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高一数学平面向量复习课件


平面向量 复习
表示 向量的三种表示
三 角 形 法 则

平 面 向 量
运算

向量加法与减法
平行四边形法则
向量平行的充要条件

实数与向量的积
平面向量的基本定理

向量的数量积

平面向量复习 平面向量的基本

定理
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该 平面内的任何一个向量 a ,有且只有一对实数λ 1、λ 2 使

a =λ 1 e1 +λ

2

e2

不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有 向量 的一组基底

向量相等的充要条件 λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2 λ1= λ2 μ 1=μ2

平面向量 复习 非零向量平行(共线)的充要条件 向量表示: a∥b

a=λb (λ∈R且b≠0)

坐标表示: 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 ),则

a∥ b

x1y2-x2y1=0

4、向量垂直的判定

() 1 a ? b ? a ? b ? 0 向量表示 (2) a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 坐标表示
5、向量的模
() 1 a ? a ?| a | , | a |? a (2)设 a ? (x,y),则 | a |?
2
2

x2 ? y2

2 2 (y1 ? y2) (3)若( A x1,y1),( B x2,y2),则 | AB |? (x1 ? x2) ?

6、向量的夹角

a ?b cos ? ? | a || b |

θ∈[0, ? ]

cosθ=

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

平面向量复习
一、知识检测
例1 判断下列命题的真假:

1.若a ? 0, b ? 0,则a ? b ? 0 2.若a ? b ? 0,则a ? 0或b ? 0 3.若a ? b ? a ? c,且a ? 0,则b ? c 4. a ? a ? a ? a 5. a ? b ? a ? b ,则a // b 6. a ? b ? a ? b ,则a ? b
2 2

(

?

) ) )

( ? ( ?

( √ ) ( √ ) ( √ )

平面向量复习
二、平面向量的基本定理
例2
已知向量e1、e2不共线, (1)若 AB ? e ? e , BC ? 2e ? 8e , CD ? 3e ? 3e , 1 2 1 2 1 2 求证:A、B、D三点共线. (2)若向量λ e1-e2与e1-λ e2共线,求实数λ 的值.

分析

本题考查平面向量的基本定理,向量共线等知识。
(1)
BD = BC + CD =2e1-8e2+3(e1+e2)=5e1-5e2=5 AB

∴ BD 与 AB 共线,又直线 BD 与 AB 有公共点 B, ∴A、B、D (2)∵λ e1-e2 与 e1-λ e2 ∴存在实数 k,使λ e1-e2=k(e1-λ e2 化简得(λ -k)e1+(kλ -1)e2=0 ∵e1、e2 ∴由平面向量的基本定理可知:λ -k=0且kλ 解得λ =±1,故λ

平面向量 复习
三、向量平行、垂直问题 例3 已知 a=(1, 2), b=(-3, 2), 当k为何值时, ka+b与a- 3b平行? 平行时它们是同向还是反向?

分析

解: ka+b=k(1, 2)+(-3, 2)= (k-3,2k+2) a-3b=(1, 2)-3(-3, 2)= (10, -4) -4(k-3)-10(2k+2)=0 (ka+b)∥(a-3b) 1 ? 10 4 ? 1 K=- ∵ ka+b= ? ? , ? =- 3 (a-3b)
3

先求出向量ka+b 和a-3b的坐标,再根据向量平行充要 条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断 方向.

?

3

3?

∴它们反向

思考: 此题还有没有其它解法?

平面向量复习


例4

若非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|.证明:a⊥b.
.

证法一:∵|a+b|=| a-b| ∴(a+b)2=(a-b)2 ∴a2+2a· b+b 2=a2-2a· b+b 2 ∴a· b=0 ∴ ∴a⊥b 证法二:设a=(x1,y1),b=(x2,y2), |a+b|=


| a -b | = ∴

化简得:x1x2+y1y2=0, ∴a· b=0,∴a⊥b.


平面向量复习
? ? ? 例5 已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1, 它们相互之间的夹角均为 120°, ? ? ? (1)求证: (a ? b ) ⊥ c ; ? ? ? (2)若 | ka ? b ? c |? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范围

四、向量的长度与夹角问题

平面向量复习
例5

? ? ? ? ? ? 解: (1)∵ | a |?| b |?| c |? 1,且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ∴ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos120 ? | b || c | c o 1 s20 0? 0 ? ? ? ∴ (a ? b ) ? c ? 0 ? ? ? 2 ? ? ? (2)∵ | ka ? b ? c |? 1 ,即 | ka ? b ? c | ? 1 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ?2 也就是 k a ? b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ∵ a ? b ? b ? c ? a ? c ? ? ,∴ k 2 ? 2k ? 0 2 所以 k ? 0 或k ? 2.

平面向量复习

五、向量的综合问题
例6 利用向量知识证明余弦定理。 证明:设△ABC三边长分别为a, b, c 因为 AC ? AB ? BC
AC ? AC ? ( AB ? BC) ? ( AB ? BC) ? AB ? 2 AB ? BC ? BC
2 2

C b A c a

B

2

2

? AB ? 2 AB ? BC ? cos(180 ? B) ? BC ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2

即:b ? a ? c ? 2ac cos B 同理可得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C

平面向量复习
例7 利用向量知识证明 (a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)?(b12+b22)

证明:设 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) 则 a ? b ? a1 ? b1 ? a2 ? b2,
a ? a ? a2 , b ? b ? b2
2 1 2 2 1 2 2 2

a ? b ? a b cos ? ? a b .

b (其中θ 为a ,夹角)
? (a ? b)
2

? a

2

b

2

.

∴(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)?(b12+b22)

平面向量复习
例8 (2008广东六校联考)已知向量
,且
x ? [0,

?

2

].

3 3 1 1 a ? (cos x,sin x), b ? (? cos x,sin x) 2 2 2 2

(1)求

a?b

(2)设函数 f ( x) ? a ? b ? a ? b, 求函数f ( x) 的最值及相应的 x 的值。
解: ( I)由已知条件: 0 ? x ? 2 , 得:
? ? 3x x 3x x 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos , sin ? sin ) ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin x

平面向量复习
例8
3x x 3x x f ( x ) ? 2 sin x ? cos cos ? sin sin ( 2) 2 2 2 2

? 2 sin x ? cos 2 x
? ?2 sin 2 x ? 2 sin x ? 1 1 2 3 ? ?2(sin x ? ) ? 2 2

因为: 0 ? x ?

?
2

,所以: 0 ? sin x ? 1
x? 1 2

所以,只有当:
x?0

时,

f max ( x) ?

3 2

,或 x ? 1 时, f min ( x) ? 1

[点评]本题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经 过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要注意sinx的 取值范围,否则容易搞错。


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