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【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)中档题目强化练概率专项基础训练


中档题目强化练——概率
A 组 专项基础训练 一、选择题 1.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出的是理科书的概率为 ( 1 A. 5 答案 C 解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、B、 C、D、E 是彼此互斥的,取到理科书的概率为事件 B、D、E 的概率的和,即 P(B∪D∪E) 1 1 1

3 =P(B)+P(D)+P(E)= + + = .故选 C. 5 5 5 5 2.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,从中任取一根,取到长度超过 30 mm 的纤 维的概率是 3 A. 4 答案 B 解析 在 40 根纤维中,有 12 根的长度越过 30 mm,即基本事件总数为 40,所求事件包 12 3 含 12 个基本事件,且它们是等可能发生的,因此所求事件的概率为 P= = ,故选 B. 40 10 3.设集合 P={b,1},Q={c,1,2},P?Q,b、c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则 b=c 的概率为( 1 1 1 3 A. B. C. D. 8 4 2 4 答案 C 解析 因为 P?Q,所以当 b=2 时,c 可以取 3,4,5,6,7,8,9 中任意一个数,共 7 种情况, 7 1 当 b=c 时,c 可以取 3,4,5,6,7,8,9 中任意一个数,共 7 种情况.所以所求概率为 = . 7+7 2 4. 如图所示, 在一个边长为 2 的正方形中随机撒入 200 粒豆子, 恰有 120 粒落在阴影区域内, 则该阴影部分的面积约为( 3 12 A. B. 5 5 6 18 C. D. 5 5 答案 B 120 3 S 3 解析 豆子落在阴影区域内的概率是 = ,设阴影部分的面积为 S,则 = ,解得 200 5 S正方形 5 12 S= ,故选 B. 5 5.设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程 x2+ax+2=0 有两个不相等的实数根的概率 ) ) ( 3 B. 10 2 C. 5 D.以上都不对 ) 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5 )

1

为 2 A. 3 答案 A 二、填空题

( 1 B. 3 1 C. 2 5 D. 12

)

π π? 1 6.在区间? ?-2,2?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到2之间的概率为________. 1 答案 3 π π 1 解析 ∵- ≤x≤ ,而 0≤cos x≤ , 2 2 2 π π π π 故- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 3 3 2 1 ∴根据几何概型的概率公式得所求概率为 . 3 ? - 1 ≤x≤2 ? 7.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组? 表示的平面区域为 W,从 W 中随机取 ?0≤y≤2 ? 点 M(x,y).若 x∈Z,y∈Z,则点 M 位于第二象限的概率为________. 1 答案 6 解析 画出平面区域,列出平面区域内的整数点如下:(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0), (0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共 12 个,其中位于第二象限的有 1 (-1,1),(-1,2),共 2 个,所以所求概率 P= . 6 8.我们把日均收看体育节目的时间超过 50 分钟的观众称为“超级体育迷”.已知 5 名“超 级体育迷”中有 2 名女性,若从中任选 2 名,则至少有 1 名女性的概率为________. 7 答案 10 解析 用 ai 表示男性,其中 i=1,2,3,bj 表示女性,其中 j=1,2.记“选出的 2 名全都是男 性”为事件 A, “选出的 2 名有 1 名男性 1 名女性”为事件 B, “选出的 2 名全都是女性” 为事件 C,则事件 A 包含(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共 3 个基本事件,事件 B 包含(a1, b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 个基本事件,事件 C 包含(b1, b2),共 1 个基本事件.事件 A,B,C 彼此互斥,事件至少有 1 名女性包含事件 B 和 C, 6+1 7 所以所求事件的概率为 = . 3+6+1 10 三、解答题 9.一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机取出 1 球, 求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (利用互斥事件求概率)

记事件 A1={任取 1 球为红球},A2={任取 1 球为黑球},
2

A3={任取 1 球为白球},A4={任取 1 球为绿球}, 5 4 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= , 12 12 12 12 根据题意知,事件 A1、A2、A3、A4 彼此互斥, 由互斥事件的概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = . 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4) 2 1 3 =1- - = . 12 12 4 (2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4, 所以取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 1 11 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- = . 12 12 10.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教 师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. 解 (1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女

教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B, D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共 9 种. 从中选出的两名教师性别相同的结果有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)共 4 种. 4 故选出的两名教师性别相同的概率为 P1= . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A, E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D, F),(E,F)共 15 种. 从中选出的两名教师来自同一学校的结果有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F), (E,F)共 6 种.
3

6 2 故选出的两名教师来自同一学校的概率为 P2= = . 15 5 B 组 专项能力提升 1.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是 1 A. 5 答案 C 解析 从盒中的 10 个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为 10, 其中抽到合格铁钉 8 4 (记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以所求的概率为 P(A)= = .故选 C. 10 5 2.四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随机取一 点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π π π A. B.1- C. 4 4 8 答案 B 解析 对应长方形的面积为 2×1=2, 而取到的点到 O 的距离小于或等于 1 时, 其区域是 1 π 2 1 1 以 O 为圆心,半径为 1 的半圆,对应的面积为 ×π×12= π,那么所求的概率为 1- = 2 2 2 π 1- ,故选 B. 4 2x-y+2≥0, ? ? 3.已知 x∈[-1,1],y∈[0,2],则点 P(x,y)落在区域?x-2y+1≤0 ? ?x+y-2≤0 答案 3 8 内的概率为________. ( π D.1- 8 ) ( 1 B. 4 4 C. 5 1 D. 10 )

1 解析 不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为 ×3×2 2 1 3 3 - ×3×1= ,则所求概率为 . 2 2 8 4.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 S 的概率为________. 4 3 答案 4 解析 如图, 1 S 当 BM= BA 时,△MBC 的面积为 ,而当 P 在 M、A 之间运动时,△PBC 4 4 3 AB 4 S 3 S 3 的面积大于 ,而 MA= AB,则△PBC 的面积大于 的概率 P= = . 4 4 4 AB 4 5.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从 一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分
4

布表如下: X f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日 用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取 出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 解 (1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,

即 a+b+c=0.35. 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 3 所以 b= =0.15. 20 2 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1. 20 从而 a=0.35-b-c=0.1. 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结果为{x1,x2},{x1,x3},{x1, y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}. 设事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含 的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共 4 个. 又基本事件的总数为 10, 4 故所求的概率 P(A)= =0.4. 10

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