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教材: 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

时间:2013-01-04


教材: 绝对值不等式与一元二次不等式练习课 目的: 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程: 一、复习:绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题: 例 1、解不等式
2 ? 1? 3 ? 5x 4

3 ? 5x 3 ? 5x ? 2 和② 1 ? ? ?2 4 4 9 7 解①: x ? ? 解②: x ? 5 5 7 9

7 9 ∴原不等式的解集是{x| x ? ? }∪{x| x ? }={x| x ? ? 或 x ? } 5 5 5 5 2 ? 5x 1 5 ? ? 例 2、解不等式 3 4 6 5 2 ? 5x 1 5 解:原不等式可化为: ? ? ? ? ? ?10 ? ?20x ?11? 10 6 3 4 6 1 21 1 21 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x? ?x? 20 20 20 20

解:原不等式可化为:① 1 ?

或解:原不等式化为

5 ? 2 ? 5x 1 ? 3 ?4 ??6 ? 2 ? 5 x 1 5 (略) ? ? ? 4 6 ? 3
2x ? 3 ?1 ? a

例 3、解关于 x 的不等式

(a?R)
a?4 a?2 ?x? 2 2

解:原不等式可化为: 2x ? 3 ? a ? 1 当 a+1>0 即 a>?1 时 当 a+1≤0 即 a≤?1 时 当 a≤?1 时 解集为 ? 例 4、解不等式
2 ? 1 ? 4x ? 7

?(a+1)<2x+3<a+1 解集为 ?

??

∴当 a>?1 时 原不等式的解集是 {x| ?

a?4 a?2 }; ?x? 2 2

解一:原不等式可化为: 2 ? 4 x ? 1 ? 7
1 3 ? ? x ? ? 4 或x ? 4 ?? 3 ? ? ?x?2 2 ? 1 ? ?4 x ? 1当x ? 4 时 解二: ∵ 1 ? 4 x ? ? 1 ?1 ? 4 x当x ? 时 4 ? (下略)

? 4x ?1 ? 2 ? ? ? 4x ?1 ? 7 ?

??

3 1 3 ?x?? 或 ?x?2 2 4 4
? 1

∴ Ⅰ: ? x ? 4 ?

?2 ? 4 x ? 1 ? 7 ?

Ⅱ: ? x ? 4 ?

?

1

?2 ? 1 ? 4 x ? 7 ?

解三:原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集:2≤1?4x<7 2≤?(1?4x)<7 (下略)

例 5、解不等式

|x+2| + |1?x|<x?4

解:原不等式即为 |x+2| + |x?1|<x?4 Ⅰ: ? ?? x ? 2 ? 1 ? x ? x ? 4 Ⅱ: ? ?x ? 2 ? 1 ? x ? x ? 4
? x ?1 ?? 2 ? x ? 1 ? x ? ?2

?? ? ?1<x<1

Ⅲ: ? ? 1≤x<3 ?x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 4 ∴ 原不等式的解集为:{x|?1<x<3} 例 6、解下列不等式: ① 3-6x-2x2<0 解:整理得 2x2+6x-3<0 用求根公式求根得解集{x| ② (x-1)(3-x)<x(x+1)+1 解:整理得 2x2?3x+4>0 ③
2x ? 5 ?1 3x ? 1

? 3 ? 15 ? 3 ? 15 } ?x? 2 2

∵ ? ? ?23? 0

∴不等式解集为 R

x?4 1 ? 0 不等式解集为{x|x≤-4 或 x> } 3x ? 1 3 ? 3x ? 1 ? 0 ? 3x ? 1 ? 0 或解:取并集 ? ? ?2 x ? 5 ? 3x ? 1 ?2 x ? 5 ? 3x ? 1 2 ④ 0≤x -2x-3<5

解:移项,通分,整理得

解:原不等式的解集为下面不等式组的解集
? ?x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ? 2 ?x ? 2x ? 5 ? 5 ?
? x ? ?1或x ? 3 ?? ? ?2? x ? 4 {x|-2<x≤-1 或 3≤x<4}

∴原不等式的解集为

例 7、已知 U=R 且 A={x|x2-5x-6<0} B={x| |x-2|≥1} 求: 1)A∩B 2)A∪B 3)(CuA)∩(CuB) B={x|x≤1 或 x≥3} A∪B=R

解:A={x|-1<x<6}

A∩B={x|-1<x≤1 或 3≤x<6} CuA={x|x≤-1 或 x≥6} Cu(A∪B)= ?

CuB={x|1<x<3}

∴(CuA)∩(CuB)= {x|x≤-1 或 x≥6}∪{x|1<x<3}=? 也可求 (1-a)x2+4ax-(4a+1)>0

例 8、解关于 x 的不等式

(a?R)
5 4

解:1 当 1-a=0 即 a=1 时 原不等式化为 4x-5>0 x> 2 当 1-a>0 即 a<1 时 (1)当 ?
? a ?1 ?3a ? 1 ? 0

∵ ? =4(3a+1)
1 3

即 ? ? a ? 1时 ? >0

? ? 1 (2)当 a= ? 时 ? =0 原不等式化为 4x2-4x+1>0 即 (2x-1)2>0 3 1 此时原不等式的解集是 {x?R|x? } 2 1 (3)当 a< ? 时 ? <0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为 R 3

此时原不等式的解集是 ?x | x ? ?

?

? ? 2a ? 3a ? 1 ? 2a ? 3a ? 1 ? 或x ? ? 1? a 1? a ? ?

3 当 1-a<0 即 a>1 时 原不等式可化为 (a-1)x2-4ax+(4a+1)<0 这样 a-1>0 这时 ? =4(3a+1)>0 此时原不等式的解集为: ? x | ?
?

用求根公式求得:
? 2a ? 3a ? 1 2a ? 3a ? 1 ? ?x? ? a ?1 a ?1 ? ?

? ? 1 综上可得:当 a<- 时原不等式解集为 R 3 1 1 当 a=- 时原不等式解集为{x?R|x? } 2 3 ? ? 2a ? 3a ? 1 ? 2a ? 3a ? 1 ? 1 ? 当 ? ? a ? 1时原不等式解集为 ?x | x ? 或x ? ? ? 1? a 1? a 3 ? ? ? ? 5 当 a=1 时原不等式解集为{x| x> } 4 ? 2a ? 3a ? 1 2a ? 3a ? 1 ? ? 当 a>1 时原不等式解集为 ? x | ?x? ? ? a ?1 a ?1 ? ? ? ?

例 9、已知 A={x| |x-a|≤1} B={x| 解:化简 A={a-1≤x≤a+1} 由

x 2 ? x ? 30 ? 0 }且 x?3

A∩B=? 求 a 的范围。

x 2 ? x ? 30 ( x ? 6)( x ? 5) ?0 ≥0 ? x?3 x ?3 B={x|-5≤x<3 或 x≥6}

介绍“标根法”
?a ? 1 ? 3

要使 A∩B=? 必须满足 a+1<-5 或 ? ?a ? 1 ? 6 ∴ 满足条件的 a 的范围是 a<-6 或 4≤a<5

即 a<-6 或 4≤a<5

例 10、 (1)若不等式 (1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}, 求 a 的值; (2)若-3<x<1 时 (1-a)x2-4x+6>0 成立, 求 a 的取值范围。
? 4 ? ?3 ? 1 ? ?2 ? 解: (1)由题设可知 1-a<0 ? ?1 ? a 6 ? ? ?3 ?1 ? ?3 ?1? a 2

?a ?3

(2)设 y=(1-a)x -4x+6
1 3

1。当 1-a>0 即 a<1 时 抛物线开口向上 当 a< 时 ? <0 解集为 R
1 3

? =24a-8

-3<x<1 自然成立
?4 2 ? ? 3而 2(1 ? a ) 1 ? a

当 <a<1 时 ? >0 此时对称轴 x=1 3

x=1 时 y=3-a>0

由图象可知: -3<x<1 时都有 y>0 当 a= 时 ? ? 0 这时对 x?3 都有 y>0 故-3<x<1 时 不等式成立

∴ a<1 时 若-3<x<1 不等式(1-a)x2-4x+6>0 都成立

2 当 a=1 时不等式为-4x+6>0 对于-3<x<1 时 即-4x+6>0 成立



2<-4x+6<18

3。当 a>1 时 1-a<0 抛物线开口向下 要使-3<x<1 时(1-a)x2-4x+6>0 成立 必须
a ?1 ? ? ? x ? ?3时y ? 0 ? x ? 1时y ? 0 ? a ?1 ? ? ? ?9(1 ? a ) ? 18 ? 0 ? (1 ? a ) ? 2 ? 0 ?

?1 ? a ? 3

综上:若-3<x<1 时(1-a)x2-4x+6>0 成立,则 a 的取值范围是 a≤3


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