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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 不等式及线性规划问题训练试题 文


常考问题 10

不等式及线性规划问题

对应学生 用书P99 (建议用时:50 分钟) 2 1.不等式 x< -1 的解集是________. x
? ?x>0, x2+x-2 2 解析 x< -1? <0?? 2 x x ?x +x-2<0 ? ?x<0, ? 或? 2 解得{x|x<-2 或 0<x<1}. ?x +x-2>

0, ?

答案

{x|x<-2 或 0<x<1}


2.(2012· 无锡市高三期末)不等式 4x-2x 2>0 的解集为________. 解析 根据指数运算法则求解.由 4x-2x 2>0 得 2x(2x-4)>0,又因为 2x>0,所以 2x


>4,解得 x>2,故原不等式的解集为(2,+∞). 答案 (2,+∞)

3.(2012· 南通调研)存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是________. 3 解析 由题意可得 Δ=(-4b)2-4×3b>0,即为 4b2-3b>0,解得 b<0 或 b> . 4 3 答案 b<0 或 b> 4 4.(2013· 四川卷)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析 当 x≥0 时,f(x)=x2-4x<5 的解集为[0,5),又 f(x)为偶函数,所以 f(x)<5 的解集 为(-5,5).由于 f(x)向左平移两个单位即得 f(x+2),故 f(x+2)<5 的解集为{x|-7<x<3}. 答案 {x|-7<x<3}

x≥1, ? ? 5.(2013· 新课标全国Ⅱ卷改编)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 的最小值为 1,则 a 等于______.

若 z=2x+y

1

解析 由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分,由目标函数 z=2x +y 的几何意义为直线 l:y=-2x+z 在 y 轴上的截距,知当直线 l 过可行域内的点 B(1, 1 -2a)时,目标函数 z=2x+y 的最小值为 1 ,则 2-2a=1,解得 a= . 2 答案 1 2

6.(2013· 苏北四市模拟)已知集合 A={x|x2+2x-3≤0},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0},若 “x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 解析 因为集合 A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}

={x|2a≤x≤a2+1},且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以集合 A 是 B 的真
?2a≤-3 ? 3 子集,即? 2 ,且两个等号不能同时取到,解得 a≤- ,则实数 a 的取值范围是 2 ? a + 1 ≥ 1 ?

?-∞,3?. 2? ?
3? 答案 ? ?-∞,2?
? ?-x+1, x<0, 7.函数 f(x)=? 则不等式 x+(x+1)· f(x+1)≤1 的解集是________. ?x-1, x≥0, ?

解析 若 x<-1,则 f(x+1)=-x,于是由 x-x(x+1)≤1,得 x2≥-1,所以 x<-1. 若 x≥-1,则 f(x+1)=x,于是由 x+x(x+1)≤1,得 x2+2x-1≤0,解得-1- 2≤x≤ -1+ 2,所以-1≤x≤ 2-1.综上得 x≤ 2-1. 答案 (-∞, 2-1]

x+2y-3≤0, ? ? 8.已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0,

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)

处取得最大值,则 a 的取值范围是________.

2

解析 画出 x、y 满足条件的可行域如图所示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取 1 得最大值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a<- ,∴ 2 1 a> . 2 1 ? 答案 ? ?2,+∞?
? 1 ? <x<2 ?. 9.若不等式 ax2+5x-2>0 的解集是?x? 2 ? ? ?

(1)求实数 a 的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集. 解 1 (1)由题意知 a<0,且方程 ax2+5x-2=0 的两个根为 ,2,代入解得 a=-2. 2

1 (2)-2x2-5x+3>0 即为 2x2+5x-3<0,解得-3<x< ,即不等式 ax2-5x+a2-1>0 2 1? 的解集为? ?-3,2?. 7x-5y-23≤0, ? ? 10.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. y+7 (1) 的取值范围; x+4 (2)x2+y2 的最大值和最小值; → → (3)OM· OP的最大值; → (4)|OP|cos∠MOP 的最小值. 解 画出不等式组表示的平面区域如图所 中 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2). y+7 (1) 表示区域内点 P(x,y)与点 D(-4,-7) x+4 连线的斜率, y+7 1 y+7 所以 kDB≤ ≤k ,即 ≤ ≤9. 3 x+4 x+4 CD 示. 其

且 M(2,1),P(x,y),求:

3

(2)x2+y2 表示区域内点 P(x,y)到原点距离的平方,所以(x2+y2)max=(-1)2+(-6)2=37, (x2+y2)min=0. → → (3)设OM· OP=(2,1)· (x,y)=2x+y=t,则当直线 2x+y=t 经过点 A(4,1)时,tmax=2×4+1=9. → → → → |OM|· |OP|cos∠MOP OM· OP 2x+y → (4)设|OP|cos∠MOP= = = =z,则当直线 2x+y= 5z → 5 5 |OM| 经过点 B(-1,-6)时, zmin= 1 8 5 [2×(-1)-6]=- . 5 5

11.(2013· 苏中三市模拟)函数 f(x)=x2+ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 解 (1)x∈R 时, 有 x2+ax+3-a≥0 恒成立, 须 Δ=a2-4(3-a)≤0, 即 a2+4a-12≤0,

所以-6≤a≤2.所以 a 的取值范围是[-6,2]. (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分以下三种情况讨论(如图所示):

①如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时,有 Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2. ②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0, Δ≥0, ? ? a 即?x=-2<-2, ? ?g?-2?≥0, a -4?3-a?≥0, ? ? a 即?-2<-2, ? ?4-2a+3-a≥0
2

a≥2或a≤-6, ? ?a>4, ?? 7 ? ?a≤3.

此不等式组无解.

③如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,

4

Δ≥0 ? ? a 即?x=-2>2, ?g?2?≥0 ? a≥2或a≤-6, ? ? ?a<-4, ? ?a≥-7

a -4?3-a?≥0, ? ? a 即?-2>2, ?4+2a+3-a≥0 ?

2

?

?-7≤a≤-6.综合①②③得 a∈[-7,2].

5


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