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2.3.1直线与椭圆


知识回顾
直线与圆的位置关系

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

问题2:怎么判断它们之间的位置关系?
几何法: d>r
d=r d<r

代数法: ?<0

?=0

?>0

知识回顾

>直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

通法

新课引入
直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系

种类:

相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

当直线平行于 ? mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0)
x、y轴,怎样!
两个交点 一个交点 无交点

△=n2 ? 4mp

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

相交 相切 相离

△=0 △? 0

直线与椭圆的位置关系 例1:已知直线y=x们的位置关系。 解:联立方程组
1 y ? x? 2 x2+4y2=2
消去y

1 2

与椭圆x2+4y2=2 ,判断它

5x ? 4x ? 1 ? 0
2

----- (1)

因为 ?>0

所以,方程(1)有两个根,

则原方程组有两组解。

直线与椭圆的位置关系【练】
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k = ? 当k> 6 时有一个交点 3 6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 ? ?1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 当? k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点
C.两个公共点

B.一个公共点
D.有公共点

数学归纳
?点P在椭圆(圆)外,过点 P的直线与椭圆(圆)有三 种位置关系;

?点P在椭圆(圆)上,过点P的直线与椭圆(圆) 有两种位置关系(相切或相交); ?点P在椭圆(圆)内, 过点P的直线与椭圆(圆) 有一种位置关系(相 交)。

变式训练
x2 y2 ? ?1 ? 1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 5 m
总有公共点,求m的取值范围。 2.若直线y=kx+1与椭圆

1? m ? 5

x2 y2 ? ?1 5 m

总有公共点,求m的取值范围。

m ? 1且m ? 5

[活学活用] x2 y2 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 5 +m=1 总有公共点, 求 m 的取值范围. kx+1, ? ?y= 解:由?x2 y2 消去 y,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, + = 1, ? ?5 m
∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). ∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0 对任意 k∈R 都成立. ∵m>0,∴5k2≥1-m 恒成立,∴1-m≤0,即 m≥1. 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴0<m<5,∴1≤m<5.

直线与椭圆的位置关系【例】
x2 y2 ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆上 例 3:已知椭圆 25 9 是否存在一点 ,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

直线与椭圆的位置关系【例】
x2 y 2 例3:已知椭圆 ? ? 1,直线l: 4 x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少? 解:设直线m平行于l,
则m可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0
o

x

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ?0
解得k1 =25,k 2 =-25

由图可知k ? 25.

直线与椭圆的位置关系【例】
x y 例3:已知椭圆 ? ? 1,直线l: 4 x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少? ?直线m为: 4 x ? 5 y ? 25 ? 0
o
2 2

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 2 最大距离 41 42 ? 5 40 ? 25

x

所以: d min ?

是多少? 15
41 41

dmax

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

弦长问题
[例 1] x2 y2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 + =1 的右焦点 F1,与 5 4

椭圆相交于 A,B 两点,求弦 AB 的长. x 2 y2 [解] 法一: ∵直线 l 过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点 F1(1,0), 且直

线的斜率为 2,∴直线 l 的方程为 y=2(x-1), x-y-2=0, ? ?22 即 2x-y-2=0.由方程组?x y2 ? ? 5 + 4 =1, 得交点
?5 4? A(0,-2),B?3,3?. ? ?

|AB|= ?xA-xB?2+?yA-yB?2 =
? 5?2 ? 4? 2 ?0- ? +?-2- ? = 3? ? 3? ?

125 5 9 =3 5.

法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), -y-2=0, ? ?2x 则 A,B 的坐标为方程组?x2 y2 的解. + 4 =1 ? 5 ? 5 消去 y 得,3x -5x=0,则 x1+x2=3,x1· x2=0.
2

∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2?1+k2 AB?
2 = ?1+k2 ? [ ? x + x ? AB 1 2 -4x1x2]



?1+2

2

?5?2 5 5 ??3? -4×0= 3 . ? ?

(2)求弦长的公式:设直线 l 的斜率为 k,方程为 y=kx+b,设 端点 A(x1,y1),B(x2,y2). 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+?kx1-kx2?2 = 1+k2 · ?x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2, 或 |AB| =
?1 1 ?2 ? y1- y2? +?y1-y2?2 k ? ?k



1 1+k2 · ?y1-y2?2 =

1 1+k2· ?y1+y2?2-4y1y2. 其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与 椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到.

x2 2 ? y ? 1 的右焦点, 例2:已知斜率为1的直线L过椭圆 4
交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a2 ? 4, b2 ? 1, c2 ? 3.

弦长公式【例】

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 5x2 ? 8 3x ? 8 ? 0
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

直线与椭圆的位置关系【练】
练习2已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

如果相交,那么相交所得的弦的弦长是多少? 解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

?>0

4 ? x1 ? x2 ? ? 由韦达定理 5 所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解 …. ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?
2 2 2 2

6 |AB| ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5

[活学活用] x2 y2 3 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,且椭圆与直线 x+2y+ 8=0 相交于 P,Q,且|PQ|= 10,求椭圆方程. 3 1 2 2 解:∵e= 2 ,∴b =4a .
∴椭圆方程为 x2+4y2=a2. 与 x+2y+8=0 联立消去 y,得 2x2+16x+64-a2=0, 5 由 Δ>0 得 a >32,由弦长公式得 10=4×[64-2(64-a2)].
2

∴a2=36,b2=9. x2 y2 ∴椭圆方程为36+ 9 =1.

弦长公式【例】

x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

解:∵椭圆

x y 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2 2

2

2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

中点弦问题
例3 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率
韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

中点弦问题
[例 3] x2 y2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段

的中点,求直线 l 的方程. [解] 法一:由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4),

而椭圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 8k?4k-2? 1 ∴ x 1 + x2 = =8,∴k=-2. 4k2+1 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4), 即 x+2y-8=0.

中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.


作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

[例 3]

x2 y2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段

的中点,求直线 l 的方程.

法二:设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? x + 4 y ? 1 1-36=0, ∴? 2 2 ? x + 4 y ? 2 2-36=0.

两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 1 又 x1+x2=8,y1+y2=4,∴ =-2, x1-x2 1 即 k=-2.∴直线 l 的方程为 x+2y-8=0.

中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ),
则有: 2x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 2 2 x y x1 y1 2 2 ? ?1 ? ? 1 2 2 a b a 2 b2
两式相减得:

b2 ( x12 ? x22 ) ? a2 ( y12 ? y12 ) ? 0

中点弦问题
由b2 ( x12 ? x22 ) ? a2 ( y12 ? y12 ) ? 0
y12 ? y12 b2 即 2 ?? 2 2 x1 ? x2 a ? k AB y1 ? y1 b2 x1 ? x2 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1

b2 x0 ?? 2 a y0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

例4、如图,已知椭圆 ax

2

? by ? 1 与直线x+y-1=0交
2

AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点, 2 斜率是 ,试求a、b的值。 2 ?ax 2 ? by 2 ? 1 y 2 消 y 得 :( a ? b ) x ? 2 bx ? b ? 1 ? 0 解:? ?x ? y ?1 ? 0 A
=4b2 -4(a ? b)(b ?1) ? 0 ? ab ? a ? b
M

b a 2b b ?1 ? AB中点M ( , ) ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? a?b a?b a?b a?b a 2 又 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k MO ? ? ?b ? 2a b 2 1 2 2b 2 b ?1 ?a ? ,b ? ?2 2 ? 2 ( ) ?4 a?b a?b 3 3

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

o
B

x

[类题通法] 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程 组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中 点坐标公式解决; (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标 分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系, x2 y2 具体如下:已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上 的两个不同的点,M(x0,y0)是线段 AB 的中点,

x y ? ?1 1、如果椭圆被 36 9 的弦被(4,2)平分,那

2

2

练习:
D

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0


D、x+2y-8=0

x y 2、y=kx+1与椭圆 5 ? m ? 1 恰有公共点,则m的范围

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 2 2

(C )

A、(0,1)

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )
16 5 _______

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线, 则弦长 |AB|= ,

练习: 4.已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.

x2 y 2 F (2, 0) 直线l:y ? x ? 2 解 : (1)椭圆 ? ?1 9 5 2 得: 14 x ? 36 x ? 9 ? 0 ?y ? x ? 2 由? 2 18 9 2 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?5 x ? 9 y ? 45 7 14 6 11 2 2 ?弦长 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
? A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 5x12 ? 9 y12 ? 45 2 2 2 2 两式相减得: ( 5 x ? x ) ? ( 9 y ? y ?0 1 2 1 2) 2 2 5x2 ? 9 y2 ? 45 5 y1 ? y2 5 x1 ? x2 ?? ? kMN ? ?? ? 9 x1 ? x2 9 y1 ? y2 5 ?以A为中点的弦为MN 方程为:y ? 1 ? ? ( x ? 1) 9

椭圆的弦所在的直线方程.

解 : (2)5 ?12 ? 9 ?12 ? 45

? 5x ? 9 y ? 14 ? 0

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

相交

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

巩固练习
x2 y2 1. 过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦 ,使弦被点 M 16 4 平分 ,求这条弦所在的直线方程 . x ? 2 y ? 4 ? 0 x2 y2 2. 椭圆 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 最大距离 16 4 10 是 ________. 3.已知椭圆的焦点 F1 (?3,0), F2 (3,0) 且和直线 x ? y ? 9 ? 0 有 公共点 ,则其中长轴最短的椭圆方程为 ______. 2 2

课外作 业!

x y ? ?1 45 36

x y 4:已知椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在直线 9 5 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为焦点, 通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.
分析:∵椭圆的焦点为 (?2,0),(2,0)

课外作 业!

巩固练习
2 2

关键是怎样求出椭圆的长轴大小.x ? y ? 1

2

2

20

16

x y 思考 3:已知椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在 9 5 直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为 焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.
解 : 椭圆的焦点为F1 (?2,0), F2 (2,0)

2

2

课外作 设F2 (2,0)关于直线x ? y ? 6 ? 0的对称点F ( x0 , y0 ) 业!

? y0 ? (?1) ? ?1 x0 ? 6 ? ? x ? 2 ? ? F (6, 4) 解得: ? 由? 0 y0 ? 4 ? x ? 2 y ? 0 ? 0 ?6 ? 0 ? ? 2 2 x2 y2 ? F1F ? 2a ? 4 5 ? 所求椭圆方程为: ? ?1 20 16 ?a ? 2 5 c ? 2 ? b ? 4

思维挑战题:
x y 试确定实数 m 的取值范围 , 使得椭圆 ? ?1 4 3 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对称的点.
1 分析:存在直线y ? ? x ? b与椭圆交与两点, 2 课外作 且两交点的中点在直线y ? 2 x ? m上。
2 2

业!

解 : 假设椭圆上存在关于直线y ? 2 x ? m对称的两点A, B
1 则AB两点的直线可设为:y ? ? x ? b 2

1 ? y ? ? x?b ? ? 2 由? 2 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4

消y得 : x2 ? bx ? b2 ? 3 ? 0
??2 ? b ? 2

? b2 ? 4(b2 ? 3) ? ?3b2 ? 12 ? 0 设两对称点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? b

1 3 y1 ? y2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2b ? b 课外作 2 2 业! b 3b AB中点( , )在直线y ? 2 x ? m上 2 4 3b b ? b ? ?4 m ? ? 2? ? m 4 2 1 1 ?? ? m ? ??2 ? ?4m ? 2 2 2

二.求椭圆的离心率的取值范围 x2 y2 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法1 : 利用曲线的范围 设P ( x , y ), 又F ( 0),F ( 0)则 , 1 ? c, 2 c, uuu r uuur F1 P ? ( x ? c,y ), F2 P ? ( x ? c,y ) uuu r uuur uuu r uuur 由?F1 PF2 ? 90?,知F1 P ? F2 P,则F1 P ? F2 P ? 0, 即( x ? c )( x ? c ) ? y 2 ? 0, 得x 2 ? y 2 ? c 2 , 与椭圆方程联立, 解得 a 2c 2 ? a 2b 2 2 2 x ? , 由 椭圆范 围及 ? F PF ? 90 ? , 知 0 ? x ? a 1 2 a 2 ? b2 a 2c 2 ? a 2b 2 即0 ? ? a 2 , 可得c 2 ? b 2,即c 2 ? a 2 ? c 2,且c 2 ? a 2 2 2 a ?b
2

从而得e ?

c 2 c 2 ? ,且e ? ? 1, 所以e ? [ , 1) a 2 a 2

x2 y2 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法 2 : 利用二次方程有实根 由椭圆的定义 :| PF1 | ? | PF2 |? 2a ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 || PF2 |? 4a 2 又由?F1 PF2 ? 90?,知 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1F2 |2 ? 4c 2 则可得 | PF1 |g | PF2 |? 2(a 2 ? c 2 ) 这样, | PF1 | 与 | PF2 | 是方程u 2 ? 2au ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0的两个实根,因此 c2 1 2 ? ? 4a ? 8(a ? c ) ? 0 ? e ? 2 ? ? e ? a 2 2
2 2 2 2

x2 y2 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法3 : 利用三角函数的有界性 记?PF1F2 ? ?,?PF2 F1 ? ?,由正弦定理有 | PF1 | | PF2 | | F1F2 | | PF1 | ? | PF2 | ? ? ? ?| F1F2 | sin ? sin ? sin 90? sin ? ? sin ? 又 | PF1 | ? | PF2 |? 2a, | F1F2 |? 2c,则有 c 1 1 1 ? ? ? ? ?? a sin ? ? sin ? 2 sin ? ? ? cos ? ? ? 2 cos 2 2 2 |? ? ? | 2 ? ?? 而由0 ?| ? ? ? |? 90?, 知0 ? ? 45? ? ? cos ?1 2 2 2 2 从而可得 ? e ? 1. 2 e?

x2 y2 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法 4 : 利用焦半径 由焦半径公式得: | PF1 |? a ? ex, | PF2 |? a ? ex 又由 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1F2 |2 ,所以有 a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? 4c 2 2c 2 ? a 2 即 a ? e x ? 2c , x ? e2 又点P (x,y)在椭圆上,且x ? ?a,则知0 ? x 2 ? a 2,即
2 2 2 2 2

2c 2 ? a 2 2 2 0? ? a , 得 e ? [ , 1) 2 e 2

x2 y2 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法5 : 利用基本不等式 由椭圆定义 : 2a ?| PF1 | ? | PF2 |, 平方后得 4a 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | ? 2(| PF1 |2 ? | PF2 |2 ) ? 2 | F1F2 |2 ? 8c 2 c2 1 2 得 2 ? , 所以有e ? [ , 1) a 2 2

x y 例2.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个焦点为F1, a b F2,若在椭圆上存在一点P,使PF1 ? PF2,求椭 圆的离心率的取值范围。
解法6 : 利用图形几何特征 由?F1 PF2 ? 90?知, 点P在以 | F1F2 |? 2c为直径的圆上, 又点P在椭圆上, 可知该圆与椭圆有公共点P , 故有c ? b ? c 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 , ? 2 ? 由此可得e ? ? , 1? ? ? 2 ?

2

2

x y 例4.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点 a b 为F1 , F2 ,点P 为椭圆上一点, 设?F1 PF2 =? . 求证:cos? ? 1 ? 2e 2 .
证明 : 在?F1 PF2中,cos? ? PF1 ? PF1 ? F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2

2

2

?

( PF1 ? PF2 )2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

4a 2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 2 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2 e . 2 2 2 PF1 PF2 2a ? PF1 ? PF2 ? 2? ? 2 ? ?
x2 y2 练习 : (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, P是椭圆上一点,且?F1 PF2 ? 600 , 求e的范围. a b x2 y2 ( 2)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, P是椭圆上一点,且?F1 PF2 ? 1200 , 求e的范围. a b x2 y2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, P是椭圆上一点,且?F1 PF2 ? 900 , 求e的范围. a b

x y 例5.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点 a b 为F1 , F2 ,点P 为椭圆上一点, 若?F1 PF2最大, 求证: P点为短轴的端点.
证法1 : 在?F1 PF2中,cos? ? PF1 ? PF1 ? F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2

2

2

?

( PF1 ? PF2 )2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

4a 2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . 2 2 2 PF1 PF2 2a ? PF1 ? PF2 ? 2? ? 2 ? ? 当且仅当: PF1 ? PF2 ,即P 在椭圆的短轴的端点时,cos? 取最小值. 由余弦函数的单调性可知,此时? 取最大值.

x y 例5.已知椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点 a b 为F1 , F2 ,点P为椭圆上一点, 若?F1 PF2最大, 求证: P点为短轴的端点.
证法 2 : 设P ( xo , yo ),由焦半径公式可知, PF1 ? a ? exo , PF1 ? a ? exo 在?F1 PF2中,cos? ? PF1 ? PF1 ? F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2

2

2

?

( PF1 ? PF2 )2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

4a 2 ? 4c 2 4b 2 ? ?1 ? ?1 2 PF1 PF2 2(a ? exo )(a ? exo ) 2b 2 ? 2 ?1 2 a ? e 2 xo
2 ?a ? x0 ? a ,? xo ? a2

当? ? (0, ? )时,cos ? 为减函数, ?当x0 ? 0时,cos? 取最小值 即当点P 在椭圆的短轴的端点时,? ? ?F1 PF2最大.

例6.已知椭圆的焦点是F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0), P为椭圆 上一点, 且 | F1F2 | 是 | PF1 | 与 | PF2 | 的等差中项. (1)求椭圆的方程; ( 2)若点P在第三象限, 且?PF1F2 ? 1200 , 求 tan ?FP1F2 .
x2 y2 证明 : (1) ? ? 1; 4 3 ( 2)设?F1 PF2 ? ? , 则?PF2 F1 ? 600 ? ? , 1 1 sin(180o ? ? ) e ? ,则 ? ? o o 2 2 sin120 ? sin(60 ? ? ) 整理得 : 5 sin ? ? 3 (1 ? cos ? ), 3 sin ? 3 ? 3 5 ?5 3 ? ? , 故 tan ? ,tan ?F1 PF2 ? tan ? ? 3 1 ? cos? 5 2 5 11 1? 25 2? sin ? 3 ? sin(60o ? ? ) 2 ,

x y 练习7 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, P是椭圆上一点, a b 0 且?F1 PF2 ? 60 , 求e的范围.
解法1 : 如图, 设?F1F2 P ? ? , 则?PF2 F1 ? 120 ? ? , sin ?F1 PF2 ?e ? sin ?F1F2 P ? sin ?PF1F2 sin 600 ? sin ? ? sin(120 ? ? ) 1 1 ? , 0 2 sin(? ? 30 ) 2 1 ? ? e ?1 2

2

2

x y 练习7 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, P是椭圆上一点, a b 0 且?F1 PF2 ? 60 , 求e的范围.
解法2 : 如图, 在?PF1F2中,由余弦定理, 有 4c 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 |g | PF2 | cos 600 ? (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? 3 | PF1 |g | PF2 | Q| PF1 | ? | PF2 |? 2a , ? 4a 2 ? 4c 2 ? 3 | PF1 |g | PF2 | ? | PF1 | ? | PF2 | ? 2 ? 3? ? 3 a ? 2 ? ? 1 2 2 即a ? 4c ,? ? e ? 1 2
2

2

2

uuuu r uuuu r x y 练习8 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, 满足 MF1 gMF2 a b ? 0的点M 总在椭圆内, 求e的范围.
2 2

uuuu r uuuu r 解 : 如图, Q MF1 gMF2 ? 0 以F1F2为直径作圆,由题意可知, 此圆在椭圆内部,? c ? b, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 ?0 ? e ? 2 2

x2 y2 练习9 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, 斜率为1, 且 a b uur uuu r 过右焦点F的直线交椭圆于A, B两点, OA ? OB r 与a ? (3, ?1)共线, 求e .
解法1 : 如图, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 由? ?y ? x ?c ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2 b 2 ? 0 2a 2 c 2a 2 c ?2b 2 c x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2 ? 2c ? 2 2 2 a ?b a ?b a ? b2 uur uuu r r Q OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )与a ? (3, ?1)共线, 6 ??( x1 ? x2 ) ? 3( y1 ? y2 ) ? a ? 3b ? e ? 3
2 2

x2 y2 练习9 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, 斜率为1, 且 a b uur uuu r 过右焦点F的直线交椭圆于A, B两点, OA ? OB r 与a ? (3, ?1)共线, 求e .
uuu r uur uuu r 解法 2 : 如图, 设AB的中点为N , 则2ON ? OA ? OB ? x12 y 2 ? 2 ?1 ? y1 ? y2 b 2 x1 ? x2 ? a2 b 由? 2 , 两式相减得: ? ? 2g , 2 x ? x a y ? y 1 2 1 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 2 ? b ?a uur uuu r r Q OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )与a ? (3, ?1)共线, ? ?( x1 ? x2 ) ? 3( y1 ? y2 ) b2 6 ?1 ? ? 2 g( ?3) ? a 2 ? 3b 2 ? e ? a 3

x y 练习10 : 以椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的右焦点F2为圆 a b 心作圆, 使该圆过椭圆的中心, 并与椭圆交于M , N 两 点, 椭圆的左焦点为F1 , 直线MF1与圆相切, 求e .
解法 : 如图,由已知, | MF2 |? c ,?| MF1 |? 2a ? c 在Rt ?MF1F2中,| F1F2 |? 2c ? ( 2a ? c )2 ? c 2 ? ( 2c )2 ? e ? 3 ?1

2

2

x y 练习11 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的四个顶点为A, B , a b C , D, 若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点, 求e .
解法 : 如图,内切圆的圆心为原点, 半径为c , 且等于Rt ?AOB斜边上的高, 由面积关系可得 : ab ? r a 2 ? b 2 ? c a 2 ? b 2 5 ?1 ?e? 2

2

2

x y 练习12 : 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的四个顶点为A1 , a b A2 , B1 , B2 , F 为其右焦点, 直线A1 B2与直线B1F 交于T , 线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点, 求e .
解 : 如图, 直线A1B2的方程为 : 直线B1F的方程为 : x y ? ? 1, ?a b x y ? ? 1, c ?b ? 2ac b(a ? c ) ? 联立得T ? , ? ?a?c a ?c ? ? ac b(a ? c ) ? 则M ? , ? 在椭圆上, ? a ? c 2(a ? c ) ? ( a ? c )2 ? c ? ?? ? ?1 ? 2 ? a ? c ? 4(a ? c ) ? c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0 ? e ? 2 7 ? 5
2

2

2

练习 : 1.已知x , y满足方程x ? 4 y ? 1, 求3 x ? 4 y的
2 2

最大值. x 2 2.已知斜率为1的直线过椭圆 ? y ? 1的右焦 4 点, 且与椭圆交于A, B两点, 求弦AB的长. 3.过椭圆4 x ? 9 y ? 36内一点M ?1,1?引一条弦,
2 2 2

使弦被点M 平分, 求这条弦所在的直线方程.

七.椭圆中的综合问题
例1.作业本P 23, T11 已知椭圆C的中心在原点, 焦点在x轴上, 椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3, 最小值为1. (1)求椭圆C的方程; ( 2)若直线y ? kx ? m与椭圆C 交于A, B两点 (不同于左右顶点), 且以AB为直径的圆恰好 过椭圆的右顶点.求证 : 直线l 过定点, 试求出 定点的坐标.

x2 y2 解 : (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1,由题设 : a ? c ? 3.a ? c ? 1,? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3 a b x2 y2 ? 椭圆方程为 : ? ?1 4 3 ( 2)将y ? kx ? m代入椭圆方程, 整理得 : (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8km ? x ? 4m 2 ? 12 ? 0 8km 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 4m 2 ? 12 ①, x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ②,

设右顶点为M ( 2, 0),由题设可知 : MA MB ? 0,? ( x1 ? 2, y1 ) ( x2 ? 2, y2 ) ? 0 即(1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( km ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4 ? m 2 ? 0 将①,②代入并整理得 : 7 m 2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 2 解得 : m ? ?2k或m ? ? k , 7 2 2 所以直线方程为 : y ? k ( x ? )或y ? k ( x ? 2) (舍去), 定点为( , 0) 7 7

x y 例2.点A, B分别是椭圆 ? ? 1长轴的左, 右端点, 36 20 点F 是椭圆的右焦点,点P在椭圆上, 且位于x轴的上 方, PA ? PF . (1)求点P的坐标; ( 2)设M 是椭圆长轴AB上的一点, M 到直线AP的距离 等于 | MB |, 求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

2

2

解 : (1)由已知可得A( ?6, 0), F ( 4, 0), 设点P ( x , y ), 则 AP ? ( x ? 6, y ), FP ? ( x ? 4, y ) ? x2 y2 ?1 3 ? ? ? ? 36 20 ? 2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, ? x ? 或x ? ?6 2 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 5 ?3 5 ? y ? 0,? 取x ? , 此时y ? 3 ,即P ? , 3? 2 2 ?2 2 ? ( 2)直线AP的方程是 : x - 3 y ? 6 ? 0, 设点M的坐标是( m , 0), |m ?6| |m ?6| 则M 到直线AP的距离是 , 于是, ?| m ? 6 |, 又 ? 6 ? m ? 6,? m ? 2, 2 2 设椭圆上的点( x , y )到点M的距离为d , 则 5 4 9 d ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? )2 ? 15 9 9 2 9 ?当x ? 时, d 取最小值 15 2

x2 y2 例4.如图,已知椭圆C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的焦点和上 a b 顶点分别为F1 , F2 , B , 我们称?F1BF2为椭圆C的特征三 角形.若两个椭圆的特征三角形相似, 则称这两个椭圆 是“相似椭圆”.三角形的相似比即为椭圆的相似比.
2 2 x2 x y (1)已知椭圆C1 : ? y 2 ? 1 和C 2 : ? ? 1, 判断C1和C 2 4 16 4 是否相似, 若相似, 则求C1和C 2的相似比; 若不相似, 说明

理由; ( 2)写出与椭圆C1相似, 且短轴长为b的椭圆C b的方程, 并列举相似椭圆之间的三种性质(不需要证明). (3)已知直线l : y ? x ? 1, 在椭圆C b上是否存在两点M , N 关于直线l 对称 ? 若存在, 求出函数f (b ) ?| MN | 的解析式.

1 解 : (1)相似, 相似比为 ; 2 ( 2)对椭圆C1 : 其长半轴a1 ? 2, 短半轴长b1 ? 1, 设椭圆C b的长半轴与短半轴分别为a , b, a b x2 y2 则由 ? ? a ? 2b,? C b : 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 2 1 4b b 两个相似椭圆之间的性质有: ①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方; ②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似, 相似 比即为椭圆的相似比; ③两个相似椭圆被同一条直线所截得线段的中点重合 ④过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭 圆的相似比;

(3)假设点M , N 存在, 设MN 所在直线为y ? ? x ? t , MN 的中点为D( x0 , y0 ), ? y ? ?x ? y ? 则 ? x2 , 得5 x 2 ? 8tx ? 4( t 2 ? b 2 ) ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b x ? x2 4t t 5 ? x0 ? 1 ? , y0 ? , Q 中点在直线y ? x ? 1上,? t ? ? , 2 5 5 3 由? ? 63t 2 ? 80( t 2 ? b 2 ) ? 0 ? b ? 即当b ? 5 3

5 时, 满足条件的点M , N 存在.则 3
2

1 ? 40 ? 4 25 ? 100 2 ? 2 | x1 ? x2 |? ? 20 ? 4 b ? 5 b ? ? ? 9 ? 5 5 ? 9 ? 3 ? ? ? f (b ) ?| MN |? 2 | x1 ? x2 |? 4 50 10b 2 ? 5 9 (b ? 5 ) 3

巩固练习
2 2

x y 例1.已知直线l : y ? kx ? 1和椭圆 ? ? 1相 4 2 交于A, B两点, 按下列条件, 求直线l的方程 : (1)以AB为直径的圆过原点; uur 1 uur ( 2)直线l与y轴交于点P , 使 PA ? ? PB . y 2
A
P

F1

o

F2

B

x

例2.直线l:x ? y ? 9 ? 0上任一点P , 过点P且以 x y 椭圆 ? ? 1的焦点为焦点作椭圆, 求所作 12 3 的椭圆中长轴最短的椭圆方程.
y F' 1 P y=x+9

2

2

??

F1

O1

F2

x

x y 思考 : 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的两个 a b 焦点为F1,F2,P是椭圆上的动点,当P 位 于何处时, ?F1 PF2最大。

2

2

练习 : x y 已知点A ?1, 2 ? 在椭圆 ? ?1 内, 16 12 焦点F ? 2, 0 ? , 在椭圆上求一点P , 使 | PA | ?2 | PF | 最小.
2 2

x y 例3.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)与直线x ? y ? 1 a b 交于P , Q两点, 且OP ? OQ , 其中O为坐标原点. 1 1 (1)求 2 ? 2 的值; a b 3 2 ( 2)若 ?e? , 求长轴的取值范围. 3 2

2

2

x y 练习 : 椭圆 ? ? 1的焦点为F1,F2,点P为 9 4 其上动点,当?F1 PF2是钝角时, 求点P 横坐标的 取值范围.

2

2


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