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正弦定理、余弦定理综合练习题


正弦定理、余弦定理习题课
知识点: 1、正弦定理:
a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? a , sin ? ? b , sin C ? c ;③ a : b :

c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R ④

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

3、三角形面积公式: S ???C ? 1 bc sin ? ? 1 ab sin C ? 1 ac sin ? . 2 2 2 4、 余弦定理: ??? C 中, a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? ,b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . 在 有
2 2 2 2 2 2 2 2 2 5、余弦定理的推论: cos ? ? b ? c ? a , cos ? ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c .

2bc

2ac

2ab

6、设 a 、b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

典型综合练习: 一、选择题 1、在 ?ABC 中,若 ?a ? c ??a ? c ? ? b?b ? c ? ,则 A=( A. )

900

B.

600

C.

1200

D.

1500


2、在 ?ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? 13 ,则最大角的余弦值是( 14 A.

?

1 5

B.

?

1 6

C.

?

1 7

D.

?

1 8


3、边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.

900

B.

1200

C.

1350

D.

1500


4、在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C, 则 ?ABC 一定是( A. Rt ? B. 等腰 ? C. 等边 ? D. 等腰 Rt ? )

0 0 5、 ?ABC 中, a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b ? (

1

A. 4 2

B. 4 3

C. 4 6

D. 32
3

6、在 ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则边 AC 上的高为( A. 3
2 2



B. 3
2

3

C. 3
2

D.

3 3
5 , A=2B, cs 则o b 若 2

7、?ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 且 a ? A.
5 3

B= (



B.

5 4

C.

5 5

D.

5 6
?

8、已知 a, b, c 是 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边,向量 m ? 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B=( A.
?
4
? ?

?

3,?1 , n ? ?cos A, sin A? ,

?

?



B. ?
3

C. ?
2

D. ?
6

二、填空题: 9、在 ?ABC 中, A ? 30 , a ? 2 ,则
0 0

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

10、在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1, c ? 4, 则该三角形的外接圆的半径 R= 11、已知 a, b, c 是 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边, sin A : sin B ? 2 : 1, c 2 ? b 2 ? 2bc, 则 B= 12、 在锐角 ?ABC 中, ? 1, B ? 2 A , AC 的值等于 则 BC
cos A

AC 的取值范围为 ,



三、解答题: 13、在 ?ABC 中,已知 a ? 8, b ? 7, B ? 60 , 求 c 及 S ?ABC .
0

14、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 15、在

? 3

, cos A ?

4 ,b ? 3 . 5
5, 5

? ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 cos A = 2
2

? ??? ??? ? AB ? AC =3.(Ⅰ)求 ? ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值.
16、在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA.. (I) 求 AB 的值; (II) 求 sin ? 2 A ? ? ? 的值. ? ?
? 4?
2

参考答案: 一、选择题: CCBB CBBD 二、填空题:9、4;10、
39 ;11、 30 0 ;12、2, ( 3

2, 3)

13、解:由余弦定理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B,

? 7 2 ? c 2 ? 8 2 ? 2 ? 8 ? c cos600 ,解得 c1 ? 3, c2 ? 5.
? S ?ABC ? 1 1 ac1 sin B ? 6 3 或 S ?ABC ? ac 2 sin B ? 10 3. 2 2

14、解: (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ?

?

3

, cos A ?

4 , 5
.

∴ C ? 2? ? A, sin A ? 3 ,∴ sin C ? sin ? 2? ? A ? ? ? ?
3 5
? 3 ?

3 1 3? 4 3 cos A ? sin A ? 2 2 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 3 , sin C ? 3 ? 4 3 ,
5 10

又∵ B ? ? , b ?
3

b sin A 6 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 a ? ? . sin B 5

∴△ABC 的面积 S ? 1 ab sin C ? 1 ? 6 ? 3 ? 3 ? 4 3 ? 36 ? 9 3 .
2 2 5 10 50

15 、 解 析 : I ) 因 为 cos A ? 2 5 , ? cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 3 , sin A ? 4 , 又 由 (
2 5
2 5 5

??? ??? ? ? 1 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 2
( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c 2 ? b c o s A 2 0? a ? 2 5 2 ? ,
16、解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理,
AB BC sinC ? BC ? 2BC ? 2 5 ,于是 AB= sinC sin A sin A
AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

(Ⅱ)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA=
1 ? cos2 A ? 5 5

从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

3

例题分析: 1、 在 ?ABC 中,若 B ? 300 , AB ? 2 3, AC ? 2, 求 S ?ABC . 解: 由

3 AC AB 2 2 3 ? ,得 , n C? 有i s , 由题意有 C ? 600 或 C ? 1200. ? 0 sin B sin C 2 sin C sin 30
1 2

1 AB ? AC sin 30 0 ? 3. 2 B?C 7 2 ? cos 2 A ? . 2、 a, b, c 是 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边, 4 sin 2 2
0 当 C ? 600 时, S ?ABC ? AB ? AC ? 2 3 , 当 C ? 1200. 时, A ? 30 , S ?ABC ?

(1)求角 A;(2)若 a ? 3, b ? c ? 3, 求 b, c 的值.

B?C 7 A 7 7 ? cos 2 A ? . 得 4 cos 2 ? cos 2 A ? ,? 2(1 ? cos A) ? (2 cos 2 A ? 1) ? 2 2 2 2 2 1 2 0 整理得 ?2 cos A ? 1? ? 0,? cos A ? ,? A ? 60 . 2
解:(1)由 4 sin
2

(2)由 A ? 600 , 根据余弦定理有 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 b2 ? c2 ? a2 1 ? ,? b 2 ? c 2 ? bc ? 3, , 即 2bc 2bc 2

又 b ? c ? 3,? bc ? 2 ,解得 b ? 1, c ? 2 或 b ? 2, c ? 1.
2 2 2 3、 ?ABC 中, 在 内角 A, 对边的边长分别是 a,b,c,有 b ? c ? bc ? a , B,C

c 1 ? ? 3, b 2

求角 A 和 tan B 的值.

b2 ? c2 ? a2 1 1 ? ? ,? cos A ? ,? A ? . 解:由 b ? c ? bc ? a , 有 2bc 2 2 3
2 2 2



sin(? ? A ? B) 1 c 1 sin C 1 2? 1 ? ? 3 ,? ? ? 3,? ? ? 3,? sin( ? B) ? ( ? 3 ) sin B b 2 sin B 2 sin B 2 3 2

整理得

3 1 1 1 1 cos B ? sin B ? sin B ? 3 sin B. ? cos B ? sin B,? tan B ? . 2 2 2 2 2
3

4、在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C = ? . (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a,b;(Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 S ?ABC . 解析: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

4

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 ·········· 4 ·········· 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6 ab ? 4, ?
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 8 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . 12 分 ab sin C ? 2 3

5


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