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【高中数学必修四】1.3三角函数的诱导公式


1.3 三角函数的诱导公式

复习引入:诱导公式一(终边相同角公式): 郑州市12中 sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? ? k ? 360?) ? tan? (其中 k ? Z ) 用弧度制可写成

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ?

2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan?
(其中
k ?Z



复习引入:诱导公式一(终边相同角公式): 郑州市12中 sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? ? k ? 360?) ? tan? (其中 k ? Z )
诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余 弦、正切化到0? ―360? 之间角的正弦、余弦、 正切,其方法是先在0? ―360? 内找出与所给角 终边相同的角,再把它写成诱导公式(一)的形 式,然后得出结果.

能否再把 0? ~360?间的角的三角函数求值,化为 我们熟悉的 0? ~ 90? 间的角的三角函数求值问题呢?

r ?1 sin ? ? y

诱导公式二
cos? ? x
y tan ? ? x

sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

? ??

?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? tan ?
? ? ?的终边与?的终边关于原点对称

公式二

诱导公式二 记忆方法:利用图形

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
sin(? ?

? ??

?

?
3

) ? ? sin

?
3

? ?

3 2

cos(30? ? 180? ) ? ? cos 30? ? ? 3 2

tan(? ?

?
4

) ? tan

?
4

?1

可见把? ? ?转换为?的同名三角函数后,“ 只有正切正”

公式一

公式一和公式二的比较
公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?
3 sin(? ? ) ? ? sin ? ? 3 3 2
? ~ ?的角 ? 0 ~
3 2

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
sin1230? ? sin(120? ? 3 ? 360? ) ? sin120?

?

?

任意角 ? 0 ~ 2? 的角

?
2

的角

r ?1 sin ? ? y
cos( ?? ) ? x

诱导公式三
cos? ? x
y tan ? ? x

sin( ?? ) ? ? y
?y y tan( ?? ) ? ?? x x

?
??

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
? ?的终边与?的终边关于 x轴对称

诱导公式三
公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
sin( ?750? ) ? ? sin 750?

记忆方法:利用图形

负 角 公 式

?
??

负角→正角

可见把 ? ?转换为?的同名三角函数后只有 余弦正

由公式二和公式三我们容易得到
公式四

sin ?? ? ? ? ? sin ?
? tan?? ? ? ? ? ? tan?
钝角→锐角

cos?? ? ? ? ? ? cos?

补 角 公 式

可见把? ? ?转换为?的同名三角函数后只有 正弦正

公式五
? 复习初中知识
sin 30?

? cos60? sin45? ? cos45? sin60? ? cos30?
猜想

即sin 30? ? cos(90? ? 30? ) 即sin 45? ? cos(90? ? 45?) 即sin 60? ? cos(90? ? 60?)

归纳

sin ? ? cos(90? ? ? ) cos ? ? sin(90? ? ? )

公式五

公式六

sin(

? ?
2 2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin ?

cos(
?

cos(

?
2

(互余公式)

?? ? 由 ? ? ? ? - ? - ? ?及公式四和公式五可得 2 ?2 ?

功能:在三角函数值不变的情况下,改变三角 函数名,即用来“变名”

以上公式都是诱导公式,诱导公式的记忆:
口诀:奇变偶不变,符号看象限 口诀的意义:
2 1 )当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; k?

?

?? (k ? Z)的三角函数值

例题讲解
例1

? ?? (1) sin 225 ; (2) cos? ? ? ; ? 3? 11 ? ? ? (3)cos ? 240 12? ;(4) sin ? ? ? . ? 10 ?
?

求下列三角函数值:

?

?

例2

cos 180 ? ? ? sin ? ? 360 化简: . ? ? sin ? ? ? 180 ? cos ? 180 ? ?
? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

例题讲解
例3

证明: ? 3? ? ?1?sin? ? ? ? ? ? cos? ? 2 ? ? 3? ? ?2?cos? ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ?

例4

化简 ?? ? ? 11? ? sin ?2? ? ? ? cos?? ? ? ? cos? ? ? ? cos? ?? ? ?2 ? ? 2 ? ? 9? ? cos?? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?sin ? ?? ? ? 2 ?

练习反馈

1 (1)已知 cos ?? ? ? ? ? ? ,求 tan?? ? 9?? 的值. 2

3 ?? ? ? 5? ? (2)已知 cos? ? ? ? ? ,求 cos? ? ? ?的值. ?6 ? 3 ? 6 ?

小结: 1.六组诱导公式的相互关系及其功能 2.记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”


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