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7.2(4)等差数列的前n项和


7.2.4.等差数列的前n项和(二)

〔教学目标〕

知识与技能:
通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练 等差数列前n项和的最值问题 。 过程与方法: 掌握数形集合思想方法以及“求平均数”思想的

精神实质 。
情感态度与价值观: 让学生体验等差数列前n项和与二次函数的关系, 感受多角度、多

层次解题的方式。

〔学习要求 〕

1.通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练等
差数列前n项和的最值问题 。 2.掌握数形集合思想方法以及“求平均数”思想的精 神实质 。 3.让学生体验等差数列前n项和与二次函数的关系, 感受多角度、多层次解题的方式。

复习巩固:1.由和求通项
1 ?an ?的 前n项 和 为Sn ? n ? n, 这 个 数 列 是 等 差 数 列 ? 已知数列 吗 2 如 果 是 , 首 项 与 公 差别 分是 ?
2

a1 ? S1 ? 由S n 与a n的关系式? ? a ? S ? S , n ? 2 , n ? N n n ?1 ? n
3 ?an ?是 一 个 首 项 为 , 公 差 为 数列 2的 等 差 数 列 。 2

导入此数列的通项公式,再由等差数列的定义(或充要条件)判断。

?a n ?为等差数列,它的前n项和是 思考:若数列 Sn ? an2 ? bn?a ? 0? 的形式吗?

一般地,如果一个数列 ?an ? 的前n项和为 : S n ? pn 2 ? qn ? r 如果是,它的首项与公 差分别是什么?

其中p、q、r为常数,且 p ? 0, 那么这个数列 ?an ?一定是的等差数列吗?

解:根据上例解得 (n ? 1) ?p ? q ? r an ? ? ? ( n ? 2 , n ? N ) ?2 pn ? p ? q

只有r ? 0时,数列?an ?才是等差数列 首项为: a1 ? p ? q, 公差为: d ? 2 p
如果数列?an ? 的前n项和是常数项为 0,且是 关于n的一元二次关系式,那 么数列?an ?是等差数列。

2 2 练习 1:已知数列?a n ? 的前n项和为:S n ? 1 n ? 4 3 n ? 3,

求数列通项a n
59 2 解:当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 ? ? 3 ? 4 3 12

当n ? 2, n ? N 时,a n ? S n ? S n ?1
1 4 2 2 3 1 4 2

?

? ( n ? n ? 3) ? [ (n ? 1) ? 2 3 ( n ? 1) ? 3]

? ? ?
n 2 5 12

6n ? 5 11 6 n ?5 当n ? 1时, ? ? a1 12 12 12
59 12

(n ? 1) ? ? 数列?an ? 的通项公式为: a n ? ? 6 n ?5 (n ? 2, n ? N ? ) ? 12

2.求等差数列的前n项的绝对值之和

例1:已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列 {|an|}的前n项和Tn.
解析: 当n=1时,a1=S1=12-12=11;当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n. ∵n=1时适合上式,∴{an}的通项公式为an=13-2n. 由an=13-2n≥0,得n≤
13 , 2

即当1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;当n≥7时,an<0.

(1)当1≤n≤6(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.

(2)当n≥7(n∈N*)时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an) =-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6) =-Sn+2S6=n2-12n+72.
2 * ? ?12n-n ,1≤n≤6,n∈N , ∴Tn=? 2 * ? ?n -12n+72,n≥7,n∈N .

『变式探究』

1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+ an=0,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.

(1)由an+2-2an+1+an=0得,2an+1=an+an+2, 解析:

a4-a1 所以数列{an}是等差数列,d= =-2, 4-1
∴an=-2n+10,n∈N*.

* ? - 2 n + 10 , 1 ≤ n ≤ 5 , n ∈ N ? ?-2n+10,1≤n≤5,n∈N* ? ? (2)|a | = n (2)|an|=? *∈N* ?2 n - 10 , n ≥ 6 , n ? 2 n - 10 , n ≥ 6 , n ∈ N ? ?

①当 1≤n≤5,n∈N 时,Sn=
②当n≥6,n∈N*时,

n?8-2n n+ 10 ? 2n+ 2 10? ? 8 - ①当 1≤n≤5,n∈N 时, S = =- n +9n, * n 2
*

2

=-

?n-5??2+2n-10? 2 Sn=-25+9· 5+ =n -9n+40. ?n-5??2+2n- 10? 2 2 S =-25+9· 5+ =n -9n+40.
n

2 2 ? nn, +9n, 5 ? n- +9 1≤n≤5 1≤n≤ ?-? * ? ? 由 ①, ② 可得 SnS = , n ∈ N . 由① , ② 可得 = , n? 2 2 9n- +40 , n≥, 6 ?n - ? 9n +40 n≥6 ?n

2

?an ?前n项和S n ? 10n ? n 2,数列?bn ?的每一项都有bn ? a n , 练2:已知数列
? ?用n表示? 求数列?bn ? 的前n项和S n

先由Sn ,求出通项公式

an ? 11 ? 2n?n ? N *?

?an ? 从第6项起又组成一个首项为 可知前5项为正, 1,公差为2的等差数列,所以须分类讨论:
1?当n ? 5, n ? N * 时 2?当n ? 6, n ? N * 时

? ? 10n ? n Sn

2

? ? S5 ? n2 ? 10n ? 25 ? n2 ? 10n ? 50 Sn
? 10 n ? n ?n ? 5 ? ? ?? 2 ? 综上所述S n n? N * ? n ? 10 n ? 50?n ? 6 ?
2

前n ? 5项 之 和 为 : ? n ? 5??n ? 6? ?n ? 5?? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 10n ? 25 2

3.等差数列最值问题
2 4 例2:已知等差数列5, 47 , 37 , ?的前n项和为S n ,

求使得S n 最大的序号n的值 n ( n ?1) 5 解1:由已知可得,a1 ? 5, d ? ? 7 , 代入S n ? na1 ? 2 d

可得S n ? 5n ?
即:S n ?

n ( n ?1) 2

(? ) ?
5 7

75n ?5 n 2 14

5 15 2 ? 14 (n ? 2 )

? 1125 56

于是当n取与 15 最接近的正整数 7或8时,S n取最大值。 2

本例解法是将 S n 看作是关于n的二次函数, 利用二次函数最值问题 的解题思路 .

2, 4, 例2:已知等差数列 5, 47 37 ?的前n项和为 S n ,

求使得 S n最大的序号 n的值。
解2:由已知条件得: 5 40 5 a n ? a1 ? ( n ? 1) ? d ? ? n ? , a n ?1 ? ? n ? 5 7 7 7 ?a n ? 0 由? 解得: 7 ? n ? 8, 则n取7或8 ?a n ?1 ? 0

于是当n取正整数 7或8时,S n 取最大值。

本例解法是利用通项a n的正负情况与前n项和S n 的变化情况的关系,

练;等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少

项的和最小?

[解析] 解法 1:设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得 1 1 9a1+ ×9×8· d=12a1+ ×12×11· d ,∴a1=-10d, 2 2 1 1 2 21 ∵a1<0,∴d>0,∴Sn=na1+ n(n-1)d= dn - dn 2 2 2 21? d? ? ?2 441 = ?n- ? - d. 2? 2? 8 ∵d>0,∴Sn 有最小值.

又∵n∈N*,∴n=10或n=11时,Sn取最小值.

解法 2:同解法 1,由 S9=S12 得 a1=-10d
? ?an=a1+?n-1?d≤0 代入? ? ?an+1=a1+nd≥0 ? ?-10d+?n-1?d≤0 得,? ? ?-10d+nd≥0

∵a1<0,∴d>0, 解得 10 ? n ? 11. ∴n 取 10 或 11 时,Sn 取最小值.

解法 3:∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0, ∴3a11=0,∴a11=0.∵a1<0, ∴前 10 项或前 11 项和最小.

?an ?的前n项为S n,已知a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0, 练2:设等差数列 ?1?求公差d的取值范围; ?2?指出S1 , S 2 ,?,S n中哪一个最大?说明理 由。

此题可用求Sn的两个要素的常规方 法,第2问可用Sn的性质求解 24 解: ?1? ? ? d ? ?3 7
12?a1 ? a12 ? ? ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 ? S12 ? 2 ?2?? 13?a1 ? a13 ? ? S13 ? ? 13a7 ? 0 2 ?

? a7 ? 0 ?? ?a 6 ? ? a 7 ? 0

即:前6项和最大

小结:求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法:

方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn,
讨论二次函数的性质

方法2:讨论数列{an} 的通项,找出正负临界项。 (1)若a1>0,d<0,则Sn有大值,且Sn最大时的n
满足an≥0且an+1≤0; (2)若a1<0,d>0,则Sn有小值,且Sn最小时的n 满足an≤0且an+1≥0;

4.等差数列前n项和的性质

例3:已知数列?an ?是等差数列, sn是其前 n项的和。 求证: s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列 解:设等差数列首项为a1 , 公差为d,则有 :

s 6 ? 6a1 ? 15d , s12 ? 12a1 ? 66d s18 ? 18a1 ? 153d ? s12 ? s 6 ? 6a1 ? 51d s18 ? s12 ? 6a1 ? 87 d ? ( s12 ? s 6 ) ? s 6 ? 36d ? ( s18 ? s12 ) ? ( s12 ? s 6 ) ? s 6 , s12 ? s 6 , s18 ? s12也成等差数列,公差为36d
sk , s2k ? sk , s3k ? s2k 也成等差数列。( k ? Z ) 能不能把此结论推广到 一般情况:如果 ?an ?为等差数列,

公差为原来公差的k 倍

2

练3.在等差数列?a n ? 中,S n 为前n项和,公差d ? 2 且S 4 ? 1,求:a17 ? a18 ? a19 ? a 20的值

解:由已知得数列S 4,S 8 ? S 4, ?,S 20 ? S16 是等差数列,公差为4 d ? 32
2

? S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129

? a17 ? a18 ? ? ? a 20 ? S 20 ? S16 ? a17 ? a18 ? ? ? a 20 ? 129

求等差数列前 2n ? 1项中奇数项与偶数项的 和之比。
在项数为2n+1的等差数列中,奇数项有n+1,偶数项有n项 解:

则奇数项之和

2 n?a 2 ? a 2 n ? 则偶数项之和 B ? 2

? n ? 1??a A?

1

? a2 n?1 ?

等差数列中 a1 ? a2 n?1 ? a2 ? a2 n
a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? 3, 求n值。

?an ?共有2n ? 1项,其中 练习 3.等差数列 a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 ? 4,
分析:利用上面推出的公式 4 ? n ? 1     即     n?3
3 n

A n?1 即    ? B n

5.等差数列中的an与Sn的关系

?an ?和?bn ?的前n项为S n 和Tn , 例:两个等差数列
Sn a11 7n ? 1 ?n ? N *?,求 且 ? Tn 4n ? 27 b11

an S2 n ?1 ? bn T2 n ?1

练:两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,

Sn 2n an 若 = ,求 . Tn 3n+1 bn

小结
一、等差数列与前n项和的关系

1:若数列{an}的前n和 S = n (a1 + an ) , 那么数列 n

2

{an}是等差数列

{an}是等差数列

n(a1 ? an ) ?     S n ? 2

n ( n ? 1 ) d 2:将等差数列前n项和公式 S ? na ? n 1 2
看作是一个关于n的二次函数

d 2 d S n ? n ? ( a1 ? ) n 2 2
特点: 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.

3:一般地, (1)数列{an}是等差数列 ? Sn=An2+Bn

(2)数列{an} 的前n项和是Sn=An2+Bn+C ,则: ①若C=0,则数列{an}是等差数列; ②若C≠0,则数列{an}从第2项起是等差数列。

4.数列{an}是等差数列

Sn ? { } 为等差数列 n

即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍
然是等差数列,且公差是数列{an}的公差的一半。

二、等差数列前n项和的性质

1:在等差数列{an}中,每连续k项的和组成的数列,即

数列a1+a2+…+ak, ak+1+ak+2+…+a2k,
a2k+1+a2k+2+…+a3k,… … 是等差数列 性质:若数列{an}是等差数列,那么数列Sk,S2k-Sk, S3k-S2k , …仍然成等差数列

2、在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n三者之间有什么关系?

S3n=3(S2n-Sn)
3、在等差数列{an}中,设S偶=a2+a4+…+a2n, S奇=a1+a3+…+a2n-1,则S偶-S奇与S偶 等于什么?
S奇

S偶-S奇=nd

an ?1 = S奇 an

S偶

4、设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则

an S2 n ?1 ? bn T2 n ?1
5、在等差数列{an}中,求前n项和Sn的最值常用方法 方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn,

讨论二次函数的性质 方法2:(1)若a1>0,d<0,则Sn有大值,且Sn最大时的n 满足an≥0且an+1≤0;

(2)若a1<0,d>0,则Sn有小值,且Sn最小时的n
满足an≤0且an+1≥0;

本节课学习的主要内容有: 1、如何利用数列的前n项和 求通项公式 2、等差数列前n项和最值求解 3、等差数列简单性质.

等差数列的前 n 项和有如下的性质.

(1)若{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,…也为等差数列.
? ?Sn? ? (2)等差数列{an}中,数列? n ?仍为等差数列. ? ? ? ?

(3)等差数列{an}中,若 Sm=Sp(m≠p),则 Sm+p=0.

(4)在等差数列{an}中, ①若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an, S奇 an an+1 为中间两项);S 偶-S 奇=nd; = . S偶 an+1 ②若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an;S 奇-S S奇 n =an; = . S偶 n-1 (5)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 am S2m-1 Sn 和 Tn,则 = . bm T2m-1



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