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2001年全国高中数学联赛试卷及答案[1]


二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10 月 4 日上午 8:00—9:40)

题号 得分 评卷人 复核人





三 13 14 15

合计

加试

总成绩

学生注意:1、本试卷共有三大题(15

个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A) (B) (C) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选的代表字母超过一个(不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点; 以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,

? )上单调递增的偶函数是 2

(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k=8 3 (B)0<k≤12 (C)2 (D)0<k≤12 或 k ? 8 3

5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000, 则a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为( ) . 333 666 (A)3 (B)3 (C)3999 (D)32001 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________. 8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

3 -I,则 z1z2= 2

。 。

9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



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11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为

。 A F E D B C

12、 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图) 要求同一场块中种同一种植物, , 相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种 栽种方案。 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 (a1<a2),又
2 2

2

n???

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 ,试求{an}的首项与公差。

14、设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 2 a
1 时, 试求⊿OAP 的面积的最大值 (用 a 表示) 。 2

(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点, C1 与 x 轴的负半轴交于点 A, 0<a< 若 当

15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中 (a 应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

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二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10 月 4 日上午 10:00—12:00)

学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 (本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N。求 证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。

二、 (本题满分 50 分) 设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且

?x
i ?1

n

2

i

?2

1? k ? j ? n

?

n k ,求 ? x i 的最大值与最小值。 xk x j ? 1 j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形, 每个正方形的边均平行于矩形的相应边, 试求这些正方形边长之和的最小值。

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2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一.选择题:CBDDCA 1.已知 a 为给定的实数, 那么集合M= {x|x -3x-a +2=0, x∈ R} 的子集的个数为 ( ) . A.1 B.2 C.4 D.不确定 2 2 2 讲解:M 表示方程x -3x-a +2=0 在实数范围内的解集.由于 Δ=1+4a >0,所以M含有 2 个 2 元素.故集合M有 2 =4 个子集,选C. 2.命题 1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题 2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有( ) . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 讲解:由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题 1 正确.对于命题 2 和命题 3,一般的长方体 (除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,本题只有命题 1 正确,选B. 3.在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=lg|sinx|中, 以 π 为周期、在(0,π/2)上单调递增的偶函数是( ) . A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx| 讲解:可考虑用排除法.y=sin|x|不是周期函数(可通过作图判断) ,排除A;y=cos| x|的最小正周期为 2π,且在(0,π/2)上是减函数,排除B;y=|ctgx|在(0,π/2)上是减 函数,排除C.故应选D. 4.如果满足∠ ABC=60° ,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ) . A. k ? 8 3 C.k≥12 B.0<k≤12 D.0<k≤12 或 k ? 8 3
2 2

讲解:这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问题,由课本结论知, 应选结论D. 说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C. 5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000, 则a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为( ) . 333 666 999 A.3 ? B.3 ? C.3 ? D.32001? 讲解:由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到 1 的单位根,用特殊值法. 取 ω=-(1/2)+( /2)i,则 ω =1,ω +ω+1=0.
3 2

令x=1,得 31000=a0+a1+a2+a3+…+a2000; 令x=ω,得 2 0=a0+a1ω+a2ω +…+a2000ω2000; 2 令x=ω ,得 2 4 6 0=a0+a1ω +a2ω +a3ω +…+a2000ω4000. 三个式子相加得 31000=3(a0+a3+a6+…+a1998) . 999 a0+a3+a6+…+a1998=3 ,选C.
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6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 讲解:这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,则由题设得,

?

6 X ? 3Y ? 24 4 X ? 5Y ? 22

?问题转化为在条件①、②的约束下,比较 2x与 3y的大小.有以下两种解法: ?解法 1:为了整体地使用条件①、②,令 6x+3y=a,4x+5y=b,联立解得x= (5a-3b)/18,y=(3b-2a)/9. ?∴2x-3y=…=(11a-12b)/9. ?∵a>24,b<22, ?∴11a-12b>11×24-12×22=0. ?∴2x>3y,选A.

图1
? 解法 2:由不等式① 及x>0、y>0 组成的平面区域如图 1 中的阴影部分(不含边界) 、② .令 2x-3 y=2c,则c表示直线l:2x-3y=2c在x轴上的截距.显然,当l过点(3,2)时,2c有最小值 为 0.故 2x-3y>0,即 2x>3у,选A. ? 说明: (1)本题类似于下面的 1983 年一道全国高中数学联赛试题: 2 ? 已知函数M=f (x) =ax -c满足: -4≤f (1) ≤-1, -1≤f (2) ≤5, 那么f (3) 应满足 ( ) . ? A.-7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 ? C.-1≤f(3)≤20 D.-28/3≤f(3)≤35/3 ? (2)如果由条件① 、② 先分别求出x、y的范围,再由 2x-y的范围得结论,容易出错.上面的解 法 1 运用了整体的思想,解法 2 则直观可靠,详见文[1] . 二.填空题

7.

2 3 3
(0 , 1) ? (1 , 2 7 ) ? (4 , ? ?)
2

8.

?

30 72 ? i 13 13
3 ) ? [ 2 , ? ?) 2

9.

6 6

10.

11.

[1 ,

12. 732

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7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. ?讲解:若注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法;若注意到离心率e和焦参数p (焦点到相应准线的距离)的几何意义,本题也可以直接求短半轴的长.
? ( 0)?a ?c ?1 解法 1:由 ? (? )?a ?c ?1/ 3 得

?

a=2/3,从而b=

3 2 3 ,故 2b= 3 3

?解法 2:由e=c/a=1/2,p=b2/c=1 及b2=a2-c2,得
3 2 3 .从而 2b= . 3 3

b=

?说明:这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题. ?8. 若复数z1、 2满足|z1|=2, z |z3|=3, 1-2z2= 3z (3/2) -i, 则z1·z 2=______________. ?讲解:参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符 合学生的思维特点,而且也不繁. ?令z1=2(cosα +isinα ),z2=3(cosβ +isinβ ),则由 3z1- 2z2=(3/2)-i及复数相等的充要条件,得

?


6(cos? ?cos ? ) ?3 / 2 6(sin ? ?sin ? ??1

?

?12 sin((? ? ? ) / 2) sin((? ? ? ) / 2)?3 / 2 12 cos((? ? ? ) / 2) sin((? ? ? ) / 2)??1

二式相除,得tg(α +β )/2)=3/2.由万能公式,得 ?sin(α +β )=12/13,cos(α +β )=-5/13. 故z1·z2=6[cos(α +β )+isin(α +β )] ? =-(30/13)+(72/13)i. ?说明:本题也可以利用复数的几何意义解. ?9.正方体ABCD-A1B1C11的棱长为 1,则直线A1C1与BD1的距离是 ______________. ?讲解:这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.

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图2 ?为了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直, 不妨先将其中一条直线置于 另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD1B1,则A1C1⊥面BDD1B1,且 BD1 面BDD1B1. 设A1C1∩B1D1=0, 在面BDD1B1内作OH⊥BD1, 垂足为H, 则线段OH的长为异面直线A1C1与BD1的距离.在Rt△BB1D1中,OH等于斜边BD


上高的一半,即OH=

/6.

?10.不等式|(1/log1/2x)+2|>3/2 的解集为______________. ?讲解:从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得log1/2x<-2,或-2/7<lo g1/2x<0,或log1/2x>0. 从而x>4,或 1<x<22/7,或 0<x<1. ?11.函数y=x+ 的值域为______________.

?讲解:先平方去掉根号. 由题设得(y-x)2=x2-3x+2,则x=(y2-2)/(2y-3). 由y≥x,得y≥(y2-2)/(2y-3).解得 1≤y<3/2,或y≥2. 由于 能达到下界 0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞).

?说明:(1)参考答案在求得 1≤y<3/2 或y≥2 后,还用了较长的篇幅进行了一番验 证,确无必要. ?(2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.

图3
?12 .在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3) ,要求同一块中种同一种植物,相邻的两 块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方案. ? 讲解:为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、 C、E种植植物的种数,分以下三类. ? (1)若A、C、E种同一种植物,有 4 种种法.当A、C、E种植后,B、D、E可从剩余的三种植 物中各选一种植物(允许重复) ,各有 3 种方法.此时共有 4× 3× 3× 3=108 种方法. ? (2)若A、C、E种二种植物,有P42 种种法.当A、C、E种好后,若A、C种同一种,则B有 3 3 种方法, F各有 2 种方法; D、 若C、 E或E、 A种同一种, (只是次序不同) 此时共有P4 ×(3× 2) 相同 . 3 2× =432 种方法. 3 3 ? (3)若A、C、E种三种植物,有P4 种种法.这时B、D、F各有 2 种种方法.此时共有P4 × 2× 2× 2 =192 种方法.
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? 根据加法原理,总共有N=108+432+192=732 种栽种方案. ? 说明:本题是一个环形排列问题.

三.解答题 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d 2 ? 0

解得: d ? (?2 ? 2 )a1

……………………………………………………… 5 分

而 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 a1<0 若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 q ?
2 a2 2 a1 2 a2 2 a1

? ( 2 ? 1) 2

若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 q ?

? ( 2 ? 1) 2

……………………………… 10 分

但 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 存在,故| q |<1,于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不可能.
n ? ??

从而

2 a1

1 ? ( 2 ? 1)

2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2
……………………………… 20 分

所以 a1 ? ? 2 , d ? (?2 ? 2 )a1 ? 2 2 ? 2

? x2 2 ? 2 ? y ?1 14.解:(1)由 ? a ? y 2 ? 2( x ? m ) ?

消去 y 得: x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ? 0



设 f ( x) ? x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只需讨论以下三种情况:

a2 ?1 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; 2 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.
1°△=0 得: m ? 综上可知,当 0<a<1 时, m ?

a2 ?1 或-a<m≤a; 2 当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………… 10 分

(2)△OAP 的面积 S ? ∵0<a<

1 ay p 2

1 ,故-a<m≤a 时,0< ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m <a, 2

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由唯一性得

x p ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m

显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0,从而 yp= 1 ?

x2 p a
2

取值最大,此时 y p ? 2 a ? a 2 ,

∴ S ? a a ? a2 .

a2 ?1 1 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2 ,此时 S ? a 1 ? a 2 . 2 2 1 下面比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小: 2 1 1 令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,得 a ? 2 3 1 1 1 故当 0<a≤ 时, a a ? a 2 ≤ a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a 1 ? a 2 . 2 3 2 1 1 1 当 ? a ? 时, a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,此时 Smax ? a a ? a 2 .……… 20 分 2 3 2
当m ? 15.解:设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、R2 是 a1、a2 的 任意排列时,RFG 最小 …………………………………………………… 5 分 证明如下: 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则

1 1 1 .故交换二电阻的位置,不改 ? ? R R1 R2

变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2.

2.设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB

R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1 R2 ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最 小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的—个. 3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD

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若记 S1 ?

1?i ? j ?4

?R R
i

j

,

S2 ?

i 1?i ? j ?k ?4

?R R R
j

k

,则 S1、S2 为定值,于是 RCD ?

S 2 ? R1 R2 R3 S1 ? R3 R4



只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即得总电阻的阻值最 ………………………………………………………………………… 15 分

4°对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5; 且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20 分

2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC 又∠OBC=

1 (180°-∠BOC)=90°-∠BAC 2

∴OB⊥DF. (2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2 ⑤ …………………………………… ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系, 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则 k AC ? ? ∴直线 AC 的方程为 y ? ?

30 分

50 分

a a , k AB ? ? c b

a c ( x ? c) ,直线 BE 的方程为 y ? ( x ? b) c a
第 10 页 共 13 页

c ? ? y ? a ( x ? b) ? 由? ? y ? ? a ( x ? c) ? c ?
同理可得 F(

得 E 点坐标为 E(

a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc , ) a2 ? c2 a2 ? c2

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , ) a2 ? b2 a2 ? b2

a c c ? (x ? ) 2 a 2 b?c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x ? 2 a c c ? ? y ? 2 ? a (x ? 2 ) b ? c bc ? a 2 ? , 由? 得 O( ) 2 2a ?x ? b ? c ? 2 ?
直线 AC 的垂直平分线方程为 y ?

k OB

bc ? a 2 bc ? a 2 2a ? ? b?c ac ? ab ?b 2

, k DF ?

ab 2 ? abc ab ? ac ? a 2 b ? b 2 c a 2 ? bc

∵ kOB k DF ? ?1 同理可证 OC⊥DE.

∴OB⊥DF

在直线 BE 的方程 y ?

bc c ) ( x ? b) 中令 x=0 得 H(0, ? a a

bc ? a 2 bc ? 2 2a a ? a ? 3bc ∴ k OH ? b?c ab ? ac 2 ab ? ac x 直线 DF 的方程为 y ? 2 a ? bc
ab ? ac ? ? y ? a 2 ? bc x ? 由? ? y ? ? a ( x ? c) ? c ?
同理可得 M (

得N(

a 2 c ? bc2 abc ? ac2 , 2 ) a 2 ? 2bc ? c 2 a ? 2bc ? c 2

a 2b ? b 2 c abc ? ab2 , 2 ) a 2 ? 2bc ? b 2 a ? 2bc ? b 2

∴ k MN ?

a(b 2 ? c 2 )(a 2 ? bc) ab ? ac ?? 2 2 2 (c ? b)(a ? bc)(a ? 3bc) a ? 3bc

∵kOH ·MN =-1,∴OH⊥MN. k 二.解:先求最小值,因为 (

?
i ?1

n

xi ) 2 ?

?
i ?1

n

xi2 ? 2

1?k ? j ?n

?

k xk x j ? 1 ? j

?x
i ?1

n

i

≥1

第 11 页 共 13 页

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴

?x
i ?1

n

i

最小值为 1. …………………………………………………………… 10 分

再求最大值,令 xk ? k yk ∴

? ky
k ?1

n

2 k

?2

1?k ? j ?n

? ky
n

k

yj ?1



设M ?

?x ? ?
k k ?1 k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y 2 ? ? ? y n ? a2 ? k yk , 令 ? ?? ? ? y n ? an ?
…………………………………………………… 30 分

2 2 2 则①? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1
n

令 a n ?1 =0,则 M ?
n n

?
k ?1

k (ak ? ak ?1 )

?

?
k ?1

k ak ?

?
k ?1

k ak ?1 ?

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1 n

n

k ? 1 ak ?

?(
k ?1

n

k ? k ? 1 )a k

由柯西不等式得:

M ?[

?
k ?1

n

( k ? k ?1 )2 ] 2 (

1

?
k ?1

n

2 ak ) 2 ? [

1

?(
k ?1

k ? k ?1 )2 ] 2

1

2 2 2 ak an a1 等号成立? ??? ??? 1 ( k ? k ?1 )2 ( n ? n ?1 )2 2 2 2 a1 ? a2 ? ? ? an 2 ak

?

1 ? ( 2 ? 1 )2 ? ?? ( n ? n ?1 )2
k ? k ?1 [

?

( k ? k ?1 )2

? ak ?

?(
k ?1

n

(k=1,2,…,n)
2
1 2

k ? k ?1 ) ]

由于 a1≥a2≥…≥an,从而 y k ? a k ? a k ?1 ?

2 k ? ( k ?1 ? k ?1 ) [

?(
k ?1

n

? 0 ,即 xk≥0

k ? k ?1 ) ]
2

1 2

所求最大值为 [

?(
k ?1

n

k ? k ?1 )2 ] 2

1

…………………………………………… 50 分

三.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 …………………………………………… 10 分
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事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn+n-(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n<k+1,从 矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得正方形边长之和恰 为 m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原矩形 ABCD 有 D D1 C 一 种 分 法 使 得 所 得 正 方 形 边 长 之 和 为 rn + n - (m , n) …………………………………… 20 分 n (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m,n) 假设当 m≤k 时, 对任意 1≤n≤m 有 f (m, n)=rn+n-(m, m A1 A B n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap 不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n, 则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界). 于 是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…ap 的正方形,由归 纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50 分

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