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第一节 函数的概念


核工业成都机电学校试讲
微积分的初步
——对函数的认识

微积分初步 从本章开始,进入微积分的学习,微积分是研究 函数微分与积分性质和应用的一个数学分支。微积分 的出现是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时 代意义的大事。如果没有微积分,就不会有轨道上的 人造卫星,也不会有经济学理论,而统计学则会是一 个截然不同的学科。在涉及变化的地方

,我们总会发 现微积分。

2

一、 函数概念
定义 设数集 D ? R , D ? Φ ,如果对 D 中的每一 个 x,按照某个对应法则 f,有唯一的数y ? R 与之对 应, 则称 f 是定义在 D 上的一个函数, 记为 y ? f ( x ) ,

x ? D 。其中 D 称为 定义域 。
x称为自变量,y称为因变量.

Rf 全体函数值组成的集合称为函数的值域,记为
f ( D ) ,即



R f ? f ( D) ? { y y ? f ( x), x ? D} .
3

注意: 在函数的定义中, 对于每个 x ? D ( f ) , 对应的 函数值 y ? f ( x ) 是唯一的 (因此 , 也称为 单值函数 ), 而对于每个 y ? R( f ) ),以之作为函数值的自变量 x 不一
定唯一 .
2 它的值域是 y ? x 是定义在R上的一个函数, 例如,

R( f ) ? { y | y ? 0 }
对于每个函数值 y ? R( f ) ,对应的自变量有两个,即

x?

y 和x?? y .

确定函数的两要素:定义域和对应法则。
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二、函数的表示法
1)图象法 2)表格法 3)解析法(公式法)

点集C ? {( x, y) y ? f ( x ), x ? D} 称为 函数y ? f ( x )的图形.

y

Rf

y

?( x, y)
x

o

x

D
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三、 基本初等函数
1.常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数统称为基本初等函数.

( 1 )幂函数,

y ? x ? (?为常数)

(2)指数函数 , y ? a x (a为常数, a ? 0, a ? 1) (3)对数函数 , y ? loga x(a为常数, a ? 0, a ? 1)
(4)三角函数 y ? sin x y ? cos x y ? tan x y ? cot x
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(5)反三角函数 y ? arcsin x y ? arccosx y ? arctanx y ? arccot x

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2.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次 的复合而成的,并且能用一个式子表示的函数成为初等函数.
函数y ? 1 ? x ,
2

y ? sin x ? sin 2 x ? sin 3x,

x2 ? ex y? 均是初等函数。 2 ln(x ? 1)

而y ? sin x ? sin 2 x ? sin 3x ? ?sin nx ? ?不是有限次四则运算, 所以不是初等函数。

? x ?1 x ? 0 分段函数y ? ? , y不能由一个式子表示, 所以不是初等函数。 sin x x ? 0 ?

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3.复合函数
设函数 y ? f (u) 的定义域与 u ? g( x ) 的值域的交 集非空, 则 y ? f [ g ( x )] 是 y ? f ( u) 与 u ? g ( x ) 的复合 函数。u 称为中间变量。

例如:

y ? arcsinx 2 可看作由
复合而成。

2 u ? x y ? arcsinu 和

注:不是任何函数都可以复合成一个函数。
设 y ? f (u) ? arcsin u , u ? 2 ? x 2 , 不能复合。
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注意复合次序: f ( x ) ? sin x , g( x ) ? x 2 ,
2 g [ f ( x )] ? sin x。 而 则 f [ g( x )] ? sin x ,
2

复合可以多次进行。 例1

设 y ? u2 , u ? sin v , v ? lg x ,则这三个函数的

复合为

y ? (sinv )2 ? [sin(lg x )]2 .
例2 函数 y ? lg(sin x ) 可看成下列函数
2
2 v ? sin w , u ? lg v , 的复合。 w ? x y? u,
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重要问题:把一个复杂的函数分解为几个简单 函数的复合运算或四则运算。
1

例3

y?e

sin 2 x



y ? e u ,u ?
例4 y ?
3

1 , v ? w 2 , w ? sin x 。 v
2

x ? 1? x :
u , u ? x ? w, w ?

y?

3

t , t ? 1 ? x2 .

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例5 设 f ( x ) 的定义域为[0, 1],问(1)f ( x 2 ) ,(2)f ( x ? a )
( a ? 0 )的定义域各是什么?

解 (1) 令 0 ? x 2 ? 1 , 得 ? 1 ? x ? 1 ,
所以 f ( x ) 的定义域为[?1, 1] 。
2

(2) 令 0 ? x ? a ? 1 , 得 ? a ? x ? 1 ? a ,
所以 f ( x ? a) 的定义域为[?a, 1 ? a] 。

12

例6

1 设 f ( ? 1) ? sin x , 求 f ( x ) . x

1 1 解 设 t ? ?1, 则 x ? , t ?1 x 1 , 所以 f ( t ) ? sin t ?1
于是

1 f ( x ) ? sin . x ?1

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4.函数的四则运算
设有函数f,g如下:

y ? f ( x ) , x ? D1 和 y ? g( x ) , x ? D2
且 D ? D1 ? D2 ? Φ ,
则定义f,g的和、差、积、商如下:

( f ? g )( x ) ? f ( x ) ? g( x ) , x ? D ( f ? g )( x ) ? f ( x ) ? g( x ) , x ? D
f f ( x) ( )( x ) ? , x ? { x ? D, g( x ) ? 0} g g( x )
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在实际应用中,常常不用抽象的函数记号,而直 接依次表示为

y ? f ( x ) ? g( x ) , x ? D y ? f ( x ) ? g( x ) , x ? D
f ( x) y? , x ? { x ? D, g( x ) ? 0} g( x )

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a ? 0 ),求 [ 0, 3a ] ( 例4 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 函数 g ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( 2 x ? 3a ) 的定义域 .

?0 ? x ? a ? 3a 解 ? ?0 ? 2 x ? 3a ? 3a
? ? a ? x ? 2a ? ? ? 3 ? a ? x ? 3a ? 2

?3 ? 因此 g(x) 的定义域为 ? a , 3a ? . ?2 ?
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END
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