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第29届全国中学生物理竞赛复赛试题(Word版)


第 29 届全国中学生物理竞赛复赛卷

一、设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始 释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。 在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的

时间。

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第 29 届全国中学生物理竞赛复赛卷

二、设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯 顶端可超过地球的同步卫星高度 R (从地心算起)延伸到太空深处。这种 所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星, 其发射方法是将卫星 通过太空电梯匀速地提升到某高度, 然后启动推进装置将卫星从太空电梯 发射出去。 1、设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,该卫星在 上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 (1)论证卫星脱落后不会撞击地面。 (2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起,在 0~12 小时及 12~24 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 R X 处有一卫星从电梯脱落(脱落时卫星相对 于太空电梯上脱落处的速度可视为零) ,脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫 星着地点的经度。提示:此问要用数值方法求解高次方程。 已知:地球质量 M ? 6.0 ? 1024 kg ,半径 Re ? 6.4 ?106 m 的球体;引力恒量 G ? 6.7 ?10?11 N ? m 2 ? kg ?2 ;地球 自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。

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三、如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段牢固粘接在一起, AB 延长线与 BC 的 夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三点各固连一 质量均为 m 的小球,构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固 定的光滑竖直挡板,杆 AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 v0 、方向沿 AB 的 速度向挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球 C 在垂直于挡板方向 的分速度为零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先于球 A 与挡板相碰, 求夹角 ? 应满足的条件。

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四、如图所示,虚线小方框是由 2 n 个电容器联成的有限网络;虚线大方框是 并联的两个相同的无限网络,此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容 器的右极板与两个电容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电 容器的右极板与一个电容器的左极板相连,直至联接到一个电容器为止。网 络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器,其极板面积为 S ,极 板间距为 d ( d ?? S ) 。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池 连接,电池电动势恒定、大小为 ? 。忽略电容器的边缘效应,静电力常量 k 已 知。 1、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢地向右拉动,使其两极板的距离变为 2 d ,求在拉动极板过程中 电池所做的功和外力所做的功。 2、 在电容器 a 两极板的距离变为 2 d 后, 再将一块与电容器 a 的极板形状相同、 面积也为 S 、 带电荷量为 Q( Q ? 0 ) 的金属薄板沿平行于 a 的极板方向全部插入到电容器 a 中,使金属薄板距电容器 a 左极板的距离为 x 。求此时电容 器 a 的左极板所带的电荷量。

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五、如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。大 圆环半径为 R1 ,小圆环表面绝缘半径为 R2 ( R2 ?? R1 ) ,两圆环导线每单位长度电阻 均为 r0 ,它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为 B ,方向竖直向下,一每单位长度电 阻为 r1 的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为 R1 / 100(> R2 )的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd,滑 动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。 假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的 磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R ,长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小 为

Il ,方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则;无限长直导线通有电流 I 时,电流 R2 2I 在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度 B 的大小为 B ? k m ,其中 k m 为已知常量。 r B ? km

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六、如图所示,刚性绝热容器 A 和 B 水平放置,一根带有绝热阀门和多孔塞的绝 热刚性细短管把容器 A、B 相互连通。初始时阀门是关闭的,A 内装有某种理想气 体,温度为 T1 ;B 内为真空。现将阀门打开,气体缓慢通过多孔塞后进入容器 B 中。当容器 A 中气体的压强降到与初始时 A 中气体压强之比为 ? 时,重新关闭阀 门。设最后留在容器 A 内的那部分气体与进入容器 B 中的气体之间始终无热量交 换,求容器 B 中气体质量与气体总质量之比。已知:1 摩尔理想气体的内能为 u ? CT ,其中 C 是已知常量, T 为 绝对温度; 一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时, 其压强 p 与体积 V 满足过程方程 pV 为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。
C?R C

? 常量 ,其中 R

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七、图中 L1 为一薄凸透镜, Q 为高等于 2.00cm 与光轴垂直放置的线状物,已知 Q 经 L1 成一实像,像距为 40.0cm。 现于 L1 的右方依次放置薄凹透镜 L2 、 L3 和薄凸透镜 L4 以及屏 P ,它们之间的距离如图所示,所有的透镜都共轴, 屏与光轴垂直, L2 、 L3 焦距的大小均为 15.0cm。已知物 Q 经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像,像高为 0.500cm。

1、 L1 焦距的大小为

cm, L4 焦距的大小为

cm。

2、现保持 Q 、 L1 、 L4 和 P 位置不变,而沿光轴平移 L2 、 L3 ,最后在屏上成倒立的实像,像高为 1.82cm,此时 L2 和 L1 的距离为 cm, L3 和 L4 的距离为 cm。

最后保留结果至小数点后一位。

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八、如图所示,竖直固定平行放置的两条相同长直导线 1 和 2 相距为 a ( a <<长直导线的长度) ,两 导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流,电流方向向上。导线中正离子都是静止的,每单位长度导 线中正离子的电荷量为 ? ;形成电流的导电电子以速度 v0 沿导线向下匀速运动,每单位长度导线中 导电电子的电荷量为 ? ? 。已知:单位长度电荷量为? 的无限长均匀带电直导线在距其距离为 r 处产

2? ,其中 ke 是常量;当无限长直导线通有稳恒电流 I 时,电流在距导 r 2I 线距离为 r 处产生磁场的磁感应强度大小为 B ? k m ,其中 k m 是常量。试利用狭义相对论中的长 r
生的电场的强度大小为 E ? k e 度收缩公式求常量 ke 和 k m 的比值。 提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中的光速为 c 。

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