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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性


§ 7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一 侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标 系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区

域应包括边界直线,则把边界直线画 成实线. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所 得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0 +C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.( × ) (2)不等式 x2-y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的
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意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

含有 y 轴的两块区域.( √ 3x-y-6<0, ? ? (3)不等式组?x-y+2>0, ? ?x≥0,y≥0

)

表示的平面区域是如图所示的阴影部分.( × )

(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( √

)

(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( √ ) (6)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距.( × )

1.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是( A.(0,0) C.(-1,3) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选 C. x-y≥-1, ? ? 2.若实数 x,y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, A.3 B. 答案 C 解析 因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直, 所以如图所示的可行域为直角三角形, 易得 A(0,1),B(1,0),C(2,3), 1 故|AB|= 2,|AC|=2 2,其面积为 ×|AB|×|AC|=2. 2 5 2 C.2 D.2 2 B.(-1,1) D.(2,-3)

)

则该约束条件所围成的平面区域的面积是(

)

3.若点(m,1)在不等式 2x+3y-5>0 所表示的平面区域内,则 m 的取值范围是( A.m≥1 C.m<1 答案 D B.m≤1 D.m>1

)

-2-

解析 由 2m+3-5>0,得 m>1. y≤x, ? ? 4.(2014· 湖南)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k, ________. 答案 -2 解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z=2x

且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k=

+y,则 y=-2x+z.易知当直线 y=-2x+z 过点 A(k,k)时,z=2x+ y 取得最小值,即 3k=-6,所以 k=-2.

题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 x≥0, ? ? 例 1 (1)若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 分,则 k 的值是( 7 3 4 3 A. B. C. D. 3 7 3 4 (2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.
?x+y-1≥0, ? 答案 (1)A (2)? ? ?x-2y+2≥0

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部 3

)

解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示.

4 4 4 0, ?.因此只有直线过 AB 中点时,直线 y=kx+ 能平分平面区域. 由于直线 y=kx+ 过定点? 3 ? ? 3 3 1 5? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 D? ?2,2?. 1 5? 4 5 k 4 , 时, = + , 当 y=kx+ 过点? 2 2 ? ? 3 2 2 3

-3-

7 所以 k= . 3 (2)两直线方程分别为 x-2y+2=0 与 x+y-1=0. 由(0,0)点在直线 x-2y+2=0 右下方可知 x-2y+2≥0, 又(0,0)点在直线 x+y-1=0 左下方可知 x+y-1≥0,
?x+y-1≥0, ? 即? 为所表示的可行域. ?x-2y+2≥0 ?

思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法: 直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可 以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点. x+y-1≥0, ? ? (1)在平面直角坐标系中, 若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0 域的面积等于 4,则 a 的值为( A.-5 B.3 C.5 D.7 (2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________. )

(a 为常数)所表示的平面区

答案 (1)D (2)x+y-1>0 解析 (1)直线 ax-y+1=0 过点(0,1), 作出可行域如图知可行域由点 A(1,0),B(1,a+1),C(0,1)组成的三角形的 内部(包括边界), 1 且 a>-1,则其面积等于 ×(a+1)×1=4,解得 a=7. 2 (2)边界对应直线方程为 x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影 部分)满足 x+y-1>0. 题型二 求线性目标函数的最值 y≤x, ? ? 例 2 (1)(2014· 广东)若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 别为 m 和 n,则 m-n 等于( A.5 B.6 C.7 D.8 )

且 z=2x+y 的最大值和最小值分

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x≥1, ? ? (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知 a>0, x, y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 则 a=________. 1 答案 (1)B (2) 2 解析 (1)画出可行域,如图阴影部分所示. 由 z=2x+y,得 y=-2x+z.
?y=x, ?x=-1, ? ? 由? 得? ? ? ?y=-1, ?y=-1,

若 z=2x+y 的最小值为 1,

∴A(-1,-1).
? ? ?x+y=1, ?x=2, 由? 得? ?y=-1, ?y=-1, ? ?

∴B(2,-1). 当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时, zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6. (2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,
? ?x=1, 由? ?y=a?x-3?, ? ? ?x=1, 得? ?y=-2a, ?

∴zmin=2-2a=1, 1 解得 a= . 2 思维升华 线性规划问题的解题步骤: (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一 条直线; (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点的位置;

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(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.

?0≤x≤ (1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
→ → M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA的最大值为( A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 x+y-2≥0, ? ? (2)(2014· 北京)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, 1 A.2 B.-2 C. 2 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由线性约束条件 D.- 1 2

2, 给定.若

)

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为(

)

?0≤x≤ ?y≤2, ?x≤ 2y

2,

→ → 画出可行域如图阴影部分所示,目标函数 z=OM· OA= 2x+y,将其 化为 y=- 2x+z,结合图形可知,目标函数的图象过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4. (2)作出可行域,如图中阴影部分所示,直线 kx-y+2=0 与 x 轴的交 2 点为 A(- ,0). k

2 ∵z=y-x 的最小值为-4,∴ =-4, k 1 解得 k=- ,故选 D. 2 题型三 线性规划的实际应用 例 3 某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返 一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型
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车 7 辆.若每天运送人数不少于 900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆,相应营运成本为 z 元,则 z=1 600x+2 400y.由题意, 得 x,y 满足约束条件 x+y≤21, ? ?y≤x+7, ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴上 z 的截距 最小,即 z 取得最小值. 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小. 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答. 某企业生产甲、 乙两种产品, 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产 品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是________万元. 答案 27 解析 设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨, 则获得的利润为 z=5x+3y.

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x≥0, ? ?y≥0, 由题意得? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18, 可行域如图阴影所示. 由图可知当 x、y 在 A 点取值时,z 取得最大值,此时 x=3,y=4,z=5×3+3×4=27(万元). 题型四 求非线性目标函数的最值 x-y-2≤0, ? ? 例 4 (1)设实数 x,y 满足?x+2y-4≥0, ? ?2y-3≤0, y 则 的最大值为________. x

x+y≥2, ? ? (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → +OM|的最小值是________. 3 3 2 答案 (1) (2) 2 2

→ 上的一个动点, 则|OA

y 3 解析 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,在点(1, )处取到最大值. x 2 → → → → (2)依题意得,OA+OM=(x+1,y),|OA+OM|= ?x+1?2+y2可视为点(x, y)与点(-1,0)间的距离,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 域,结合图形可知,在该平面区域内的点中,由点(-1,0)向直线 x+y=2 引 → → 垂线的垂足位于该平面区域内,且与点 ( - 1,0) 的距离最小,因此 | OA + OM | 的最小值是 |-1+0-2| 3 2 = . 2 2 思维升华 常见代数式的几何意义有 (1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; y (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x y-b (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a x≥1, ? ? 跟踪训练 4 (1)设不等式组?x-2y+3≥0, ? ?y≥x

所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 是与 Ω1

关于直线 3x-4y-9=0 对称的区域, 对于 Ω1 中的任意一点 A 与 Ω2 中的任意一点 B, |AB|的最
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小值等于(

) D.2

28 12 A. B.4 C. 5 5

5x+2y-18≤0, ? ? (2)设变量 x,y 满足?2x-y≥0, ? ?x+y-3≥0, ________. 答案 (1)B (2)1

若直线 kx-y+2=0 经过该可行域,则 k 的最大值为

解析 (1)由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域 Ω1 中的点到直线 3x-4y-9=0 的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区 域,如图所示, 可看出点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最小, |3×1-4×1-9| 故|AB|的最小值为 2× =4,选 B. 5 (2)画出可行域如图,k 为直线 y=kx+2 的斜率,直线过定点(0,2),并且直线过可行域,要使 k 4-2 最大,此直线需过 B(2,4)点,所以 k= =1. 2-0

利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值 x-4y+3≤0, ? ? 典例:(12 分)变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. y y-0 思维点拨 点(x,y)在不等式组表示的平面区域内, = 表示点(x,y)和原点连线的斜率; x x-0
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x2+y2 表示点(x,y)和原点距离的平方;x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 表示点(x,y)和 点(-3,2)的距离的平方. 规范解答 解 (1)由约束条件 x-4y+3≤0, ? ? ?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1,
? ?x=1, 由? ?3x+5y-25=0, ?

作出(x,y)的可行域如图所示.

22? 解得 A? ?1, 5 ?.
? ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2).[4 分] ?3x+5y-25=0, ?

y y-0 ∵z= = . x x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= .[6 分] 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的 点到原点的距离中,dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.[9 分] (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的 平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(-3)=4, dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8. ∴16≤z≤64.[12 分] 温馨提醒 (1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应用意识,不知道从 其几何意义入手解题.

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方法与技巧 1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截 a z z 式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得. b b b 3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量, 列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. 失误与防范 1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时, b b z z z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值; b b z 截距 取最小值时,z 取最大值. b

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) y≤x+1, ? ? 1. 在直角坐标平面内, 不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t A.- 3或 3 C.1 答案 C y≤x+1, ? ? 解析 不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t B.-3 或 1 D. 3 3 所表示的平面区域的面积为 , 则 t 的值为( 2

)

所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由

? ?y=x+1, ? 解得交点 B(t,t+1),在 y=x+1 中,令 x=0 得 y=1,即直 ?x=t, ?

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?1+t+1?×t 3 线 y=x+1 与 y 轴的交点为 C(0,1),由平面区域的面积 S= = ,得 t2+2t-3=0, 2 2 解得 t=1 或 t=-3(不合题意,舍去),故选 C.
?|x|≤|y|, ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式组? 的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图 ?|x|<1 ?

中的(

)

答案 C 解析 |x|=|y|把平面分成四部分,|x|≤|y|表示含 y 轴的两个区域; |x|<1 表示 x=± 1 所夹含 y 轴的带状区域. x≥1, ? ? 3.不等式组?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0 A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 画出平面区域如图所示: 直线 y=kx 一定垂直 x+y-4=0, 即 k=1, 只有这样才可使围成的区域为 直角三角形,且面积为 1. x+y-2≤0, ? ? 4.(2014· 安徽)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 答案 D 解析 如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距, 1 B.2 或 2 D.2 或-1 )

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为(

)

若 z=y-ax 取得最大

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故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2; 当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1. x+y-7≤0, ? ? 5.(2014· 课标全国Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0, A.10 B.8 C.3 D.2 答案 B 解析 画出可行域如图所示.

则 z=2x-y 的最大值为(

)

由 z=2x-y,得 y=2x-z,欲求 z 的最大值, 可将直线 y=2x 向下平移, 当经过区域内的点,且满足在 y 轴上的截距-z 最小时, 即得 z 的最大值,如图,可知当过点 A 时 z 最大,
? ? ?x+y-7=0, ?x=5, 由? 得? ?x-3y+1=0, ?y=2, ? ?

即 A(5,2),则 zmax=2×5-2=8. x+y-2≥0, ? ? 6.在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+2≥0, ? ?x≤2 答案 4 解析 作出可行域为△ABC(如图),则 S△ABC=4.

表示的平面区域的面积为________.

x+y≥0, ? ? 7.设 z=2x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 6,则 k 的值为________,z 的 ? ?0≤y≤k, 最小值为________. 答案 2 -2
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解析

在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+y

=z,结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直 线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k=2;平移直线 2x+y=6, 当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时,相应直线在 y 轴上 的截距达到最小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. 8.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最少 费用为________(百万元). 答案 15 解析 设购买铁矿石 A、B 分别为 x 万吨,y 万吨,购买铁矿石的费用为 z(百万元),则 0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, ?x≥0, ? ?y≥0. 目标函数 z=3x+6y,
?0.5x+0.7y=1.9, ?x=1, ? ? 由? 得? 记 P(1,2), ?x+0.5y=2, ?y=2. ? ?

画出可行域可知,当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值 15. 9.若直线 x+my+m=0 与以 P(-1,-1)、Q(2,3)为端点的线段不相交,求 m 的取值范围. 解 直线 x+my+m=0 将坐标平面划分成两块区域,线段 PQ 与直线 x+my+m=0 不相交,
? ? ?-1-m+m>0, ?-1-m+m<0, 则点 P、Q 在同一区域内,于是,? 或? ?2+3m+m>0, ? ? ?2+3m+m<0,

1 所以,m 的取值范围是 m<- . 2 10.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若 生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y,
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所以利润 ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x、y∈N. x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x、y∈N. 目标函数为 ω=2x+3y+300, 作出可行域,如图所示, 作初始直线 l0:2x+3y=0,平移 l0,当 l0 经过点 A 时,ω 有最大值,
? ? ?x+3y=200, ?x=50, 由? 得? ?x+y=100, ?y=50. ? ?

∴最优解为 A(50,50),此时 ωmax=550 元. 故每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,且最大利润为 550 元. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) x+y≤a, ? ? 11.设变量 x、y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6, 围是( A.[8,10] C.[6,9] 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然 a≥8,否 则可行域无意义.由图可知 x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值 2a-6, 由 2a-6≤14 得,a≤10.
?x+y≥a, ? 12.(2014· 课标全国Ⅰ)设 x,y 满足约束条件? 且 z=x+ ?x-y≤-1, ?

且不等式 x+2y≤14 恒成立,则实数 a 的取值范

) B.[8,9] D.[6,10]

ay 的最小值为 7,则 a 等于(

)

A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 答案 B 解析 当 a=-5 时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分).

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? ?x-y=-1, 由? 得交点 A(-3,-2), ?x+y=-5 ?

则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值. zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除 A,C 选项. 当 a=3 时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分).

? ?x-y=-1, 由? 得交点 B(1,2), ?x+y=3 ?

则目标函数 z=x+3y 过 B 点时取得最小值. zmin=1+3×2=7,满足题意.
? ?x-y-1≤0, 13.(2014· 山东)已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在 ? ?2x-y-3≥0,

该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 B.4 C. 5 答案 B 解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示.
? ? ?x-y-1=0, ?x=2, 由? 解得? ?2x-y-3=0, ?y=1, ? ?

)

D.2

所以 z=ax+by 在 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5, a2+b2=a2+(2 5-2a)2=( 5a-4)2+4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知, 当目标函数过直线 x-y-1=0 与 2x-y-3=0 的交点(2,1)时取得最小值, 所以有 2a+b=2 5. 又因为 a2+b2 是原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方, 故当 a2+b2为原点到直线 2a+b-2 5=0 的距离时最小,

- 16 -

所以 a2+b2的最小值是

|-2 5|

=2, 22+12

所以 a2+b2 的最小值是 4.故选 B. x+2y-3≤0, ? ? 14. 已知变量 x, y 满足约束条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0, 处取得最大值,则 a 的取值范围是__________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数 z =ax+y 仅在点(3,0)处取得最大值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小 1 1 于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a<- ,∴a> . 2 2 x+y-3≤0, ? ? 15.若函数 y=log2x 的图象上存在点(x,y),满足约束条件?2x-y+2≥0, ? ?y≥m, 值为________. 答案 1 解析 如图,作出函数的可行域,当函数 y=log2x 过点(2,1)时,实数 m 有最大值 1.

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)

则实数 m 的最大

16.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨, 硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷 酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产 1 车皮甲种肥料产生 的利润为 10 000 元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5 000 元,那么适当安排生产,可产 生的最大利润是________元. 答案 30 000 解析 设生产甲种肥料 x 车皮,生产乙种肥料 y 车皮, 则 z=10 000x+5 000y,

- 17 -

4x+y≤10, ? ?18x+15y≤66, ?x≥0, ? ?y≥0, 画出图形可知,目标函数在 D(2,2)处有最大值, 且 zmax=10 000×2+5 000×2=30 000(元).

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