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《弦切角定理》课件


弦切角(1)
B

A

P

我们曾经学习过的有关于圆的角?PAB
A

点A运动到圆上
O(A) B P 使 PA 与 圆 相 A切 O B PA 绕 A 旋 转 O B

A与圆心O重合
?PAB为圆心角
P

r />?PAB为圆周角 此时?PAB是什么角? 答:?PAB是圆O的

P

弦切角

∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样?

顶点在圆上,

B

一边与圆相交,
另一边与圆相切 的角叫做弦切角
A
? 是弦切角∠PAB所夹的弧。 AmB

m
P

顶点在圆上,一边与圆相交,另一边 与圆相切的角叫做弦切角。 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角?
C B A C C A

×
B

×
C

B

A

×
B

B C

×
A

A



从数学的角度看,弦切角能分成几大类? C C C .O .O .O P P P D A B A A B D
?BAC为直角, 圆心在AC上。 ?BAC为锐角, 圆心在角外。

B

?BAC为钝角, 圆心在角内。

上图中?BAC所夹的弧分别是:半圆 、劣弧、优弧。

猜想:弦切角 ?BAC与圆周角 ? APC 的关系 现在分别作出他们所对 的圆周角 ? APC , 如上图

︵ 已知:AC是⊙O的弦, AB是⊙O的切线,AmC 是弦切角∠BAC所 ︵ 夹的弧,∠P是AmC所对的圆周角。 求证:∠BAC=∠P Q C

Q

C P A O
O

C

m

m P
P

O

m B

( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部

作⊙O的直径AQ,连结CQ ∵∠BAQ=∠ACQ=90° ∴∠BAC=90°-∠CAQ 。 ∠Q=90°-∠CAQ ∴ ∠BAC=∠Q

弦切角等于所夹 弧对的圆周角

D B A B 圆心O在∠BAC A ( 3 ) 的内部 ( 2 )圆心O在∠BAC的边AC上 作⊙O的直径AQ, ∵ AB是⊙ O的切线, 连结CQ ∴ ︵ ∠BAC=90° ∵∠BAC=180°-∠DAC 又∵ AmC 是半圆, 180°-∠Q ∴ ∠P∠P= =90° ∠DAC=∠ ∴ ∠BAC=∠ P Q ∴ ∠BAC=∠P

课堂练习:

1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空:

30?

O
70?
1 3

O
25?

O
2

80? 4 A ; B

A ∠1= 30? ∠4= 40?

B

A

B

;∠2= 70? ;∠3= 65? 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.

2、选择: AB为⊙O直径,PC为⊙O的切线,C为切点, 若∠BPC=30°,则∠BCP=( A )。 A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°
C P

B

O

A

3、如图:四边形ABCD为圆内 接四边形,AB是直径,MN切⊙O于 C点,∠BCM=38°,那么∠ABC 的度数是( B )。 A、38°B、52° C、68° D、42°
O

A
D

B
38°

M

C

N

弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论:两个弦切角所夹的弧相等,
那么这两个弦切角相等。
如图,DE切⊙O于点A,AB、AC是 ? ? ,那么∠DAB ⊙O的弦,若 AB=AC 与∠EAC是否相等?为什么?

∠ DAB= ∠EAC

C O E

B

A

D

例1:如图:已知AB是⊙O的直 径,AC是弦,直线CE和⊙O切于 B 点C,AD⊥CE于D。 求证:(1)AC平分∠BAD (2)AC2=2AD· AO
E

例题解析

O

A
C D

你还能用其他方法解答 吗?试试看!

有弦切角,常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。

例题解析(思路2)

例1: 如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直 线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足是D,求证: AC平分∠BAD.
连结OC,由切线性质, 可得OC∥AD,于是 有∠2=∠3,又由于 ∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
E

B

·
3

O

1

A
2

C

D

小结:
1、概念的引入

顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
2、定理的发现 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论:两个弦切角所夹的弧相等,

那么这两个弦切角相等。

小结:
3、定理的证明 4、应用与推论

你掌握了吗?

一般情况下,弦切角、圆周角、圆心角都是 通过它们夹的(或对的)同一条弧(或等弧)联 系起来,因此,当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处的半径应用切线的性质。

作业
? 1、课课练 /P.84 ? 2、预习“弦切角”(2)


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