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高二下学期理科练习题2


.

高二数学试卷(理科)3
1.集合 M ? {4,5, ?3m} , N ? {?9,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为( A. 3 或 ?1 2.函数 f ( x) ? log 2 x ? A. (0, ) B. 3 C. 3 或 ?3 ) D. ?1 )

1 的零点所在的区间为( x
B. (

,1)

1 2

1 2

C. (1,2)

D. (2,3)
)

1 3.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)

4.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?

2

) 的部分图象
1

y

如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位后, 得到的图象关于原点对称,则 m 的最小值为( A. ) D.

11? 12

O

?
24

B.

? 12

C.

? 6

? 3

? 6

x

5. 已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的函数,a ? R ,那么“对任意的 x ? R ,| f ( x) |? a 恒成立”的充要条件是( A.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 或 f ( x) ? ?a 恒成立 B.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 恒成立 或 对任意的 x ? R , f ( x) ? ?a 恒成立 C.对任意的 x ? R , f ( x) ?| a | 或 f ( x) ? ? | a | 恒成立 D.对任意的 x ? R , f ( x) ? a 恒成立 且 对任意的 x ? R , f ( x) ? ?a 恒成立



6. ?P R 的三个顶点坐标分别为 P(cos A, sin A) ,Q(cos B, sin B) ,R(cos C, sin C ) , 若 Q 其中 A, B, C 是 ?ABC 的 三个内角且满足 A ? B ? C ,则 ?PQR 的形状是( A.锐角或直角三角形 C.锐角三角形 )

B.钝角或直角三角形 D.钝角三角形

7.设 {a n } 是公比为 q 的等比数列,首项 a1 ?

1 , 2 2 ? q ? 4 ,对于 n ? N ? , bn ? log 1 an ,若数列 ?bn ? 的前 64 2
D.4 或 5

k 项和取得最大值,则 k 的值为(
A.3 8.记 f
(1)

) C.5

B.4

( x) ? [ f ( x)]' , f ( 2) ( x) ? [ f (1) ( x)]' ,?, f ( n ) ( x) ? [ f ( n ?1) ( x)]' (n ? N ? , n ? 2) .
(1)

若 f ( x) ? x cos x ,则 f (0) ? f A. 1006 B. 2012

(0) ? f ( 2) (0) ? ? ? f ( 2012) (0) 的值为(
C. ? 2012 D. ? 1006



9.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,如果存在正整数 k 和 l (k ? l ) ,使得 S k ? k l , S l ? lk ,则(
2 2



A. S k ?l 的最小值为 ? 6

B. S k ?l 的最大值为 ? 6

.

C. S k ?l 的最小值为 6

D. S k ?l 的最大值为 6

10.设定义域为 (0,??) 的单调函数 f (x) ,对任意的 x ? (0,??) ,都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 6 ,则 f ( ( )A. 8 B. 4 C.

1 ) 的值为 16

1 4

D. 0

11 . 已 知 e1 , e 2 是 两 个 不 共 线 的 平 面 向 量 , 向 量 a ? 2e1 ? e2 , b ? e1 ? ? e2 (? ? R) , 若 a / / b , 则 ? = .
2

?

?

12.记 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 a1 ? a5 ? 0 ,当 k ? 2,3,4,5 时有 (a k ? a k ?1 ) ? 1 成立,则 S 5 的所有可能值 组成的集合为 .

13.函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x , x ? [0, ] 的值域为
x

π 6

π 2



14. 若在函数 f ( x) ? a ? x ? 2a (a ? 0 且 a ? 1) 的图象上存在不同两点 A, B , 且 A, B 关于原点对称,则 a 的取值范围是
?



15. A, B, C 是圆 O 上的三点, ?AOB ? 120 , CO 的延长线与线段 AB 交于 ... 点 D , 若 OC ? mOA ? nOB (m, n ? R) , 则 m ? n 的 取 值 范 围 是 .

16.已知数列 ? an ? 满足

1 1 1 ? ??? ? n 2 ? 2n 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an
n

(1)求数列 {a n } 的通项公式;(2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?a n ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 17.在 ?ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 c ? 2 3 , a ? b ? 4 . (1)求

sin(A ? B) 的值;(2)求 ?ABC 的面积 S 的最大值;(3)若 AD ? 2 DB ,求 | CD | 的最小值. sin A ? sin B
3

18.已知函数 f ( x) ? x ? ax (a ? 0) , g ( x) ? sin x .(1)若 a ? 3 ,求函数 y ? f (x) 的极值; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时 g ( x) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围;
1 1 1 6n 2 ? 2 n ? 1 ? 3 sin ? ? ? n sin ? . 2 3 n 6n

(3)若 n ? N , n ? 2 ,求证:求证: sin1 ? 2 sin

.

高二数学答案(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. ?

1 2

12. {?4,?2,0,2,4}

13. [?

3 3 , ] 4 2

14. a ?

1 且 a ? 1 15. [?2,?1] 2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解: (1) n ? 1时有

1 2 ? 3 ,所以 a1 ? 1 ? a1 3

n ? 2 时,有

1 1 1 ? ??? ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a n ?1

从而

1 2n ? 2n ? 1 ,得 a n ? ,此式对 n ? 1也适用 1 ? an 2n ? 1

综上, a n ?

2n ……………………………………………………6 分 2n ? 1

(2n ? 1)[ n ? 8 ? (?1) n ] 2n? n (2)由 ? n ? 8 ? (?1) 得 ? ? 2n 2n ? 1

n 为奇数时, ? ?
当 n ? 1时,

2n 2 ? 15n ? 8 1 8 ? (2n ? ? 15) 2n 2 n

1 8 21 21 (2n ? ? 15) 取得最小值 ? ,所以此时有 ? ? ? 2 n 2 2
2n 2 ? 17 n ? 8 1 8 ? (2n ? ? 17 ) 2n 2 n

n 为偶数时, ? ?
当 n ? 2 时,

1 8 25 25 (2n ? ? 17 ) 取得最小值 ,所以此时有 ? ? 2 n 2 2 21 综上, ? 的取值范围是 ? ? ? ………………………………………………….12 分 2

17.解(1)

sin(A ? B) sin C c 3 ? ? ? …………….........4 分 sin A ? sin B sin A ? sin B a ? b 2
2 2 2 2

( 2 ) 由 余 弦 定 理 得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 2ab(1 ? cosC ) , 代 入 a ? b ? 4 及 c ? 2 3 得

.

ab ?

2 1 ? cos C

( a ? b) 2 1 2? 由 ab ? ? 4 得 cos C ? ? ,所以 0 ? C ? 4 2 3
从而 S ?

1 sin C ab sin C ? ? 2 1 ? cosC

2 sin

当C ?

2? , a ? b ? 2 时取到等号. 3

C C cos 2 2 ? tan C ? tan ? ? 3 C 2 3 2 cos2 2

综上, S 的最大值为 3 ………………………………………………………….9 分 (3)易得 CD ? 所以 | CD | ?
2

1 2 CA ? CB 3 3

b 2 4a 2 4 a 2 ? b 2 ? c 2 2a 2 ? b 2 ? 8 4 8 8 ? ? ab ? ? ? (a ? ) 2 ? ? 9 9 9 2ab 3 3 9 9

即 | CD |?

2 2 4 8 当 a ? , b ? 时取到等号 3 3 3

综上, | CD | 的最小值为

2 2 …………………………………………………..14 分 3

18.解: (1)极大值为 f ( ) ?

1 3

2 1 2 ,极小值为 f (? ) ? ? …………………….4 分 9 3 9
3

(2)设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? sin x ? ax ? x

h' ( x) ? c o s ? 3ax 2 ? 1 x
注意到 h(0) ? h' (0) ? h' ' (0) ? 0 若 0 ? 6a ? 1 即 0 ? a ?

h' ' ( x) ? ? sin x ? 6ax

h' ' ' ( x) ? ? c o s ? 6a x

1 ? , ?x0 ? (0, ) ,使 h' ' ' ( x0 ) ? 6a ? cos x0 ? 0 6 2

.

x
h' ' ' ( x) h' ' ( x )

(0, x0 )
h ' ' ' ( x ) ? h' ' ' ( x 0 ) ? 0

( x0 , ) 2
h' ' ' ( x) ?? h' ' ' ( x0 ) ? 0

?

递减, h' ' ( x) ? h' ' (0) ? 0 递减, h' ( x) ? h' (0) ? 0 递减, h( x) ? h(0) ? 0
1 ? ? , 当 x ? [0, ] 时 h' ' ' ( x) ? 0 ,进而 h' ' ( x) 在 [0, ] 上递增,从而 h' ' ( x) ? h' ' (0) ? 0 ,于 6 2 2

h' ( x ) h(x)
这与题目要求矛盾. 若 6a ? 1即 a ? 是 h' ( x) [0, 要求.

?

] 上递增,所以 h' ( x) ? h' (0) ? 0 ,故 h(x) 在 [0, ] 上递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 恒成立,满足题目 2 2 1 ………………………………………………..9 分 6
x 3 sin x x2 即 ? 1? 6 x 6

?

综上所述, a 的取值范围是 a ?

(3)由(2)知当 x ? (0,1) 时有 sin x ? x ?

1 所以 n sin ? n

sin

1 n ? 1? 1 1 6n 2 n

从而

1 1 1 1 1 1 s i n ? 2 s i n ? 3 s i n ? ? ? n s i n ? (1 ? ) ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 6 6? 2 6n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? n ? (1 ? ? ?? ? ) 6 6 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 3 n 1 1 6n 2 ? 2n ? 1 ? n ? (2 ? ) ? 6 n 6n
证毕…………………14 分


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