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山东师范大学附属中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题


第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x 2 ? 3 x ? 0 ,则M ? N = A. ?0? B. x x ? 0

?

?

?<

br />
?
1 2

C. x ? ? x ? 3

?

?

D. ?1, 2?

2.已知 i 是虚数单位,若复数 ?1 ? ai ?? 2 ? i ? 是纯虚数,则实数 a 等于 A.2 B.

1 2

C. ?

D. ?2
2

3.“ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 4.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B.2 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

?1 ? x,
x ?a ,

x ? 0, x ? 0.
D.4

若f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于

C.3

5.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n .

?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? ,则 2 x ? y 的最大值是 x ? 0 ? ? ?y ? 0
A.8 B.7 C.4 D.2 7.一个三棱锥的侧棱长都相等,底面是正三角形,其正(主)视图 如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是

A. 39,

2 3 3

B. 39,

8 3

C. 3

?

13 ? 1 ,

?

2 3 3

D. 8,

8 3

8.若函数 f ? x ? ? log a ? x ? b ? 的大致图像如右图,其中 a, b 为常数, 则函数 g ? x ? ? a ? b 的大致图像是
x

9.已知双曲线

x2 y 2 若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, ? ? 1 的右焦点为 F, 12 4
? ? ? 3 3? , ? 3 3 ? ?

则此直线的斜率的取值范围是 A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?
r

B. ? ? 3, 3 ? C. ? ?

?

?

D. ? 3, 3

?

?

10. 设 向 量 a ? ? a1 , a2 ? , b ? ? b1 , b2 ? , 定 义 一 种 运 算 “ ? ” 。 向 量

r

r r a ? b ? ? a1 , a2 ? ? ? b1 , b2 ? ? ? a2b1 , a1b2 ?

.





u r ? 1? r ?? ? m ? ? 2, ? , n ? ? , 0? ? 2? ?3 ?





P ? x, y ? 在 y ? sin x 的图象上运动,点 Q 在 y ? f ? x ? 的图象上运动且满足

uuu r u r uuu r r OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ? x ? 的最小值为
A. ?1 B. ?2

1 2 第 II 卷(非选择题 共 100 分)
C.2 D.

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中横 线上. 11.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________. 12. 函 数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? 的 图 像 , 其 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则

f ? 0 ? ? _______.

13.已知圆 C 过点 ? ?1, 0 ? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长 为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为________________.] 14.下面给出的四个命题中: ①以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ;
2

②若 m ? ?2 ,则直线 ? m ? 2 ? x ? my ? 1 ? 0 与直线 ? m ? 2 ? x ? ? m ? 2 ? y ? 3 ? 0 相互垂直; ③命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ” ; ④将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

?
3

个单位,得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象。 6?

其中是真命题的有___________(将你认为正确的序号都填上) 。 15.已知 x ? 0, y ? 0,若

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是_______. x y

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1,求a 、 sin B 的值.

r uuu r A 2 5 uuu ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

17.(本小题满分 12 分) 如图所示, PA ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2 PA ? AD, E、F、G、H 分别 是线段 PA、PD、CD、BC 的中点. (I)求证:BC//平面 EFG; (II)求证: DH ? 平面 AEG; (III)求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比.

18.(本小题满分 12 分) 某公司有男职员 45 名, 女职员 15 名, 按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组. (I)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数; (II)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做实验,求 选出的两名职员中恰有一名女职员的概率; (III)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做 试验的职员得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位职员的实验更稳定?并说明 理由. 19.(本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an ?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N * ? . 4 an 4 4

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (III)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

a ? x ? 1? ,其中a ? 0 . x2

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ? x ? 的切线,求实数 a 的值; (III)设 g ? x ? ? x ln x ? x f ? x ?,求g ? x ? 在区间 ?1, e ? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的
2

底数) 21.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? 3? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ? 1, ? ,且长轴长等于 4. a b ? 2?
(I)求椭圆 C 的方程; (II) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, e O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m与 e O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA ? OB = ?

uur uuu r

3 ,求 k 的值. 2

2012 级高三第一次模拟考试试题 数学(文史类)参考答案

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5. ? 又 ,? sin B ? ? a 5 sin A sin B 2 5
17.解: (Ⅰ)∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF. . . . . . . . . .2 分

12分

? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG ? BC ∥平面 EFG. . . . . . . . . . . .3 分
(Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH. . . . . . . . . .5 分 ∵△ADG≌△DCH ,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG. . . . . . . . . . . .8 分
1 DG S AEF V V (Ⅲ) E ? AFG ? G ? AEF ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . 10 分 VP ? ABCD VP ? ABCD 1 PA S ABCD 3

1 1 1 1 1 1 CD EF EA CD AD PA 1 . 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 2 ? 2 ? PA AD CD PA AD CD 16

(Ⅲ)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 x2 ? ? 71 5 5 ,

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 s2 ? ? 3.2 5 5 ,

第二次做试验的职员做的实验更稳定………………………12分 19.解: (1)?

an ?1 1 1 1 ? ,∴数列 {a n } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 an 4

1 4 (2)? bn ? 3 log 1 a n ? 2
4

∴ a n ? ( ) n (n ? N *) .?????????????????????????3 分 ????????????????????????4 分

∴ bn ? 3 log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .?????????????????????6 分
n 4

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. ????????????7 分 (3)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 ,

1 4

1 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 5) ? (3n ? 2)] ? [ ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ) n ?1 ? ( ) n ] 4 4 4 4 4
∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , ????????????????????8 分 ???????????10 分

1 1 [1 ? ( ) n ] n(1 ? 3n ? 2) 4 3n 2 ? n 1 1 1 n 4 ? ? ? ? ? ? ( ) ??????????12 分 1 2 2 3 3 4 1? 4
[]

(Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a ( x ? 1) , 则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e a ?1 , 所以,在区间 ( 0, e 在区间 ( e
a ?1 a ?1

???????9 分

) 上, g ( x) 为递减函数,
?????10 分

, ? ?) 上,g ( x) 为递增函数.

当 e a ?1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数, 所以 g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 . 当 e a ?1 ? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数, 所以 g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae . 当 1 < e a ?1 < e ,即 1 ? a ? 2 时,最小值 ??????11 分

g (e a ?1 ) ? (a ? 1)e a ?1 ? a (e a ?1 ? 1) = a ? e a ?1 . ??????12 分
综上所述,当 0 ? a ? 1 时, g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 ;当 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最小值

g (e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae . ???13 分

20、21.解: (Ⅰ)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 a ? 2 ,????2 分 ∵点 ?1, ? 在椭圆上,∴

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1 得 b 2 ? 3 ,????4分 4 4b

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .??????6 分 4 3


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