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2015届《智慧测评》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习课时训练:第8篇 第5节 抛物线 Word版含解析

时间:2015-04-10


第八篇

第5节

一、选择题 1.(2014 银川模拟)抛物线 y=-2x2 的焦点坐标为( 1 A.(- ,0) 8 1 C.(0,- ) 8 1 B.( ,0) 4 1 D.(0,- ) 4 )

1 1 解析:y=-2x2 化为标准方程为 x2=- y,其焦点坐标是(0,- ),故选 C. 2 8 答案:C 2.

设点 A 是抛物线 y2=4x 上一点,点 B(1,0),点 M 是线段 AB 中点.若|AB|=3,则点 M 到直线 x=-1 的距离为( A.5 C.2 ) 3 B. 2 5 D. 2

1 解析:如图,过 A、M、B 分别作 l:x=-1 的垂线,垂足分别为 P,N,Q,则 MN= 2 1 5 (AP+BQ)= ×(3+2)= .故选 D. 2 2

答案:D y2 3.(2013 年高考四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 3 ( ) 1 A. 2 C.1 B. 3 2

D. 3

解析:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为± 3x-y=0,则所求 距离为 d= 3 .故选 B. 2

答案:B

4.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( A.相离 C.相切 B.相交 D.不确定

)

解析:如图所示,设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线为 l, A1、B1 分别为 A、B 在直线 l 上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, 1 1 1 于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故圆与抛 2 2 2 物线准线相切.故选 C. 答案:C 5. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=4x C.y2=± 4x ) B.y2=8x D.y2=± 8x

a ? 解析:当 a>0 时,F? ?4,0?,设 A(0,yA), 1 a S△OAF= × ×|yA|=4, 2 4 32 ∴yA=- . a 又直线 l 的斜率为 2, 32? 0-? ?- a ? ∴ =2, a -0 4 解得 a=8, ∴抛物线方程为 y2=8x. 同理当 a<0 时, 可求抛物线方程为 y2=-8x. 故选 D. 答案:D 6.(2013 年高考大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜 → → 率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点,若MA· MB=0,则 k 等于( 1 A. 2 C. 2 解析:法一 设直线方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2), B. 2 2 )

D.2

? ?y=k?x-2?, 由? 2 ?y =8x, ?

得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, 4?k2+2? ∴x1+x2= , k2 x1x2=4, → → 由MA· MB=0, 得(x1+2,y1-2)· (x2+2,y2-2) =(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2] =0, 代入①②整理得 k2-4k+4=0, 解得 k=2.故选 D. 法二 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 中点 P, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 G、H, 连接 MF,MP, → → 由MA· MB=0, 知 MA⊥MB, 1 则|MP|= |AB| 2 1 = (|AG|+|BH|), 2 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线, 所以 MP∥AG∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90° , 1 则 MF⊥AB,所以 k=- =2. kMF 答案:D 二、填空题 1 1 7.(2014 临沂一模)已知圆 x2+y2+mx- =0 与抛物线 y= x2 的准线相切,则 m= 4 4 ________. 解析:抛物线的标准方程为 x2=4y,其准线方程为 y=-1. ① ②

m2+1 m 圆的标准方程为 x+ 2+y2= , 2 4 m2+1 m 所以圆心为- ,0,半径为 , 2 2 由于圆与抛物线准线 y=-1 相切, 所以 m2+1 =1,解得 m=± 3. 2

答案:± 3 8. (2014 安徽皖南八校第二次联考)若抛物线 y2=2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3, 则点 M 到抛物线焦点的距离为________.
2 ? ?y =2x, 解析:设 M(x,y),则由? 2 2 ?x +y =3, ?

得 x2+2x-3=0. 解得 x=1 或 x=-3(舍). 1 3 所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1-- = . 2 2 3 答案: 2 → → 9.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标为________. y2 0 解析:设 A 的坐标为 ,y0, 4 ∵F 为抛物线 y2=4x 的焦点, ∴F(1,0),
2 y2 → → y0 0 ∴OA· AF= ,y0· 1- ,-y0 4 4

y4 3y 2 0 0 =- - 16 4 =-4, 解得 y2 0=4, ∴y0=± 2. ∴A 的坐标为(1,2)或(1,-2). 答案:(1,2)或(1,-2) 10.已知 P、Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P、Q 的横坐标分别为 4、-2,过 P、Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 1 解析: 由于 P、 Q 为抛物线 x2=2y, 即 y= x2 上的点, 且横坐标分别为 4、 -2, 则 P(4,8), 2

Q(-2,2),从而在点 P 处的切线斜率 k1=4.据点斜式,得曲线在点 P 处的切线方程为 y-8 =4(x-4);同理,曲线在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2);将这两个方程联立,解得 交点 A 的纵坐标为-4. 答案:-4 三、解答题 11.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所得的弦长|AB|=3 5,求此 抛物线方程. 解:设所求的抛物线方程为 y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线 y=2x-4 代入 y2=ax, 得 4x2-(a+16)x+16=0, 由 Δ=(a+16)2-256>0,得 a>0 或 a<-32. a+16 又 x1+x2= ,x1x2=4, 4 ∴|AB|= ?1+22?[?x1+x2?2-4x1x2] = 5 a+162 -16 4

=3 5, a+16 2 ∴5[( ) -16]=45, 4 ∴a=4 或 a=-36. 故所求的抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-36x. 12.若抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 l:y=x+m 对称,且 x1x2 1 =- ,求实数 m 的值. 2 解:法一 如图所示,连接 AB, ∵A、B 两点关于直线 l 对称, ∴AB⊥l,且 AB 中点 M(x0,y0)在直线 l 上. 可设 lAB:y=-x+n,
? ?y=-x+n, 由? 得 2x2+x-n=0, 2 ?y=2x , ?

1 n ∴x1+x2=- ,x1x2=- . 2 2 1 由 x1x2=- ,得 n=1. 2 x1+x2 1 又 x0= =- , 2 4

1 5 y0=-x0+n= +1= , 4 4 1 5? 即点 M 的坐标为? ?-4,4?, 由点 M 在直线 l 上, 5 1 得 =- +m, 4 4 3 ∴m= . 2 法二 ∵A、B 两点在抛物线 y=2x2 上.
?y1=2x2 ? 1, ∴? 2 ?y2=2x2, ?

∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2). 设 AB 中点 M(x0,y0), y1-y2 则 x1+x2=2x0,kAB= =4x0. x1-x2 1 又 AB⊥l,∴kAB=-1,从而 x0=- . 4 1 又点 M 在 l 上,∴y0=x0+m=m- , 4 1 1? 即 M? ?-4,m-4?, 1? ? 1? ∴AB 的方程是 y-? ?m-4?=-?x+4?, 1 即 y=-x+m- , 2 代入 y=2x2, 1? 得 2x2+x-? ?m-2?=0, 1 m- 2 1 ∴x1x2=- =- , 2 2 3 ∴m= . 2


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