,由区域面积求出 a. 解析: 作出可行域如图所示, ∵直线 x+ay=2 过点(2,0),
? 2 ? x ? ay ? 2, 由? 可解得交点 A 的纵坐标为 , 3 ? ? y ? 3 x, ?a 3

依题意有 S△=

2 1 3 ×2× = , 2 2 3 ?a 3

∴解得 a= 3 .故选 A.

反思归纳

(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域

的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊 点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平 面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应于特 殊点异侧的平面区域. (2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画 为虚线,特殊点常取原点. (3)求平面区域的面积,要先画出不等式(组)表示的平面区域, 然后根据平面区域的形状求面积,必要时分割区域为特殊图 形求解.

即时突破 1 (2013 山东省泰安市高三模拟)已知不
? y ? ? x ? 2, ? 等式组 ? y ? kx ? 1, 所表示的平面区域是面积等于 ?y ? 0 ?
1 的三角形,则实数 k 的值为( 4

) (D)1

(A)-1

1 (B)2

1 (C) 2

解析: 由图象知 k>0. 当 y=0 时,xB= 所以
1 ,xC=2, k

1 1 <2,即 k> . k 2

? y ? ? x ? 2, 2k ? 1 由? 得 yA= , 1? k ? y ? kx ? 1,
1 1 2k ? 1 1 所以 S△ABC= (2- )× = , 1? k 2 k 4 2 1 解得 k=1 或 k= < (舍去),所以 k=1.故选 D. 7 2

考点二 求目标函数的最值问题
【例 2】 (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束
? x ? y ? 1 ? 0, ? 条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x-3y 的最小值是( ? x ? 3, ?

)

(A)-7

(B)-6

(C)-5

(D)-3

思维导引:作出可行域,把目标函数 z=2x-3y 转化为
2 z y= x- ,利用直线在 y 轴上的截距判断 z 的最值. 3 3

解析:由约束条件作出可 行域如图中阴影区域. 将 z=2x-3y 化为
2 z y= x- , 3 3 2 作出直线 y= x 并平移使 3

之经过可行域, 易知直线经过点 A(3,4)时,z 取得最小值, 故 zmin=2×3-3×4=-6.故选 B.

反思归纳

利用线性规划求目标函数最值的步骤

(1)画出约束条件对应的可行域; (2)将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域, 找到最优解对应的点; (3)将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.

即时突破 2 (2013 年高考湖南卷)若变量 x,y 满足
? y ? 2 x, ? 约束条件 ? x ? y ? 1, 则 x+2y 的最大值是( ? y ? ?1, ?
5 (A)2

)

(B)0

5 (C) 3

5 (D) 2

解析:根据不等式组作出可 行域,如图中阴影部分, 令 z=x+2y,
1 1 平行移动直线 y=- x+ z, 2 2

可知该直线经过 y=2x 与
1 2 x+y=1 的交点 A( , )时,z 3 3 1 4 5 有最大值为 + = .故选 C. 3 3 3

考点三 含参数的线性规划问题
【例 3】 (2013 年高考浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y
? x ? 2, ? 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 若 z 的最大值为 12,则实数 ?2 x ? y ? 4 ? 0. ?

k=

.

思维导引:作出可行域,数形结合,对参数 k 分情况求解.

解析:作出可行域如图中阴影所示,由图可知,

1 当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 经过点 A(4,4)时 z 最大, 2

所以 4k+4=12,解得 k=2(舍去);

1 当-k≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点 B(2,3)时 z 最大, 2 9 所以 2k+3=12,解得 k= (舍去);当-k<0 时,直线 2

y=-kx+z 经过点 A(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12, 解得 k=2,符合.综上可知,k=2. 答案:2

备选例题
【例题】 某公司计划 2013 年在甲、乙两个电视台做总时 间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分 钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能 给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司 如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的 收益最大?最大收益是多少万元?

解:设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得
? x ? y ? 300, ?500 x ? 200 y ? 90000, ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

目标函数 z=3000x+2000y.
? x ? y ? 300, ?5 x ? 2 y ? 900, ? 二元一次不等式组等价于 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.

作出二元一次不等式组所 表示的平面区域 ,即可行域, 如图阴影部分所示. 作直线 l:3000x+2000y=0, 即 3x+2y=0, 平移直线 l,从图中可知,当 直线 l 过 M 点时,目标函数 取得最大值.

? x ? y ? 300, 解? ?5x ? 2 y ? 900, ? x ? 100, 得? ? y ? 200.
∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视 台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

命题探究
含参数的线性规划问题
【典例】 (2013 年高考广东卷)已知变量 x,y 满足约束条件
? x ? y ? 3 ? 0, ? ??1 ? x ? 1, 则 z=x+y 的最大值是 ? y ? 1, ?

.

分析:画出线性约束条件表示的平面区域,用图解法求最值.

解析:作出可行域如图所示,

故目标函数在直线 x-y+3=0 与 x=1 的交点(1,4)处取 得最大值,所以 zmax=1+4=5. 答案:5

命题意图

本题考查了线性规划问题的求解.解

决问题的关键是准确画出平面区域,确定最优解,考 查了画图、用图的能力.把目标函数变形为 y=-x+z, 体现了“化生为熟”的转化与化归思想的应用.通过 平行移动直线 y=-x+z,探索 z 的最大值,考查了运动 变化的观点.

反思归纳

含参数的线性规划问题一般包括两类:一

类是目标函数中含有参数,一类是约束条件中含有参数, 目标函数中的参数往往与直线的斜率有关,这类问题还 有另一个特征,就是其最优解是可知的(一个或无穷多 个),因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化,约束 条件中的参数影响平面区域的形状,求解这类问题时要 结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向.


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