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四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理


绵阳市高中2010级第三次诊断性考试 数学(理)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页,第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:

1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用25铅笔填涂在答题

卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。 第I卷(选择题,共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U=R,集合 A={x||x|≤1},B={x|x≤1},则 (CU A) ? B 等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1} 2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题 q:
?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 .则下 列命题为真命题的是
2

A p?q C ( ?p ) ? ( ?q ) 3. 已 知 曲 线
x a
2 2

B p ? ( ?q ) D ( ?p ) ? q

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ?

2 2

x ,则该曲线的离心率为

A

6 2

B 2

C

6 3

D

3

4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是 A (0, C (
1 2 1 4

)

B (

1 4

,

1 2

)

, 1)

D (1,2)

5. 函数f(x)= x-sinx的大致图象可能是

6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,M 是 AB 的 中点,一只 蜜蜂在该几何体内自由飞舞,则它飞入几 何体 F-AMCD 内的概率为 A
1 3

B

1 2

C

2 3

D

3 4

7.如图所示, Δ ABC 中,D 为 BC 的中点, 丄 DA,垂足为 P,且 BP=2, 在 BP
则 BC.BP =

A. 2 C. 8

B. 4 D. 16

?x ? y ? 2 ? 8. 已知 E 为不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ,表示区域内的一点,过点 E 的直 ?y ? 1 ?
2 2 线 l 与圆 M:(x-1) +y =9 相交于 A,C 两点, 过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、 D 两点,当 AC 取最小值时,四边形 ABCD 的面积为

A. 4 5

B. 6 7

C. 12 2

D. 12

9. 如果正整数 M 的各位数字均不为 4,且各位数字之和为 6,则称 M 为“幸运数”,则 四 位正整数中的“幸运数”共有 A. 45个 B. 41个 C. 40个 D. 38个 10. 已知函数 f1(x)=x2-2|x|,f2(x)=x+2,设; f ( x) ? 若 a,b∈[-2, 4],且当x1,x2 ? [a, b]( x1 ? x 2 ) 时, A. 6 B. 4
g ( x1 ) ? g ( x 2 ) x1 ? x 2

f1 ( x) ? f 2 ( x) 2

?

| f1 ( x) ? f 2 ( x) | 2

,

恒成立,则b-a的最大值为 D. 2

C. 3 第II卷(非选择题,共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 若复数 z满足 z.i=1+2i(i为虚数单位 ),则复数 z=________ 12. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S=______.

13. 已知 tan( x ? 14.

?
4

) ? 3 ,则 sinxcosx的值是 ______

已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线 C:y =4x相交于A,B两点,O、F分别为C的 顶点和焦点,若 OA ? ? FB(? ? R ) ,则 k=______ 15. 若数列{an}满足:对任意的n ? N*,只有有限个正整数m使得am<n成立,记这样的m 的个数为 (a n ) ,若将这些数从小到大排列,则得到一个新数列{ (a n ) },我们把它叫做 数列{an}的“星数列”.已知对于任意的n ? N , an=n 给出下列结论: ①数列{
*
* 2
* *

2

an n

}*的“星数列”的前100之和为5050;

②(a5) =2; ③数列 (a n ) 的前 n2 项和为 2n2-3n+1;
*

2 ④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为 ((a n ) ) =n
* *

以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号) 三、解答題:本大題共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分) 绵阳某汽车销售店以 8 万元 A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出,当售价定为 10 万元/辆时,每年可销售 100 辆该品牌的汽车,当每辆的售价每提 高 1 千元时,年销售量就减少 2 辆. (I)若要获得最大年利润,售价应定为多少万元/辆? (II)该销售店为了提高销售业绩, 推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的 汽车,若一次性付款,其利润为 2 万元;若分 2 期或 3 期付款,其利润为 2.5 万 元;若分 4 期或 5 期付款,其利润为 3 万元.该销售店对最近分期付叙的 10 位购车 情况进行了统计, 统计结果如下表.

若 X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值,求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分12分)

如图,已知平面PAB丄平面ABCD,且四边形ABCD是 矩形,AD : AB=3 : 2, Δ PAB为等边三角形,F是线段BC上的点且满足CF=2BF. (I)证明:平面PAD丄平面PAB (II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.

18. (本小题满分12分) 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 的图象向右平移
?
4

?
2

) 的部分图象如图示,将 y=f(x)

个单位后得到函数 y=f(x)的 图象.

(I )求函数 y=g(x)的解析式;
(II )在Δ ABC中,它的三个内角满足 2 sin
2

A? B 2

? g (C ?

?
3

) ? 1 ,且其外接圆半径R=

2,求Δ ABC的面积的最大值.

19. (本小题满分12分) 已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+8. (I)求公差d的值; (II )若a1=1,设Tn是数列 {
*

1 a n a n ?1

} 的前n项和,求使不等式 T ? n

1 18

( m ? 5m) 对所有的
2

n∈N 恒成立的最大正整数m的值; (III)设bn=
2 ? an an

/若对任意的n∈N*,都有bn≤b4成立,求a1的取值范围.

20. (本小题满分13分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,以

原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线
x? y? 2 ? 0 相切.A、B 是椭圆的左右顶点,直线 l 过 B 点

且与 x 轴垂直,如图. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P, Q两点,如果 ?
3 5 ? OP.OQ ? ? 2 9

(O为坐标原点),且满足 | PM | ? | MQ |? t PM .MQ ,

求实数t的取值范围.

21. (本小题满分14分) 已知函数. f ( x) ?
e
2x

的定义域为(0,+ ? ) (e是自然对数的底数).
x

(I)求函数y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值; (II)若 x>1时,函数y=f(x)的图象总在函数 g ( x) ? 2t ln x ?
t x ?t

的图象的上方,

求 实数t的取值范围;
n

(III)求证: ?
i ?1

1 i.e
2i

?

7 8e

绵阳市高 2010 级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDACA BCDBC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2
2 2

11.2-i 12.11 13. 5 14. 3 15.②④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)设销售价格提高了 0.1x 万元/辆,年利润为 y 万元. 则由题意得年销售量为 100-2x, 2 2 ∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x +6x+200=-0.2(x-15) +245. 故当 x=15 时,y 取最大值. 此时售价为 10+0.1×15=11.5 万元/辆. ∴ 当售价为 11.5 万元/辆时,年利润最大.?????????????4 分 (Ⅱ)由图表可知,利润为 2 万元的有 1 辆,2.5 万元的有 4 辆,3 万元的有 5 辆.
C4 ? C5
2 2

∴ P(X=0)= P(X=0.5)=

C10
1 1

2

?

16 45
1


1

C4 C1 ? C4 C5 C10
1 2

?

24 45



C5 C1 C10
2

1

?

5 45

?

1 9

P(X=1)= ∴ X 的分布列为: X

. 0.5 1

0

P

16 45

24 45

1 9

16

24

1

17

∴ X 的数学期望 E(X)= 45 ×0+ 45 ×0.5+ 9 ×1= 45 .
17

∴ X 的数学期望为 45 .?????????????????????12 分 17.解: (Ⅰ)取 AB 的中点为 O,连接 OP, ∵ △PAB 为等边三角形, ∴ PO⊥AB.① 又平面 PAB⊥平面 ABCD, ∴ PO⊥平面 ABCD, ∴ PO⊥AD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD⊥AB.② ∵ AB 与 PO 交于点 O, 由①②得:AD⊥平面 PAB, ∴ 平面 PAD⊥平面 PAB. ????????????????????6 分 (Ⅱ)以 AB 的中点 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 平行于 BC 所在直线为 y 轴, OP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 AB=2,AD=3, ∴ F(1,1,0),A(-1,0,0),P(0,0, ∴
???? DF ??? ? =(2,-2,0), AP =(1,0,

3 ),D(-1,3,0). ??? ? 3 ), AD =(0,3,0),

可求得平面 ADP 的法向量 n=( 3 ,0,-1), 若直线 DF 与平面 PAD 的所成角为 θ ,则 sinθ >|= 又由图形可知,θ 为锐角,
1
???? =|cos<n, DF
???? DF ? n 3 | ???? |? 2 | DF | ? | n |

z
P A D
y

, B

O

∴cosθ =

2


1

C

x

F

∴直线 DF 与平面 PAD 的所成角的余弦值为 2 . ??????????12 分
2?

18.解: (Ⅰ)由图知:
? ?

=4 ( + ) ? 12 6 ,解得

?

?

ω =2.

∵ ∴
?

f ( ) ? sin(2 ? ? ?) ? 1 12 12 ,

?
6

? ? ? 2k? ?

?
2

( k ? Z)

? ? 2k? ?

?
3

( k ? Z)

,即
?
3



?
2

?? ?

?
2

??

由 ∴

,得
?
3 )



f ( x ) ? sin(2 x ?


?
4 )?

f (x ?

?
4

) ? sin[2( x ?

?
3

] ? sin(2 x ?

?
6

)





sin(2 x ?

?
6

)

即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)=
A? B

. ????????????6 分

(Ⅱ)∵ 2sin

2

g (C ?

?
3

) ?1

2

=
?
2



∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+

),
?

∵ cos(A+B)=-cosC,sin(2C+ 2 )=cos2C, 2 2 于是上式变为 cosC=cos2C,即 cosC=2cos C-1,整理得 2cos C-cosC-1=0,
? 1 2或

解得 cosC=
2

1(舍) ,

?

∴ C= 3


c
3

由正弦定理得: sin C =2R=4,解得 c=2
? 1
2 2

, ,

a ? b ? 12

2ab 于是由余弦定理得:cosC= 2 = 2 2 ∴ a +b =12-ab≥2ab, ∴ ab≤4(当且仅当 a=b 时等号成立).
1

3

∴ S△ABC=

2

absinC=

4

ab≤

3



∴ △ABC 的面积的最大值为 3 . ???????????????12 分 19.解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, ∵ S4=2S2+8,即 4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:4d=8, 解得 d=2.??????????????????????????3 分 (Ⅱ)由 a1=1,d=2,得 an=2n-1,
1

1



an an ?1
1

=

(2n ? 1)(2n ? 1)
? 1 a2 a3 ? 1 a3 a4

?

1

2 2n ? 1
1 an an ?1

(

1

?

1 2n ? 1

)



? ??? ?

∴ Tn=

a1a2

1

(1 ?

1 3

? 1

1 3

?

1 5

? 1

1 5

?

1 7

? ??? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)

=2
1 (1 ?

=2

2n ? 1

)
1

≥3,
( m ? 5m )
2

又∵ 不等式
1 1 3 ≥ 18

Tn≥ 18
2

对所有的 n∈N*恒成立,

( m ? 5m )

∴ , 2 化简得:m -5m-6≤0,解得:-1≤m≤6. ∴ m 的最大正整数值为 6.????????????????????8 分 (Ⅲ)由 d=2,得 an=a1+2n-2,
bn ? 2 ? an an 2
1? n? 1 a1 2 ?1

又∵

=1+

an

=



f ( x) ? 1 ?

1 x ? a1 ? 1

又函数
x ?1? a1

a1 ? a1 ? ? ? 1 , ?? ? ? ??, ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? 上分别是单调减函数, 在? 和?

x ?1?

a1

2 时 y<1; 2 时 y>1. 且 ∵ 对任意的 n∈N*,都有 bn≤b4 成立, 1? a1

2 <4, ∴ 3< 解得-6<a1<-4,即 a1 的取值范围为(-6,-4).???????????12 分
c ? 3 2

20.解: (Ⅰ)由题可得:e=

a


2

∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+
0?0?
2 2

=0 相切,

2

1 ?1 ∴ =b,解得 b=1. 2 2 2 再由 a =b +c ,可解得:a=2.

x

2

? y ?1
2

∴ 椭圆的标准方程为

4

.?????????????????5 分
??? ??? ? ? OP ? OQ

(Ⅱ)当直线的斜率为 0 时, =-4 ? [ 5 , 9 ],不成立; ∵ 直线的斜率不为 0,设 P(x1,y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0), 直线的方程可设为:x=my+1,
x
2

?

3

?

2

? y ?1
2

代入椭圆方程 ∴ y1+y2=
2

4

得:(m +4)y +2my-3=0
?3

2

2

?2m m ?4

,y1y2=

m ?4
2


2

4 ? 4m

而 x1x2=(my1+1)(my2+1)= ∴ 即 ∵
??? ??? ? ? OP ? OQ

m ?4
2 2



1 ? 4m

=x1x2+y1y2=
2

m ?4
2


1

?

? 2 5 ≤ m ? 4 ≤ 9 ,解得 2 ≤m2≤1; ???? ? ???? ? 2 2 2 PM ? ( x1 ? 1) ? y1 ? m ? 1 ? y1 MQ ?
???? ? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ? ???? ? | PM | ? | MQ |? t PM ? MQ ? t | PM | ? | MQ |

3

1 ? 4m

2



( x2 ? 1) ? y2 ? ? m ? 1 ? y2
2 2 2



又∵ ∴


? y2 ? y1 y1 ? y2
2

1 1 ? ? t ? ???? ? ???? ? | MQ | | PM |

1
2

(

1

?

1 y2

)?

1 m ?1
2

m ? 1 y1

?

1 m ?1
2

?

? ( y2 ? y1 ) ? 4 y1 y2 y1 ? y2

?

1 m ?1
2

?
2

4 m ?3
2

3

?

4 3

m ?3 m ?1
2

?

4 3

1?

2 m ?1
2


4 21 9

1

4 2

∴ 当

2

≤m ≤1 时,解得
e
2x

2

3

≤t≤ ,
f ?( x )

.?????????????13 分

(2 x ? 1) x
2

21.解: (Ⅰ)∵

f ?( x )

=
1

∴ 当 2x-1>0,即 x> 2 时,
1

>0,于是 f <0,于是

1 ( , ?) ? (x)在 2

上单调递增;

∴ 当 2x-1<0,即 x< 2 时, ∵ m>0,∴ m+2>2.
1 1

f ?( x )

1 ( ??, ) 2 上单调递减. (x)在

①m≤ 2 ≤m+2,即 0<m≤ 2 时,
1 1 1

f (x)在(m, 2 )上单减,在( 2 ,m+2)上单增,∴f (x)min=f ( 2 )=2e;
1
e
2m

②当 m> 2 时,f (x)在[m,m+2]上单调递增,∴f (x)min=f (m)=
1 1

m e


2m

∴ 综上所述:当 0<m≤ 2 时,f (x)min=2e;当 m> 2 时,f (x)min= m . ??????????????????????????4 分 (Ⅱ)构造 F(x)=f (x)-g(x)(x>1),
e
2x

?t

? 2t ln x ? t ? 0

则由题意得 F(x)=
2 xe
F ?( x )
2x

x ?t ? 2t x (2 x ? 1)(e

(x>1),
2x

?e x
2

2x

? t)

=
2

=

x

2

(x>1),
F ?( x )

①当 t≤e 时,e -t≥0 成立,则 x>1 时, 即 F(x)在
(1 ? ?) ,

2x

≥0,

上单增,
1 e
2

1

∴ F(1)=e -2t≥0,即 t≤ 2 ②当 t>e 时 ,
2

2

e

2

,故 t≤ 2
1 1



F ?( x )

=0 得 x= 2 或 2 lnt.
1

1

∴ F(x)在(1, 2 lnt)上单减,在( 2 lnt,+ ? )上单增,
1 1

∴ F(x)min=F( 2 lnt)=-2tln( 2 lnt)-t<0.∴不成立.
1 e
2

∴ 综上所述:t≤

2

.?????????????????????9 分
f ( x) ? e
2x

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,当 x>0 时,
x 1

x

≥2e,



e

2x

≤ 2e (x>0),

1

∴ ∴

ne
n

2n

?
1

n n e
?
2 2n

1

≤n
?

2

?
1

1 2e


? 1 3(e )
2 3

?i?e
i ?1

1 e
2

2i

2(e )

2

2

? ??? ?

1 n (e )
2 n

1

(1 ?

1 2
2

?

1 3
2

? ??? ?
1

1 n
2

)
1 n ?1
2

≤ 2e
1 (1 ?

1 2 ?1
2

?

< 2e
1 [1 ?

3 ?1
2

? ??? ?

)

1 2

(1 ?

1 3

?

1 2

?

1 4

? 1

1 3

?

1 5

? ??? ?

1 n?2

?

1 n

?

1 n ?1

?

1 n ?1

)]

= 2e
1 [1 ?

1 2

(1 ?

1 2

?

1 n

?

= 2e
7

n ?1

)]

< 8e

.????????????????????????14 分


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