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利用空间中的动点解决立体几何求值问题


2 o o 9年第 3期 

中学数学研究 

1 9  

利 用 空 间 中 的动 点 解 决 立体 几 何 求值 问题 
华 南师大附 中   ( 广州 , 5 1 0 6 3 O )   周建锋 
平 面 中的动 点 问题 我 们 是 比较 熟 悉 的 , 在 平 
面 直角 坐标

系 中 , 动 点 问 题 可 以用 二 元 方 程 来 解  在 BC   上. 设 D =s   D E=( 0 , 2 s , 2 s ) , B Ⅳ =f  C 1  


( 一3 f , 0 , 2   ) . 则』 l j W =   D+D   +B Ⅳ =( 0 , 2 s ,  

决. 而在 空 间直 角 坐 标 系 中 , 动 点 的 问题 比较 复 杂 


2 s )+( 3, 4 , O )+( 一  , 0, 2 £ ) . 由于  Ⅳ为异 面直线  DE、 日 c   的公 垂线 段 , 所以删 j - DE且  Ⅳ 上B c 1 ,  

些, 它 是一 个 三元 变 量 , 不过 空 间 直线 、 空 间平 面 
1 . 空间直 线 : 如果 f 为 经 过 已 知点 A且 方 向 向 

上 的点还 是 可 以转 化 为一元 和 二元 变量 的 问题 .  

由 田 f {   — }   ‘  

【  Ⅳ ? BC, = 0   I   4 s+ 1 3 f一 9 = O  

0  { {   8 s + 4   + 8 = 0, , 解 胼 得 侍 :  

量 为 0的直线 , 那 么点 P在直 线 f 上 的充要 条件 是存  在实 数 , 满 足等 式4 J p=  n , 或 对任 一点 0( 通 常取 

坐标原点 ) , 有0 P =D A+f 口 . 这是空间直线的向量 
形 式.  

{ 1 r   。   一 一 1   3   .  = ( \   一   1 1 , ’   l l , ’   一   1 1 ) ,   ,  
【  
? . .

2 . 空间 平面 : 空间 一点 P位 于平 面  B内的充 

异面直线 D E、   c   的距离为 I  
例 2   如 图 , 已 知  B C D 为 边 长 是 4 的 正 方 

I =3 _ 

. 

要 条 件是 存在 有序 实数 对 s 、 £ , 使 P =s   O   +s  

+   百,  

或对 空 间任 一 定 点 0( 通 常取 坐标 原 点 ) , 有D P=   +   B . 这是 空 间平 面 的向量 形式.   这样 动点 P在 直 线 或 平 面上 位 置 可 以用 一 个  参 数或 两个 参数 来表 示 , 再 由其 它条 件 ( 比如 垂 直 )   可 以求 出参 数 , 从 而得到需要 的向量 , 进 一 步 就 可  以计算 距离 或 角 的问题 了.  
例1   如 图, 已 知 长 方 

形, E、 F分 别是 A 曰、 AD的 中 
点, G C垂 直 于 A  C D所在 的 

D 

平面 , 且G c =2 , 求 点  到 

平面 E FG的距 离.   解: 分别以   、 云  、   为 、 y 、 z 轴建立空 问直 
角坐 标 系 , 则 E ( 2 , 4, O ) ,F( 4 , 2, O ) ,G( 0, 0 , 2 ) ,  
日( O, 4, 0 ) . . ‘ .E F=《 、 2 ,一2 , 0 ) , E G =( 一2,一4,  

/  

体A 日 c D —A   B 1 c 1 D1 中, A  
=4,   A  = 2 ,  , j =3 , E为 
C l D l 中点.  

2 ) , 设 P是平面 E F G上的动点 , 则存在实数 s ,   , 使 
得曰 P=   E+s E F+l 。 E G =( 2 , 0, 0 )+s ( 2 , 一2 , 0 )  

( 1 ) 求点 B  到 直 线 D   的距离 ;   ( 2 ) 求 异 面直 线 c  和 D   的距 离 .   解: 以 D 为 坐标 原 点 , 以  、 D c、 D D  为  、 y 、   轴建 立 空 间直角 坐标 系.  
( 1 ) B   ( 3 , 4 , 2 ) , E( O, 2 , 2 ) , 设 P是 D E上 的动  点, 则D P =£ DE =  ( 0, 2 , 2 )=( 0 , 2   , 2 f ) , . ? .B  


+  ( 一2, 一4 , 2 )=( 2 s一2 f +2,一2 s一4 f , 2   ) , 当  且仅 当 P 上 E F且 P 上 E G时 , 日 P上 平面 E F G ,   P即 为 所 求 的 点 8 到 平 面 E F G 的 距 离. 由  
f   BP ?EF = o  
、 ——   ——  

【 BP ?E G = 0  

f 2 ( 2 s一2 £+2 )一2 ( 一2  一4   )  :O   【 一2 ( 2  一2  +2 )一4 ( 一2 s一4   )+4 £=0  

日l D +D P =( 一3 , 一4 ,一2 )+( 0, 2   , 2 £ ):  
2 ——一  

( 一3 , 2   一 4 , 2   一 2 ) . 当B 1 P 上D E时, 曰 1 P? D E=  

r  :一三 

0 : = > 2 ( 2   一 4 ) + 2 ( 2   一 2 )=0 , 解得: f = ÷, B l  =  
二 

解 得 : { I 【   。   3   ¨ . ? .  ’ = ( \   l l   ,   l l   ,   l l ) ,   ,  
‘  ? . .

( 一3 , 一1 , 1 )   .此 时  到 直线 D E的距 离 即为 
J   l:  

点  到平 面 E F G的距 离 即为 I  

l:  

.  

( 2 ) B( 3 , 4, 0 ) ,C   ( 0 , 4, 2 ) , 则日 C  = ( 一3 , 0,  

例3 ( 0 7福 建 理 )   如 图, 正三棱柱 4  c —  

2 ) . 设 肘Ⅳ 是 B c   和D E的公垂 线段 ,  在D E上 , Ⅳ  

A   c   的所有棱长都为 2 , D为 c G   中点.  

2 0  

中学 数 学 研 究 

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(I)求 证 :  B  j _面 
4   BD ;  

£ , s+2 £ , √ 3   ) , . ‘ .   ( 1— 2 s 一  ,  +2 £ , √ 3   ) , C   =( 2  


2 s 一£ , s +2   , √ 3 £ ) . 当c  j 一   D且 c   上B A  时 ,  

( Ⅱ)求 二 面 角 A —  
A   D一   的大 / J 、 ;  

C   上平 面 A   D, 则c   即为 点 c到平 面 A   B D的距 

( Ⅲ)求 点 c 到 平 面  A ,  D的距离.   解: (I)取  C中 点 
D, 连结 A D . ? . ‘ △A B C为正  三角形 , . ? . A D上B C . _ . ’在  正三 棱柱 A 曰 C—A l  】 C 1   中, 平面 A  C 上 平 面  曰 C C   B, . ’ . A D 上 平 面  B C C 1  1 . 取曰   C  中点 D 。 , 以 D为原 点 , O 日, O D   ,  

离 . 由 f  。   。 。 ,  
L C   ?   l = 0.  

r 一2 ( 2—2 s—f )+ (  +2 f )  :0 ,  

【 一( 2—2  —f )+2 (  +2 f )+√ 3 l ( √ 3   )=0 .  
=  

?
. .

点 c到平 面 A   B D的距 离为 l  

I =   .  

的方 向为 , _ y , z 轴 的正 方 向建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,  

例4 ( 0 4湖 南理 )   如 
图, 在底 面是 菱形 的 四棱 锥  P —A B C D   中,  4 B C   =  
6 0。, P  = AG = 0, P  =  

贝 0曰 ( 1 , 0 , 0 ) , D ( 一1 , 1 , O ) , A   ( 0 , 2 ,√ 3 ) , A ( 0 , 0 ,  
√ 3 ) , B   ( 1 , 2 , 0 ) , . ‘ . A B  : ( 1 , 2 ,一√ 3 ) ,  D = ( 一  
2 , 1 , 0 ) ,  4 I= ( 一1 , 2 , √ 3 ) . ‘ . ‘  B 1? B D =一2+2  
+0 = 0, AB1?   l= 一l+4 —3 = 0, . ‘ .ABl  j _BD,  

P D=   0 , 点 E在 P D上 , 且 
P   :ED = 2 :1 .  

A 曰l 上   1 . . ‘ .   1   j _平面 A1 日 D .   (Ⅱ)设 P是直 线 A   D上 的动 点 , 由(I)可 得 


(1)让 明 

上—  向 A  C  ;  

(Ⅱ) 求 以A C为棱 ,   C与  C为 面 的二 面角  的大小 ;  

( 1 , l ,  ) , 则 存 在 f∈ R, 使 得 

:  

+  

D   =( 一l , 1 , 0 ) +£ ( 1 , 1 , √ 3 )=(  一l , £ +l , √ 3 £ ) ,  
‘ . .

( Ⅲ) 在棱 Pc上是 否存 在一点 F, 使曰   /平面 
A  C ? 证 明你 的结论.  

P( t 一1 , £ +l , √ 3   ) , P A=( 一   +1 ,一   一1 , √ 3一  
t ) . 当  上   1 时, 由   ?   】=O j( 一f +1 )+  

解: (I)因 为 底 面  B c D 是菱 形 , 厶4 Bc =  
6 O 。 , 所以 A 8 =A D =A C =n , 在 △  
以P A上平面 A B C D .  

( ~ f 一 1 ) +  (  一  ) = 0 j   : ÷ . . . . 此 时  

中, 由P A  

+A   =2 n  :P 日   , 知P A上A B . 同理 ,   上  D, 所  (Ⅱ)以 4为 坐 标 原 点 , 直线 4 D、   P分 别 为 y   轴、   轴, 过 A点垂 直平 面 尸 A D的直线 为 轴 , 建立空 

(   , 一   , 学) ? 同 理 , 设 Q 是 A   D 上 的 动 点 , 存  
在 s∈R, 使 得 Q( s 一1 , s +1 , √ 3 s ) , Q B =( 2一s , 一   s 一1 , 一 √ 3 l s ) . 当Q B上D A  时 , 由Q B? D A  =0  ( 2  


间直 角坐 标系 如 图. 由题 设 条 件 , 相关 各 点 的 坐标 

5 ) + ( 一 s — 1 ) +  ( 一  s ) = 0 = = > s =÷- . . 此时  


分 别 为 A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 譬 口 , 一 号 。 , 0 ) ,  
c 
,  

( 詈 , 一   , 一 字 ) -  与  的 夹 角 即 为 二 面  
,Q 日 >=  


0 ) . D ( 0 ' n ' 0 ) ,  , 0 ’  

角  一A   D —B 的 平 面 角 , c 0 s<  
_ 

I  1 . I  I 一 华 4 , ’ . ~ . . 二   面 角 A — A   D — B 的 大 小  
为a r c c 0 s   .  

E ( 0 , 号 n ,   。 ) . 设   是   c 上 的 动 点 , 则 存 在   ∈ R ,  

使 得  =  =   (   。 ,   口 , 0 ) = ( 譬 。   ,   n   , 0 ) ,  
?


( Ⅲ) c( 一1 , 0, 0 ) , 设  是平 面 A 。  D 上 的 动  点, 则存 在实 数 s ,   , 使得 0   =D 曰+5 日 D+f   l=   ( 1 , 0 , 0 )+s ( 一2 , 1 , O )+£ ( 一l , 2 , √ 3 )= ( 1—2 s 一  

. 

(  

0 ) ,  = ( 一   口   ,   n 一 丢 Ⅱ   ,   。 ) ?  

当  J _ A c 时 , 由  ?  = 0 j 一 丢 。   + ÷ n   一  

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中学数学研究 

扣 = o  :  


= ( 一  ,  

同  

练 习 

1 . ( 2 0 0 8安 徽文 :在 四棱锥 0 一A B C D中, 底面 

理, 设 Ⅳ为  c上 的动点 , 当 ⅣD 上 A c时 , 可得 :  

A   c D是边长为 1 的菱形 ,  / 4   c=   , o A上底面 
=2,   为  的 中点 .  

( 一   n , 寻 n , 0 ) ,  与  的 夹 角 即 为 二 面 角 E   A日∞ ,  
A c — D 的 平 面 角.  。   <   ,   >:  



(I ) 求异面直线 A B与  D所成角的大小 ;   (Ⅱ)求 点 B到 平 面 D c D 的距 离.  
2 . ( 2 0 o 8北 京 理 ) 如 图,  


? . .

 

:  

’ ‘ ‘ ?  <   √ ,     > >:3    


, .



二 面 角 E —A C—D 的大小 为 3 0 。 .  

在 三棱 锥 P —  B c中, A G=  
曰C = 2,   AC日 = 9 0。 ,  P =   BP = AB . PC 上 AC.  

( Ⅲ )  = ( 0 ,   n , ÷ 。 ) ,  = (  ,   口 , 0 ) .  


( 0 , o , 口 ) ,  = (   口 , 吉 口 , 一 口 ) . 设 点 F 是 棱  

(I)求证 : P C』A  ;   (Ⅱ)求二 面 角  一  P 一   ( Ⅲ)求点 c到平 面 A 朋  3 . ( 2 0 0 8福 建 理 、 l 如 图,   在 四棱锥 P —   c D中, 侧 面  P D =√  , 底面 A 日(   D为直 

P c 上 的 点 ,   P F = A  =   P C = ( f   譬 口 A ^ , .   口 A j I , . 一 口 A   ) l , 其  
A,   ,  

中 0 < A <   测  =  +  = ( 一   。 专  ) +   PAD 上 底 面 ABcD, 侧 棱  )  
二   m_ 1 ) = 譬  ,  
— — —   — — —  



角梯形 , 其中 日 c∥A j ) , A 曰j _ A D, A D =2   =2   c  
=2 , D为 A D 中点.  

(   Ⅱ ( A — 1 ) ,   。 ( 1 + A ) , 。 ( 1 一 A ) ) . 令 赢= A  
A C+A 2   4 E得 

(I ) 求证 : P D. L 平面 A   G D;   ( Ⅱ) 求异面直线 P D与 c D所成角的大小 ;   ( Ⅲ) 线段 A D上是否存在点 Q , 使得它到平面 

÷ 口 ( 1 + A ) = ÷ n A   +   。 A   , 即   P c D 的 距 离 为 譬 ? 若 存 在 , 求 出  的 值 ; 若 不 存 在 ,   请说 明理 由.   0 ( 1 一 A ) = ÷  .  
答 案 

{   + A = A   +   A z , 解 得 A :   , A   : 一 号 ,  
【   一 A :  : .  

1 . ( 1 ) 予 , ( 2 )  .  

2 . ( 2 ) a r c s i n 譬 ’ ( 3 ) 学.  
3 . ( 2 ) a r c t a n 等, ( 3 ) 存在点 Q满足题意, 此时 
一  

A   = 寻 . 即 A =  时 , 赢= 一 号  + 寻  亦 即 ,  
F是 Pc的 中点 时 ,   、   、   共 面. 又 F   平 面 
E C, 所 以 当 F是 棱 P C的 中 点 时 . 曰   /平 面 , 4 E C .  

9D 一 3’  


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