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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的数量积


平面向量的数量积
一、选择题( 每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·德州模拟)已知向量 a=(1,2),b=(x,4),若向量 a⊥b,则 x=( (A)2 (B)-2 (C)8 (D)-8 2.(2012·鞍山模拟)已知 A, B, C 为平面上不共线的三点, 若向量 AB =(1,1), n=(1, -1), 且 n· AC =2,则 n· BC 等于(

(A)-2 (B)2 (C)0 (D)2 或-2 3.(2012·大连模拟)已知 a=(x,x),b=(x,t+2),若函数 f(x)=a·b 在区间[-1,1]上不 是单调函数,则实数 t 的取值范围是( (A)(-∞,-4] (C)(-4,0) (B)(-4,0] (D)(0,+∞) ) )

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4.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则 AB · BC 的值为( (A)9 (B)-9 (C)12 (D)-12

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)

5.已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量 a+b +c 与向量 a 的夹角为( (A) 30° ) (D)150°

(B)60° (C)120°

6.(2011·新课标全国卷)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题 2π 2π P1:|a+b|>1?θ ∈[0, ), P2:|a+b|>1?θ ∈( ,π ], 3 3 π P3:|a-b|>1?θ ∈[0, ), 3 其中的真命题是( (A)P1,P4 (B)P1,P3 (C)P2,P3 (D)P2,P4 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k = . ) π P4:|a-b|>1?θ ∈( ,π ], 3

8.(2012·东营模拟)已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,则|a-2b| 等于 . .

9.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λ a +b 与 a 垂直,则 λ =

三、解答 题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λ b 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范 围. 1 3 11.(2012·济南模拟) 已知平面向量 a =( 3,-1),b=( , ), 2 2 (1)若存在实数 k 和 t,满足 x=(t+2)a+(t -t-5)b,y=-k a+4b 且 x⊥y,求出 k 关于 t 的关系式 k=f(t); (2)根据(1)的结论,试求出函数 k=f(t)在 t∈(-2,2)上的最小值. 【探究创新】 (16 分)在△ABC 中,满足 AB 与 AC 的夹角为 60°,M 是 AB 的中点, (1)若| AB |=| AC |,求 AB + 2AC 与 AB 的夹角的余弦值; (2)若| AB |=2,| BC |=2 3,在 AC 上确定一点 D 的位置,使得 DB · DM 达到最小,并 求出最小值.
2

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答案解析 1 .【解析】选 D.∵a=(1,2),b=(x,4), 且 a⊥b, ∴a·b=0 即(1,2)·(x,4)=0, ∴x+8=0,∴x=-8 2.【解析】选 B.n· BC =n·( AC - AB )=n· AC -n· AB =2-0=2. 3.【解析】选 C.∵f(x)=a·b=x +(t+2)x, t+2 ∴f′(x)=2x+(t+2),令 f′(x)=0 得 x=- , 2 又 f(x)在[-1,1]上不单调, t+2 ∴-1<- <1, 2 即-4<t<0. 4.【解析】选 B.如图所示, BC= AB -AC =3, BC 3 cosB= = , BA 5
2 2 2

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∴ AB · BC =- BA · BC =-| BA |·| BC |cosB 3 =-5×3× =-9. 5 5.【解题指南】先求( a+b+c)·a 和|a+b+c|,再利用向量夹角公式求余弦值,进而求角. 【解析】选 D.由已知得 (a+b+c)·a 3 2 =a +a·b+a·c=1+2cos 120°+3cos120°=- , 2 |a+b+c|= (a ? b ? c) 2 = a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc
2 2 2

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= 1+4+9+4cos120°+6cos120°+12cos120° = 3. 设向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为θ , 3 - 2 3 (a + b + c) ? a 则 cosθ = = =- ,即θ =150°,故向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为 2 3 | a + b + c || a | 150°. 6.【解题指南】|a+b|>1?(a+b) >1,|a-b|>1?(a-b) >1,将(a+b) ,(a-b) 展开 并化成与θ 有关的式子,解不等式,得θ 的 取值范围. 【解析】选 A.|a+b|>1?(a+b) >1,而(a+b) =a +2a·b+b =2+2cosθ >1, 1 2π π 2 ∴cosθ >- ,解得θ ∈[0, ),同理,由|a-b|>1?(a-b) >1,可得θ ∈( ,π ]. 2 3 3 7.【解题指南】向量 a+b 与向量 ka-b 垂直?(a+b)·(ka-b)=0,展开用数量积公式求得 k 的值. 【解析】∵(a+b)⊥(ka-b), ∴( a+b)·(ka-b)=0, 即 ka +(k-1)a·b-b =0,(*) 又∵a,b 为两不共线的单位向量, ∴(*)式可化为 k-1=-(k-1)a·b, 若 k-1≠0,则 a·b=-1,这与 a, b 不共线矛盾; 若 k-1=0,则 k-1=-(k-1)a·b 恒成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

综上可知,k=1 时符合题意. 答案:1 1 8.【解析】∵〈a,b〉=60°,∴cos〈a,b〉=cos60°= , 2 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2×1×cos60°=1, |a-2b|= | a ? 2b |2 = (a ? 2b) 2 = a ? 4ab ? 4b = | a |2 ?4ab ? 4 | b |2
2 2

= 4-4+4= 4=2. 答案:2 9.【解析】由已知,λ a+b=( λ +4,-3λ -2), ∵λ a+b 与 a 垂直, ∴(λ a+b)·a=1×(λ +4) -3×(-3λ -2)=0, 即 10λ +10=0, ∴λ =-1. 答案:-1 10.【解题指南】a 与 a+λ b 的夹角为锐角?a·( a+λ b)>0 且 a 与 a+λ b 不共线. 【解析】∵a 与 a+λ b 均为非零向量,且夹角为锐角, ∴a·(a+λ b)>0,即(1,2)·(1+λ ,2+λ )>0, 5 ∴(1+λ )+2(2+λ )>0,∴λ >- , 3 当 a 与 a+λ b 共线时,存在实数 m,使 a+λ b=ma, 即(1+λ ,2+λ )=m(1,2),
?1+λ =m ? ∴? ? ?2+λ =2m

,∴λ =0,

5 即当λ =0 时,a 与 a+λ b 共线,综上可知,λ >- 且λ ≠0. 3 π 【误区警示】 探究向量的夹角时首先要共起点, 其次范围是[0, π ], a· b>0?夹角为[0, ), 2 π 而本题中锐角为(0, ),不含 0,故 需注意讨论 a 与 a+λ b 共线时是否为同向. 2 11.【解析】(1)由题意知 a·b=0,且|a|=2,|b|=1, ∴x·y=-(t+2)·k·(a) +4(t -t-5)·(b) =0,
2 2 2

t -t-5 ∴k=f(t)= (t≠-2). t+2 t -t-5 1 (2)k=f(t)= =t+2+ -5, t+2 t+2 ∵t∈(-2,2),∴t+2>0, 1 则 k=t+2+ -5≥-3, t+2 当且仅当 t+2=1,即 t=-1 时取等号,∴k 的最小值为-3. 【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧 (1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法;(2)熟记公式 a·a=a =|a| ,易将向量 问题转化为实数问题. 【变式备选】△ABC 中,满足: AB ⊥ AC ,M 是 BC 的中点. (1)若 | AB |=| AC |,求向量 AB +2 AC 与向量 2 AB + AC 的夹角的余弦值; (2)若 O 是线段 AM 上任意一点,且| AB |=| AC |= 2,求 OA · OB + OC · OA 的最小 值. 【解析】(1)设向量 AB +2 AC 与向量 2 AB + AC 的夹角为θ ,| AB |=| AC |=a, ∵ AB ⊥ AC ,| AB |=| AC |, ∴( AB +2 AC )·(2 AB + AC )=2 AB +5 AB · AC +2 AC =4a ,
2 2 2 2

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| AB +2 AC |= (AB ? 2AC)

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= AB ? 4AB ? AC ? 4AC = 5a, 同理可得|2 AB + AC |= 5a,

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (AB ? 2AC)(2AB ? AC) 4a2 4 ? ??? ? ??? ? ??? ? = 2= . ∴cosθ = ??? | AB ? 2AC || 2AB ? AC | 5a 5
(2)∵| AB |=| AC |= 2,∴| AM |=1. 设| OA |=x,则| OM |=1-x,而 OB + OC =2 OM , ∴ OA ·( OB + OC )=2 OA · OM =2| OA || OM |cosπ 1 2 1 2 =-2x(1- x)=2x -2x=2(x- ) - 2 2

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???? ??? ? ??? ? 1 1 当且仅当 x= 时, OA ·( OB + OC )的值最小,为- . 2 2
【探究创新】

??? ? ??? ? ???? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? a +a (AB ? 2AC) ?AB ? ??? ? ??? ? = 【解析】 (1)设| AB |=| AC |= a, cos 〈 AB +2 AC , = ??? AB 〉 2 7a ·a | AB ? 2AC | ? | AB |
= 2 7 . 7

(2)因为〈 AB , AC 〉=60°,| AB |=2,| BC |=2 3,由余弦定理可得:| AC |=4,M 是 AB 的中点,所以| AM |=1,因为 D 是 AC 上一点,设| AD |=x,则| DC |=4-x,所以

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??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? DB · DM =( DA + AB )·( DA + AM )= DA 2+ DA · AM + AB · DA + AB · AM
1 1 3 3 2 23 3 3 2 2 =x - x- ×2x+2=x - x+2=(x- ) + ,所以当 x= ∈(0,4),即 D 距 A 点 处时 2 2 2 4 16 4 4

??? ? ???? ? 23 DB · DM 取到最小值,且最小值为 .
16


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