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广东省高州市大井中学2011届高三上学期期末考试数学(理)试题


广东省高州市大井中学 2011 届高三期末考试

数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 1.已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2}, N ? {x x ? 1} ,那么 M ? N ? A.

{x x ? 1} 2.复数 B. {x ?2 ? x ? 1} C. {x x ? ?2} ( )

D. {x ?2 ? x ? 1} ( )

1-i ? 1+i

A.

2 2

B. 2

C. i

D. ?i

3.幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (2, 4) ,那么函数 f ( x ) 的单调递增区间是 A. (?2, ??) B. [?1, ??) C. [0, ??) D. (??, ?2)





4.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个 直径 为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 ( )

主视图

左视图

俯视图

4 题图 A. 3? B. 2? C.

3 ? 2

D. 4?

5.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,那么甲、乙两人这几场比 赛得分的中位数之和是 ( ) 甲
[来

乙 3 1

源:Zxxk.

Com]

8

6 9

3 7 1

2 3 4

4 2 5

5 6 7 7

A.65 B.64 C.63 D.62 6.六名学生从左至右站成一排照相留念,其中学生甲和学生乙必须相邻.在此前提下,学 生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 ( )

1 1 1 C. D. 10 40 20 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 7.在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1 , AC cos B ? BC cos A ,则 AC ? AB ? (
A. B.

1 30



A.

3 或2 2

B.

3 或 2 2

C. 2

D.

3 或2 2

8.如果对于 函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意 x ,都有 N ? f ( x) ? M ( M , N 为常数)成

M 立, 那么称 f (x) 为可界定函数, 为上界值,N 为下界值. 设上界值中的最小值为 m ,
下界值中的最大值为 n . 给出函数 f ( x ) ? 2 x ?

A.大于 9 C.小于 9 D.不存在 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9.已知向量 a = (1,3) , b = (3, n) ,如果 a 与 b 共线, 那么实数 n 的值是______. 10.阅读右面程序框图,如果输入的 n ? 5 ,那么输出 的 S 的值为______.

2 1 ,x ? ( , 2) , 那么 m? n 的值 ( x 2 B.等于 9



11.函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象与 x 轴围成图形的面积为



? x ? 2, ? 12.二元一次不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域的面积为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
大值为 13.已知函数 f ( x) ? .

x? y ,10 题图的最

x ? , 对于数列 ?an ? 有 an ? f (an?1 ) ( n ? N ,且 n ? 2 ), 3x ? 1
, an ? .

如果 a1 ? 1 ,那么 a2 ?

14.给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”;
2
2

②在空间中,m 、 n 是两条不重合的直线,? 、 ? 是两个不重合的平面,如果 ? ? ? ,

? ? ? ? n , m ? n ,那么 m ? ? ;
③将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象; 3 6
?2? x ? 1 ( x0 ? ) ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
,若方程 f ( x) ? x ? a 有两个

④函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( x) ? ? 且 不同实根,则 a 的取值范围为 (??,1) .

其中正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ( x ) 的最大值,并写出 x 相应的取值. , ? 4 4? ?

16.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } ,其前 n 项和为 S n ?

3 2 7 n ? n 2 2

(n ? N ? ) .

[来源:Zxxk.Com]

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式,并证明数列 {an } 是等差数列; (Ⅱ) 如果数列 {bn } 满足 an ? log2 bn , 请证明数列 {bn } 是等比数列, 并求其前 n 项和; (Ⅲ)设 cn ?

k 9 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 7)(2an ? 1)
?

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值.

[来源:学+科+网]

17.(本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? A B C D 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D, 且 的

P A ? A D? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动,根据市场 调查,该店决定从 2 种型 号的洗衣机, 2 种型号的电视机和 3 种型号的电脑中,选出 3 种型号的商品进行促销. (Ⅰ)试求选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率; (Ⅱ)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格 提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则 每次中奖都获得 m 元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ,设顾客 .. .. 2 在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量 X ,请写出 X 的分布 列,并求 X 的数学期望; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,问该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多 少元?

1

19.(本小题满分 13 分) 将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断 面高的 平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k , k ? 0 ).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大

的横梁,断面的宽 x 应是多少?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 a ? 0 ,使得方程

g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有 x e

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目 要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D

D

C

C

B

C

A

B

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 题号 答案 9 10 11 12 13 14

9

14

2

8 ,6

1 1 ? ,an ? ( n ? N ) ③④ 4 3n ? 2

注:两空的题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)
2 2 解:(Ⅰ) f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x

? cos 2 x ? sin 2 x

????????????4 分 ????????????6 分

? 2 sin(2 x ? ) 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)? ? 分

?

?
4

?x?

?
4



??

?
4

2? ?? . 2 ?2 x ? 4

??????????8 分

? 3?
? 4



????????????9

? ????????????11 分 ? ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , 4 ? ? ? ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 有最大值 2 . ???????13 分 4 2 8
16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 , 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ???????????1

3 2 7 [n ? (n ? 1) 2 ] ? [n ? (n ? 1)] 2 2

?

3 7 (2n ? 1) ? ? 3n ? 2 . 2 2

???????????2 分 ???????????3 分 ????? ???????4 分
? (n ? 2 ,n? N , )

又 a1 ? 5 满足 an ? 3n ? 2 ,

?an ? 3n ? 2 (n ? N ? ) .
∵ an ? an?1 ? 3n ? 2 ? [3(n ?1) ? 2] ? 3

∴数列 ?an ? 是以 5 为首项, 3 为公差的等差数列. (Ⅱ)由已知得 bn ? 2 分 ∵
an

??????5 分 ????????????6

(n ? N ? ) ,

bn+1 2an+1 = an = 2an+1 -an = 23 = 8 bn 2
a

(n ? N ? ) ,

????????7 分

又 b1 ? 2 1 ? 32 , ∴数列 {bn } 是以 32 为首项, 8 为公比的等比数列. ??????8 分

32(1 ? 8n ) 32 n ? (8 ? 1) . ∴数列 {bn } 前 n 项和为 1? 8 7
(Ⅲ) cn ? ∴ Tn ?

?????9 分

9 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 7)(2an ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??10 分

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . ????????11 分 2 2n ? 1 2n ? 1

∵ Tn ?1 ? Tn ?

1 ?0 (2n ? 3)(2n ? 1)

(n ? N ? ) ,

∴ Tn 单调递增. ∴ (Tn ) min ? T1 ? ∴

1 . 3

???????12 分

1 k ? ,解得 k ? 19 ,因为 k 是正整数, ∴ kmax ? 18 . ??????13 分 3 57

[来源:Z*xx*k.Com]

17.(本小题满分 14 分) 解法一: (Ⅰ)证明:∵ E , H 分别是线段 PA , AB 的中点, ∴ EH // PB . ?????????2 分

又∵ EH ? 平面 EFH , PB ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH . (Ⅱ)解:? F 为 PD 的中点,且 PA ? AD , ???????????4 分

? PD ? AF , 又? PA ? 底面 ABCD , BA ? 底面 ABCD , ? AB ? PA . 又? 四边形 ABCD 为正方形, ? AB ? AD .
又? PA ? AD ? A ,

? AB ? 平面 PAD .
又? PD ? 平面 PAD , ? AB ? PD . 又? AB ? AF ? A ,

??????????????7 分

??????????????8 分

? PD ? 平面 AHF .

??????????????9 分

(Ⅲ)? PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAB ,

? 平面 PAB ? 平面 ABCD ,
? AD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , AD ? AB , ? AD ? 平面 PAB , ? E , F 分别是线段 PA , PD 的中点, ? EF // AD , ? EF ? 平面 PAB . ? EH ? 平面 PAB , EA ? 平面 PAB , ? EF ? EH ,? EF ? EA , ? ?HEA 就是二面角 H ? EF ? A 的平面角.
在 Rt ?HAE 中, AE ? ????????10 分
[来源:Z。xx。k.Com]

????????12 分

1 1 PA ? 1, AH ? AB ? 1, 2 2

??AEH ? 45? ,
? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .

???14 分

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .
??????2 分

??? ? ???? (Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) ,
∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH . ????????4 分 ????????5 分

??? ?

????

(Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) , ????????6 分

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.

????????8 分

? PD ? AF , PD ? AH , 又? AF ? AH ? A , ? PD ? 平面 AHF .
(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) ,

?????????9 分

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ?n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0),

????????????12 分

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ? , 2 | m || n | 2 ?1 2

???????13 分

?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .

???????14 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 从 2 种型号的洗衣机, 2 种型号的电视机, 3 种型号的电脑中,选出 3 种型
3 号的商品一共有 C7 种选法.
3

? ??????????2 分 ?????????4 分
3 C4 31 . ? 3 C7 35

选出的 3 种型号的商品中没有电脑的选法有 C 4 种,

所以选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ? 1 ?

(Ⅱ) X 的所有可能的取值为 0 , m , 2m , 3m . X ? 0 时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,
0 所以 P? X ? 0? ? C3 ? ? ? ? ? ?

?????????5 分 ????????6 分

?1? ?1? ? 2? ? 2?
1 1 3

0

3

1 , 8
2

??????? ?7 分

3 ?1? ?1? 同理可得 P? X ? m? ? C ? ? ? ? ? ? , 8 ? 2? ? 2? ?1? ?1? 3 P? X ? 2m? ? C ? ? ? ? ? ? , ? 2? ? 2? 8
2 3 3? 1 ? P? X ? 3m? ? C3 ? ? ? 2? 3 2 1

????????8 分

???????9 分

1 ?1? ?? ? ? . 8 ? 2?
0

0

???????10 分

所以,顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 X 的分布列为:

X
P

1 8

m 3 8

2m 3 8

3m 1 8
????????11 分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是

1 3 3 1 EX ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m . 8 8 8 8

(Ⅲ) 要使促销方案对商场有利, 应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数 额,因此应有 1.5m ? 150 ,所以 m ? 100 . ??????? 12 分 故每次中奖奖金要低于 100 元,才能使促销方案对商场有利. ?? 13 分 19.(本小题满分 13 分) 解:设断面高为 h ,则 h2 ? d 2 ? x 2 . 横梁的强度函数 f ( x) ? k ? xh2 , 所以 f ( x) ? kx ? (d 2 ? x2 ) , 0 ? x ? d .
2 2 当 x ? ? 0, d ? 时,令 f ?( x) ? k (d ? 3x ) ? 0 .

???????????5 分 ???????????7 分

解得 x ? ?

3 d (舍负). 3 3 d 时, f ?( x) ? 0 ; 3

???????????8 分

当0 ? x ?

???????????9 分



3 d ? x ? d 时, f ?( x) ? 0 . 3

???????????10 分

因此,函数 f ( x ) 在定义域 (0, d ) 内只有一个极大值点 x ?

3 d. 3

所以 f ( x ) 在 x ?

3 d 处取最大值,就是横梁强度的最大值. 3 3 d 时,横梁的强度最大. 3

?????12 分

即当断面的宽为

????????13 分

20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,符合题意.?1 分 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数,

2 , a

2 ? 1 ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 , a 所以 a ? 0 . ????????3 分 当 a ? 0 时,不符合题意. 综上, a 的取值范围是 a ? 0 . ????????4 分 g ( x) lnx ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , (Ⅱ)把方程 x x
所以 ? 即为方程 ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 . 设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) , 原方程在区间 ( ,e ) 内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数 H ( x ) 在区间 ( ,e ) 内有且只有两个零点. ????????6 分 ????????5 分

1 e

1 e

H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ?

1 x
???????7 分

2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x
令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? (0,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

1 (舍) 2a

???????8 分

H ( x ) 是减函数;
? ??????10 分

当 x ? (1, ??) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数.

1 H ( x ) 在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只需 e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? ? H ( x) min ? 0, ? H (e) ? 0, ? ?

???????13 分

? a 1 ? 2a (1 ? 2a)e ? a ? e2 ? ?1 ? ? 0, ? 2 e e e2 ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a) ? 1 ? a ? 0, ?ae2 ? (1 ? 2a)e ? 1 ? (e2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, ? ? ?
解得 1 ? a ?

? e2 ? e a? , ? 2e ? 1 ? ? ∴ ? a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?
???????14 分

e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是( 1, ) . 2e ? 1 2e ? 1

注:若有其它解法,请酌情给分.


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