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2001年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案


2001 年全国统一高考数学试卷(理科) 及其参考考答案
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)若 sin ? cos ? ? 0 ,则 ? 在 (A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点 A(1,?1) 、 B(?1,1) 且圆心在直线

x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是 (A) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (C) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (B) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (D) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

(3)设 {an } 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6

(4)若定义在区间 (?1,0) 内函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围是 (A) (0, )

1 2

(B) (0, ]

1 2

(C) ( ,?? )

(5)极坐标方程 ? ? 2 sin(? ?

?
4

1 2

(D) (0,??)

) 的图形是

(6)函数 y ? cos x ? 1(?? ? x ? 0) 的反函数是 (A) y ? ? arccos(x ? 1) ( 0 ? x ? 2 ) (C) y ? arccos(x ? 1) ( 0 ? x ? 2 ) (B) y ? ? ? arccos(x ? 1) ( 0 ? x ? 2 ) (D) y ? ? ? arccos(x ? 1) ( 0 ? x ? 2 )

(7)若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0) , F2 (3,0) ,则其离心率为 (A)

3 4

(B)

(8)若 0 ? ? ? ? ? (A) a ? b

?
4

2 3

(C)

1 2

(D)

1 4

, sin ? ? cos ? ? a , sin ? ? cos ? ? b ,则 (C) ab ? 1 (D) ab ? 2

(B) a ? b

(9)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ?

2BB1 ,则 AB1 与 C1 B 所成角的大小为
1

(A) 60 ?

(B) 90 ?

(C) 105 ?

(D) 75 ?

(10)设 f ( x) 、 g ( x) 都是单调函数,有如下四个命题: ①若 f ( x) 单调递增, g ( x) 单调递增,则 f ( x) ? g ( x) 单调递增; ②若 f ( x) 单调递增, g ( x) 单调递减,则 f ( x) ? g ( x) 单调递增; ③若 f ( x) 单调递减, g ( x) 单调递增,则 f ( x) ? g ( x) 单调递减; ④若 f ( x) 单调递减, g ( x) 单调递减,则 f ( x) ? g ( x) 单调递减; 其中,正确的命题是 (A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②④ (11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜,记 三种盖法屋顶面积分别为 P 1、P 2、P 3

若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ? ,则 (A) P3 ? P2 ? P 1 (B) P3 ? P2 ? P 1 (C) P3 ? P2 ? P 1 (D) P3 ? P2 ? P 1

(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线肤表示它们有网线相联.连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为 (A)26 (B)24 (C)20 (D)19

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填空在题中横线上. (13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的侧面积是 .

(14)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 、F2 ,点 P 在双曲线上.若 PF1 ? PF2 ,则迠 P 9 16
.

到 x 轴的距离为

(15)设 {an } 是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和.若 {S n } 是等差数列,则 q = (16)圆周上有 2 n 个等分点( n ? 1 ) ,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ?ABC ? 90? , (17) (本小题满分 12 分) 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 面 ABCD , SA ? AB ? BC ? 1 ,

AD ?

1 . 2

(1)求四棱锥 S ? ABCD 的体积; (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (18) (本小题满分 12 分)已知复数 z1 ? i(1 ? i) 3 . (1)求 arg z1 及 | z1 | ; (2)当复数 z 满足 | z |? 1 ,求 | z ? z1 | 的最大值. (19) (本小题 12 分)设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 )的焦点 F ,经过点 F 的直线交抛物线 于 A 、 B 两点。点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴。证明直线 AC 经过原点 O 。 (20) (本小题 12 分)已知 i 、 m 、 n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n 。
i (1)证明 n i Pm ? mi Pni ;

(2)证明 (1 ? m) n ? (1 ? n) m 。 (21) (本小题 12 分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以 此发展旅游产业。根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 。本 5

年度当地旅游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后旅 游业收入每年会比上年增加

1 。 4

(1) 设 n 年内 (本年度为第一年) 总投入为 an 万元, 旅游业总收入为 bn 万元。 写出 an 、bn ; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? (22) (本小题 14 分)设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对称。对任 意 x1 , x 2 ? [0, ] 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 f (1) ? a ? 0 。 (1)求 f ( ) , f ( ) ; (2)证明 f ( x) 是周期函数; (3)记 a n ? f (2n ?

1 2

1 2

1 4

1 ) ,求 lim(ln a n ) 。 n?? 2n

3


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