广东省高州市大井中学2011届高三上学期期末考试数学(理)试题

广东省高州市大井中学 2011 届高三期末考试

数 学 试 题（理）
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．已知全集 U ? R ， M ? {x ?2 ? x ? 2}， N ? {x x ? 1} ，那么 M ? N ? A． {x x ? 1} 2．复数 B． {x ?2 ? x ? 1} C． {x x ? ?2} （ ）

D． {x ?2 ? x ? 1} （ ）

1－i ? 1＋i

A．

2 2

B． 2

C． i

D． ?i

3．幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (2, 4) ，那么函数 f ( x ) 的单调递增区间是 A． (?2, ??) B． [?1, ??) C． [0, ??) D． (??, ?2)

（

）

4．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个 直径 为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为 （ ）

主视图

左视图

俯视图

4 题图 A． 3? B． 2? C．

3 ? 2

D． 4?

5．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比 赛得分的中位数之和是 （ ） 甲
[来

乙 3 1

源:Zxxk.

Com]

8

6 9

3 7 1

2 3 4

4 2 5

5 6 7 7

A．65 B．64 C．63 D．62 6．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学 生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 （ ）

1 1 1 C． D． 10 40 20 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 7．在 ?ABC 中， AB ? 3 ， BC ? 1 ， AC cos B ? BC cos A ，则 AC ? AB ? （
A． B．

1 30

）

A．

3 或2 2

B．

3 或 2 2

C． 2

D．

3 或2 2

8．如果对于 函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意 x ，都有 N ? f ( x) ? M （ M , N 为常数）成

M 立， 那么称 f (x) 为可界定函数， 为上界值，N 为下界值． 设上界值中的最小值为 m ，
下界值中的最大值为 n ． 给出函数 f ( x ) ? 2 x ?

A．大于 9 C．小于 9 D．不存在 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 把答案填在题中横线上． 9．已知向量 a = (1,3) , b = (3, n) ，如果 a 与 b 共线， 那么实数 n 的值是______． 10．阅读右面程序框图，如果输入的 n ? 5 ，那么输出 的 S 的值为______．

2 1 ，x ? ( , 2) ， 那么 m? n 的值 （ x 2 B．等于 9

）

11．函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象与 x 轴围成图形的面积为

．

? x ? 2, ? 12．二元一次不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域的面积为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
大值为 13．已知函数 f ( x) ? ．

x? y ，10 题图的最

x ? ， 对于数列 ?an ? 有 an ? f (an?1 ) （ n ? N ，且 n ? 2 ）， 3x ? 1
， an ? ．

如果 a1 ? 1 ，那么 a2 ?

14．给出下列四个命题： ①命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”；
2
2

②在空间中，m 、 n 是两条不重合的直线，? 、 ? 是两个不重合的平面，如果 ? ? ? ，

? ? ? ? n ， m ? n ，那么 m ? ? ；
③将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

? ? 个单位，得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象； 3 6
?2? x ? 1 ( x0 ? ) ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
,若方程 f ( x) ? x ? a 有两个

④函数 f ( x ) 的定义域为 R ， f ( x) ? ? 且 不同实根，则 a 的取值范围为 (??,1) ．

其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）
2 2 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x ．

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ）当 x ? ? ?

? ? ?? 时，求函数 f ( x ) 的最大值，并写出 x 相应的取值． , ? 4 4? ?

16．（本小题满分 13 分） 已知数列 {an } ，其前 n 项和为 S n ?

3 2 7 n ? n 2 2

(n ? N ? ) ．

[来源:Zxxk.Com]

（Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式，并证明数列 {an } 是等差数列； （Ⅱ） 如果数列 {bn } 满足 an ? log2 bn ， 请证明数列 {bn } 是等比数列， 并求其前 n 项和； （Ⅲ）设 cn ?

k 9 ，数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ，求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 7)(2an ? 1)
?

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值．

[来源:学+科+网]

17．（本小题满分 14 分） 如 图 ， 四 棱 锥 P ? A B C D 底 面 为 正 方 形 ， 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D， 且 的

P A ? A D? 2 ， E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点．
（Ⅰ）求证： PB //平面 EFH ； （Ⅱ）求证： PD ? 平面 AHF ； （Ⅲ）求二面角 H ? EF ? A 的大小．

18．（本小题满分 13 分） 某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场 调查，该店决定从 2 种型 号的洗衣机， 2 种型号的电视机和 3 种型号的电脑中，选出 3 种型号的商品进行促销． （Ⅰ）试求选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率； （Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格 提高 150 元，同时，若顾客购买该商品，则允许有 3 次抽奖的机会，若中奖，则 每次中奖都获得 m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ，设顾客 ．． ．． 2 在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量 X ，请写出 X 的分布 列，并求 X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多 少元？

1

19．（本小题满分 13 分） 将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断 面高的 平方与宽 x 的积成正比（强度系数为 k ， k ? 0 ）．要将直径为 d 的圆木锯成强度最大

的横梁，断面的宽 x 应是多少？

20．（本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x ， g ( x) ? lnx ． 2

（Ⅰ）如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数 a ? 0 ，使得方程

g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有 x e

两个不相等的实数根？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目 要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D

D

C

C

B

C

A

B

二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 题号 答案 9 10 11 12 13 14

9

14

2

8 ，6

1 1 ? ，an ? （ n ? N ） ③④ 4 3n ? 2

注：两空的题第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分）
2 2 解：（Ⅰ） f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x

? cos 2 x ? sin 2 x

????????????4 分 ????????????6 分

? 2 sin(2 x ? ) 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? （Ⅱ）? ? 分

?

?
4

?x?

?
4

，

??

?
4

2? ?? ． 2 ?2 x ? 4

??????????8 分

? 3?
? 4

，

????????????9

? ????????????11 分 ? ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ， 4 ? ? ? ∴当 2 x ? ? ，即 x ? 时， f ( x ) 有最大值 2 ． ???????13 分 4 2 8
16．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 5 ， 分 当 n ? 2 时， an ? S n ? S n ?1 ? ???????????1

3 2 7 [n ? (n ? 1) 2 ] ? [n ? (n ? 1)] 2 2

?

3 7 (2n ? 1) ? ? 3n ? 2 ． 2 2

???????????2 分 ???????????3 分 ????? ???????4 分
? (n ? 2 ,n? N ， )

又 a1 ? 5 满足 an ? 3n ? 2 ，

?an ? 3n ? 2 (n ? N ? ) ．
∵ an ? an?1 ? 3n ? 2 ? [3(n ?1) ? 2] ? 3

∴数列 ?an ? 是以 5 为首项， 3 为公差的等差数列． （Ⅱ）由已知得 bn ? 2 分 ∵
an

??????5 分 ????????????6

(n ? N ? ) ，

bn+1 2an+1 = an = 2an+1 -an = 23 = 8 bn 2
a

(n ? N ? ) ，

????????7 分

又 b1 ? 2 1 ? 32 ， ∴数列 {bn } 是以 32 为首项， 8 为公比的等比数列． ??????8 分

32(1 ? 8n ) 32 n ? (8 ? 1) ． ∴数列 {bn } 前 n 项和为 1? 8 7
（Ⅲ） cn ? ∴ Tn ?

?????9 分

9 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 7)(2an ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??10 分

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ． ????????11 分 2 2n ? 1 2n ? 1

∵ Tn ?1 ? Tn ?

1 ?0 (2n ? 3)(2n ? 1)

(n ? N ? ) ，

∴ Tn 单调递增． ∴ (Tn ) min ? T1 ? ∴

1 ． 3

???????12 分

1 k ? ，解得 k ? 19 ，因为 k 是正整数， ∴ kmax ? 18 ． ??????13 分 3 57

[来源:Z*xx*k.Com]

17．（本小题满分 14 分） 解法一： （Ⅰ）证明：∵ E ， H 分别是线段 PA ， AB 的中点， ∴ EH // PB ． ?????????2 分

又∵ EH ? 平面 EFH ， PB ? 平面 EFH ， ∴ PB //平面 EFH ． （Ⅱ）解：? F 为 PD 的中点，且 PA ? AD ， ???????????4 分

? PD ? AF ， 又? PA ? 底面 ABCD ， BA ? 底面 ABCD ， ? AB ? PA ． 又? 四边形 ABCD 为正方形， ? AB ? AD ．
又? PA ? AD ? A ，

? AB ? 平面 PAD ．
又? PD ? 平面 PAD ， ? AB ? PD ． 又? AB ? AF ? A ，

??????????????7 分

??????????????8 分

? PD ? 平面 AHF ．

??????????????9 分

（Ⅲ）? PA ? 平面 ABCD ， PA ? 平面 PAB ，

? 平面 PAB ? 平面 ABCD ，
? AD ? 平面 ABCD ，平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ， AD ? AB ， ? AD ? 平面 PAB ， ? E ， F 分别是线段 PA ， PD 的中点， ? EF // AD ， ? EF ? 平面 PAB ． ? EH ? 平面 PAB ， EA ? 平面 PAB ， ? EF ? EH ，? EF ? EA ， ? ?HEA 就是二面角 H ? EF ? A 的平面角．
在 Rt ?HAE 中， AE ? ????????10 分
[来源:Z。xx。k.Com]

????????12 分

1 1 PA ? 1, AH ? AB ? 1, 2 2

??AEH ? 45? ，
? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 ．

???14 分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ，

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) ， E (0,0,1) ， F (0,1,1) ， H (1,0,0) ．
??????2 分

??? ? ???? （Ⅰ）证明：∵ PB ? (2,0, ?2) ， EH ? (1,0, ?1) ，
∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ，且 EH ? 平面 EFH ， ∴ PB //平面 EFH ． ????????4 分 ????????5 分

??? ?

????

（Ⅱ）解： PD ? (0, 2, ?2) ， AH ? (1,0,0) ， AF ? (0,1,1) ， ????????6 分

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.

????????8 分

? PD ? AF , PD ? AH ， 又? AF ? AH ? A ， ? PD ? 平面 AHF ．
（Ⅲ）设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) ， EH ? (1,0, ?1) ，

?????????9 分

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ?n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0),

????????????12 分

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ? , 2 | m || n | 2 ?1 2

???????13 分

?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 ．

???????14 分

18．（本小题满分 13 分） 解: （Ⅰ） 从 2 种型号的洗衣机， 2 种型号的电视机， 3 种型号的电脑中，选出 3 种型
3 号的商品一共有 C7 种选法．
3

? ??????????2 分 ?????????4 分
3 C4 31 ． ? 3 C7 35

选出的 3 种型号的商品中没有电脑的选法有 C 4 种，

所以选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ? 1 ?

（Ⅱ） X 的所有可能的取值为 0 ， m ， 2m ， 3m ． X ? 0 时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,
0 所以 P? X ? 0? ? C3 ? ? ? ? ? ?

?????????5 分 ????????6 分

?1? ?1? ? 2? ? 2?
1 1 3

0

3

1 , 8
2

??????? ?7 分

3 ?1? ?1? 同理可得 P? X ? m? ? C ? ? ? ? ? ? , 8 ? 2? ? 2? ?1? ?1? 3 P? X ? 2m? ? C ? ? ? ? ? ? , ? 2? ? 2? 8
2 3 3? 1 ? P? X ? 3m? ? C3 ? ? ? 2? 3 2 1

????????8 分

???????9 分

1 ?1? ?? ? ? . 8 ? 2?
0

0

???????10 分

所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 X 的分布列为：

X
P

1 8

m 3 8

2m 3 8

3m 1 8
????????11 分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是

1 3 3 1 EX ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m ． 8 8 8 8

（Ⅲ） 要使促销方案对商场有利， 应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数 额，因此应有 1.5m ? 150 ，所以 m ? 100 ． ??????? 12 分 故每次中奖奖金要低于 100 元，才能使促销方案对商场有利． ?? 13 分 19．（本小题满分 13 分） 解：设断面高为 h ，则 h2 ? d 2 ? x 2 ． 横梁的强度函数 f ( x) ? k ? xh2 ， 所以 f ( x) ? kx ? (d 2 ? x2 ) ， 0 ? x ? d ．
2 2 当 x ? ? 0, d ? 时，令 f ?( x) ? k (d ? 3x ) ? 0 ．

???????????5 分 ???????????7 分

解得 x ? ?

3 d （舍负）． 3 3 d 时， f ?( x) ? 0 ； 3

???????????8 分

当0 ? x ?

???????????9 分

当

3 d ? x ? d 时， f ?( x) ? 0 ． 3

???????????10 分

因此，函数 f ( x ) 在定义域 (0, d ) 内只有一个极大值点 x ?

3 d． 3

所以 f ( x ) 在 x ?

3 d 处取最大值，就是横梁强度的最大值． 3 3 d 时，横梁的强度最大． 3

?????12 分

即当断面的宽为

????????13 分

20．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）当 a ? 0 时， f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数，符合题意．?1 分 当 a ? 0 时， y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数，

2 ， a

2 ? 1 ，解得 a ? ?2 或 a ? 0 ， a 所以 a ? 0 ． ????????3 分 当 a ? 0 时，不符合题意． 综上， a 的取值范围是 a ? 0 ． ????????4 分 g ( x) lnx ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) ， （Ⅱ）把方程 x x
所以 ? 即为方程 ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 ． 设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ， 原方程在区间 （ ,e ） 内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数 H ( x ) 在区间 （ ,e ） 内有且只有两个零点． ????????6 分 ????????5 分

1 e

1 e

H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?

1 x
???????7 分

2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x
令 H ?( x) ? 0 ，因为 a ? 0 ，解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

1 （舍） 2a

???????8 分

H ( x ) 是减函数；
? ??????10 分

当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 ， H ( x ) 是增函数．

1 H ( x ) 在（ , e ）内有且只有两个不相等的零点, 只需 e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? ? H ( x) min ? 0, ? H (e) ? 0, ? ?

???????13 分

? a 1 ? 2a (1 ? 2a)e ? a ? e2 ? ?1 ? ? 0, ? 2 e e e2 ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a) ? 1 ? a ? 0, ?ae2 ? (1 ? 2a)e ? 1 ? (e2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, ? ? ?
解得 1 ? a ?

? e2 ? e a? , ? 2e ? 1 ? ? ∴ ? a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?
???????14 分

e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是（ 1, ） ． 2e ? 1 2e ? 1

注：若有其它解法，请酌情给分．