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高中数学竞赛标准讲义:第14章:极限与导数


高中数学竞赛标准讲义:第十四章: 2010 高中数学竞赛标准讲义:第十四章:极限与导数
一、基础知识

1.极限定义:(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε成立(A 为常数),则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为
x → +∞

>
lim f ( x), lim f ( x) ,另外 lim+ f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右极限。
x → ?∞

x → x0

类似地 lim? f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。
x → x0

2.极限的四则运算:如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b,那么 lim [f(x)±g(x)]=a±b, lim [f(x)
x→ x0 x→ x0 x→ x0 x→ x0

?g(x)]=ab, lim
x→ x0

f ( x) a = (b ≠ 0). g ( x) b
x→ x0 x→ x0

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 lim f(x)存在,并且 lim f(x)=f(x0),则称 f(x) 在 x=x0 处连续。 4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值 和最小值。 5. 导数: 若函数 f(x)在 x0 附近有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δx 时 (Δx 充分小) , ?y 因变量 y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 lim 存在,则称 f(x)在 x0 处可导, ?x → 0 ?x 此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数(或变化率),记作 f ' (x0)或 y ' x = x 0 或
dy dx

,即
x0

f ' ( x 0 ) = lim
x → x0

f ( x) ? f ( x 0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。若 f(x) x ? x0

在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在 点 x0 处导数 f ' (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6.几个常用函数的导数: (1)(c)' =0(c 为常数); (2) ( x a )' = ax a ?1 (a 为任意常数); (3)
(sin x )' = cos x; (4) (cos x)' = ? sin x ;(5) (a x )' = a x ln a ;(6) (e x )' = e x ;(7) (log a x)' =

1 log a x ; x

1 . x 7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则

(8) (ln x)' =

(1)[u ( x ) ± v ( x )]' = u ' ( x) ± v' ( x ) ; (2)[u ( x )v ( x )]' = u ' ( x )v ( x) + u ( x )v' ( x ) ; (3)[cu ( x )]' = c ? u ' ( x ) (c 为常数);(4) [
1 ? u ' ( x) u ( x) u ( x )v ' ( x ) ? u ' ( x )v ( x ) ;(5) [ 。 ]' = 2 ]' = u ( x) u ( x) u ( x) u 2 ( x)

8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= ? (x),已知 ? (x)在 x 处可导,f(u)在对应的点 u(u= ? (x))处可导,则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导,且(f[ ? (x)] )' = f '[? ( x )]? ' ( x ) . 9.导数与函数的性质:(1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续;(2)若对一切 x ∈(a,b)有 f ' ( x ) > 0 , f(x)在(a,b)单调递增; 则 (3) 若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x ) < 0 , f(x) 则 在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 f ' ( x0 ) = 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,(1)若当 x ∈(x-δ,x0)时 f ' ( x ) ≤ 0 ,当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x ) ≥ 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值;(2)若 当 x∈(x0-δ,x0)时 f ' ( x ) ≥ 0 ,当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x ) ≤ 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。 12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在 x=x0 处二阶可 导, f ' ( x0 ) = 0, f ' ' ( x0 ) ≠ 0 。 若 f ' ' ( x0 ) > 0 , f(x)在 x0 处取得极小值; 若 f ' ' ( x0 ) < 0 , 且 (1) 则 (2) 则 f(x)在 x0 处取得极大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (ξ ) = 0. [证明] 若当 x∈(a,b), f(x)≡f(a), 则对任意 x∈(a,b), f ' ( x ) = 0 .若当 x∈(a,b)时, f(x)

≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 f ' (c ) = 0 ,综上 得证。 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ∈(a,b),使 f (b ) ? f ( a ) f ' (ξ ) = . b?a f (b) ? f ( a ) [证明] 令 F(x)=f(x)( x ? a ) ,则 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 b?a f (b ) ? f ( a ) F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ∈(a,b)使 F ' (ξ ) =0,即 f ' (ξ ) = . b?a 15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数,(1)如果对任意 x∈ I, f ' ' ( x) > 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的;(2)如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) < 0 ,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 16.琴生不等式:设α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函数, 则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。

例1

an 2 n ? ? 1 求下列极限:(1) lim? 2 + 2 + L + 2 ? ;(2) lim (a > 0) ;(3) n →∞ 1 + a n n →∞ n n n ? ?

? 1 ? 1 1 ? ;(4) lim n ( n + 1 ? n ). + +L+ lim? ? 2 2 2 n →∞ n →∞? n +2 n +n? ? n +1
n(n + 1) 2 n ? ? 1 ?1 2 ? 1 [解](1) lim? 2 + 2 + L + 2 ? = lim = lim? + ?= ; 2 n →∞ n n →∞ n →∞ 2 2n ? 2 2n n n ? ? ?

(2)当 a>1 时, lim

1 an 1 = lim = = 1. n n n n →∞ 1 + a n →∞ ?1? ?1? ? ? + 1 lim? ? + 1 n →∞ a ?a? ? ?
n

lim a an 0 = n→∞ n = = 0. 当 0<a<1 时, lim n n →∞ 1 + a 1+ 0 1 + lim a
n →∞

当 a=1 时, lim

an 1 1 = lim = . n n →∞ 1 + a n →∞ 1 + 1 2

(3)因为

n n +n
2

<

1 n +1
2

+

1 n +2
2

+L+

1 n +n
2

<

n n +1
2

.

而 lim
n →∞

n n +n
2

= lim
n →∞

1 1 1+ n

= 1, lim
n →∞

1 n +1
2

= lim
n →∞

1 1 1+ 2 n

= 1,

? 1 ? 1 1 ? = 1. 所以 lim? + +L+ ? n →∞? n2 +1 n2 + 2 n2 + n ? ? (4) lim n ( n + 1 ? n ) = lim
n →∞ n →∞

n n +1 + n

= lim
n →∞

1 1+ 1 +1 n
n

1 = . 2

例2

求下列极限:(1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 )(|x|<1);
n→∞

2

x2 ?1 1 ? ? 3 (2) lim? 。 ? ? ;(3) lim x →1 x →1 1 ? x 3 1? x ? 3 ? x ? 1+ x ?
[ 解]

(1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 )
n→∞
n n +1

2

n

(1 ? x)(1 + x)(1 + x 2 ) L (1 + x 2 ) 1? x2 1 = lim = lim = . n →∞ n →∞ 1 ? x 1? x 1? x

? 3 ?1? x ? x2 ? ?1? x +1? x2 ? 1 ? ? 3 ? = lim? ? ? (2) lim? ? = lim? ? x→1 ? 1 ? x 3 ? x →1 1 ? x 3 1 ? x ? x→1 ? 1 ? x3 ? ? ? ? ?
2+ x ? (1 ? x )(2 + x ) ? = lim? = 1. ? = lim 3 2 x →1 1? x ? ? x →1 1 + x + x

(3) lim
x →1

x2 ?1 3 ? x ? 1+ x

= lim
x →1

( x 2 ? 1)( 3 ? x + 1 + x ) ( 3 ? x ? 1 + x )( 3 ? x + 1 + x )

= lim
x →1

( x ? 1)( x + 1)( 3 ? x + 1 + x ) ? ( x + 1)( 3 ? x + 1 + x ) = lim x →1 2(1 ? x) 2

= ?2 2.
2.连续性的讨论。 例 3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x),又当 x∈[0,1)时, f(x)=x(1-x)2,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 在 则 当 [解] 当 x∈[0,1)时, f(x)=x(1-x)2, f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t, x=t-1, x∈[1,2) 有 2 时,利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1),因为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x) 得 2 2 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t) ;同理,当 x∈[1,2)时,令 x+1=t,则当 t∈[2,3)时,有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而
2 ? ?2( x ? 1)(2 ? x) , x ∈ [1,2 ); f(x)= ? 所以 ?4( x ? 2)(3 ? x) 2 , x ∈ [2,3). ?

x→ 2?

lim f ( x) = lim 2( x ? 1)(2 ? x) 2 = 0, lim f ( x) = lim 4( x ? 2)(3 ? x) 2 = 0 ,所以
x →2 ? x →2 + x→ 2+
x →2 +

x →2 ?

lim f(x)= lim f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上, 设切点坐标为(x0,y0), y 0 = 则
1 1 , 切线的斜率为 x' | x = ? 2 , 0 x0 x0

所以切线方程为 y-y0= ?

1 1 1 ( x ? x 0 ) ,即 y ? = ? 2 ( x ? x0 ) 。又因为此切线过点(2,0), 2 x0 x0 x0

所以 ?

1 1 = ? 2 (2 ? x 0 ) ,所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x+y-2=0. x0 x0

4.导数的计算。 例5
5x 2 + 3x ? x 求下列函数的导数:(1)y=sin(3x+1);(2) y = ;(3)y=ecos2x;(4) x
1 )。 2

y = ln( x + x 2 ? 1) ;(5)y=(1-2x)x(x>0 且 x <

[解]

(1) y ' = cos(3 x + 1) ? (3 x + 1)' = 3cos(3x+1).
(5 x 2 + 3 x ? x )'? x ? (5 x 2 + 3 x ? x ) ? ( x)' x2

(2) y ' =

? 1 ? ?10 x + 3 ? ? x ? 5 x 2 + 3x + x ? ? 2 x? =? x2

=5+

1 2 x3

.

(3) y ' = e cos 2 x ? (cos 2 x)' = e cos 2 x ? (? sin 2 x) ? (2 x)' = ?2e cos 2 x ? sin 2 x. (4) y ' =
1 x + x2 ?1 ? ( x + x 2 ? 1)' = ? ? x ?? + 1? ? ? x + x2 ?1 ? x2 ?1 ? 1

=

1 x2 ?1

.

(5) y ' = [(1 ? 2 x) x ]' = [e x ln(1? 2 x ) ]' = e x ln(1? 2 x ) ( x ln(1 ? 2 x))'
2x ? ? = (1 ? 2 x) x ?ln(1 ? 2 x) ? . 1 ? 2x ? ? ?

5.用导数讨论函数的单调性。 例6 [解] 设 a>0,求函数 f(x)= x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。
f ' ( x) =
2

1 2 x

?

1 2 2 ( x > 0) ,因为 x>0,a>0,所以 f ' ( x ) > 0 ? x +(2a-4)x+a >0; x+a

f ' ( x ) < 0 ? x +(2a-4)x+a+<0.

(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 f ' (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 f ' ( x ) > 0 ,所以 f(x)在(0,1)内单调递 增,在(1,+∞)内递增,又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增; (3)当 0<a<1 时,令 f ' ( x ) > 0 ,即 x2+(2a-4)x+a2>0,解得 x<2-a- 2 1 ? a 或 x>2-a+ 2 1 ? a ,因此,f(x) 在(0,2-a- 2 1 ? a )内单调递增,在(2-a+ 2 1 ? a ,+∞)内也单调递增,而当

2-a- 2 1 ? a <x<2-a+ 2 1 ? a 时,x +(2a-4)x+a2<0,即 f ' ( x ) < 0 ,所以 f(x)在
2

(2-a- 2 1 ? a ,2-a+ 2 1 ? a )内单调递减。 6.利用导数证明不等式。 π 例 7 设 x ∈ (0, ) ,求证:sinx+tanx>2x. 2 [证明]

π 2 设 f(x)=sinx+tanx-2x,则 f ' ( x ) =cosx+sec x-2,当 x ∈ (0, ) 时, 2

cos x +

1 1 2 > 2 cos x ? = > 2 (因为 0<cosx<1),所以 2 2 cos x cos x cos x
2

f ' ( x ) =cosx+sec x-2=cosx+

1 ? π? ? π? 所以 f(x)在 ? 0, ? 上单调 ? 2 > 0 .又 f(x)在 ? 0, ? 上连续, 2 cos x ? 2? ? 2?

? π? 递增,所以当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x. ? 2?

7.利用导数讨论极值。 例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值,并指出这时 f(x) 在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取得极值,所以

2 ? ?a + 2b + 1 = 0, ?a = ? 3 , a ? ? 解得 ? f ' (1) = f ' ( 2) = 0 ,又 f ' ( x ) = +2bx+1,所以 ? a x ?b = ? 1 . ? 2 + 4b + 1 = 0, ? ? 6 ?
2 1 2 1 ( x ? 1)(2 ? x) 所以 f ( x) = ? ln x ? x 2 + x, f ' ( x) = ? ? x + 1 = . 3 6 3x 3 3x

所以当 x∈(0,1)时, f ' ( x ) < 0 ,所以 f(x)在(0,1]上递减; 当 x∈(1,2)时, f ' ( x ) > 0 ,所以 f(x)在[1,2]上递增; 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x ) < 0 ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x∈[0,π],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π],y∈[0,1]时,

? sin(1 ? y ) x 2 y ? 1 sin x ? 2 + ? f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x ? ? =(1-y) x 2 x ? (1 ? y ) ? (1 ? y ) x ? sin(1 ? y ) x sin x y2 sin x ? sin x ? + ? , ? ? ,令 g(x)= 2 x x ? x (1 ? y ) ? (1 ? y ) x

g ' ( x) =

π cos x( x ? tan x ) ( x ≠ ), 2 2 x

? π? 当 x ∈ ? 0, ? 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 g ' ( x ) < 0 ; ? 2? ?π ? 当 x ∈ ? , π ? 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 g ' ( x ) < 0 ; ?2 ?

又因为 g(x)在(0,π)上连续,所以 g(x)在(0,π)上单调递减。 又因为 0<(1-y)x<x<π,所以 g[(1-y)x]>g(x),即 sin(1 ? y ) x sin x ? > 0, (1 ? y ) x x

又因为

y2 sin x ? > 0 ,所以当 x∈(0,π),y∈(0,1)时,f(x,y)>0. 2 x (1 ? y )

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx≥0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 2 n +1 + 3 n+1 1. lim n =_________. n →∞ 2 + 3 n

? n2 +1 ? 2.已知 lim? ? n + 1 ? an ? b ? = 2 ,则 a-b=_________. ? n →∞ ? ?
1 + cos 3. lim
n →∞

π

3x ? 4 x + 1 2(n + 1) + lim = _________. 3 n →∞ n 2 3x ? 2 x + 2

3 2

4. lim
x →1

x n+1 ? (n + 1) x + n = _________. ( x ? 1) 2
2 + (?1) n + lim ( x 2 + 1 ? x 2 ? 1) = _________. n →∞ x → +∞ n

5.计算 lim

6.若 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f ' (0) 存在,则 f ' (0) = _________. f ( 2 + h) ? f ( 2 ? h ) = _________. 2h 8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________. 9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 7.函数 f(x)在(-∞,+∞)上可导,且 f ' (2) = 1 ,则 lim
h →0

10.函数 f ( x) = ln

1? x2 的导数为_________. 1+ x2

11.若曲线 y =

1 1 1 在点 M ( 2, ) 处的切线的斜率为 ,求实数 a. 2 4 4 ( x ? ax )
2

0 12.求 sin29 的近似值。 π sin a a tan a 13.设 0<b<a< ,求证: < < . 2 sin b b tan b 四、高考水平练习题

1.计算 lim

1 + 2 + 4 + L + 2 n ?1 =_________. n →∞ 1 + 3 + 3 2 + L + 3 n ?1

? x3 x2 ? ? = _________. ? 2.计算 lim ? 2 x → +∞? 2 x ? 1 2x + 1? ? ?

3.函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 y = e x ? e?x 的导数是_________. e x + e?x

5.函数 f(x)在 x0 邻域内可导,a,b 为实常数,若 f ' ( x0 ) = c ,则
lim f ( x 0 + a?x ) ? f ( x 0 ? b?x ) = _________. ?x

?x →0

1 x π e (sinx+cosx),x x ∈ [0, ] 的值域为_________. 2 2 2 7.过抛物线 x =2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________. -x -t 10.曲线 y=e (x≥0)在点 M(t,e )处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________. 11.若 x>0,求证:(x2-1)lnx≥(x-1)2.

6.函数 f(x)=

12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 f ' ( x ) 是减函数,且 f ' ( x ) >0,x0∈(0,+ ∞).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程,另设 g(x)=kx+m,(1)用 x0,f(x0), f ' ( x0 ) 表示 m;(2)证明:当 x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);(3)若关于 x 的不等
3 式 x2+1≥ax+b≥ x 3 在(0,+∞)上恒成立, 其中 a,b 为实数, b 的取值范围及 a,b 所满足的 求 2
2

关系。 13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 五、联赛一试水平训练题
1 x n +1 < 1( n ∈ N + ) ,证明:xn≤1(n∈N+).

1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0? a1 a 2 L a n | ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim

Sn = _________. n →∞ T n

1 ? ?1 1 x 9 2.若(1-2 ) 展开式的第 3 项为 288,则 lim? + 2 + L + n ? = _________. n →∞ x x x ? ?

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,
f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) > 0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为_________.

1 2 1 x 与 y = x 3 ? 2 的交点处的切线夹角是_________. 2 4 + 2 ax 5.已知 a∈R ,函数 f(x)=x e 的单调递增区间为_________. R x 6.已知 f ( x ) = 在(a,3-a2)上有最大值,则 a 的取值范围是_________. 2 1? x x 2 7.当 x∈(1,2]时,f(x)= > a ( a > 0) 恒成立,则 y=lg(a -a+3)的最小值为_________. 2x ? 1

4.曲线 y = 2 ?

8. 已知 f(x)=ln(ex+a)(a>0), 若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)], 不等式|m-f-1(x)|+ln[ f ' ( x ) ]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值;(2)设 0<a<b,证明:
?a+b? 0<g(a)+g(b)- 2 g ? ? <(b-a)ln2. ? 2 ?

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的最小值;(2)设正数 p1,p2,…, p 2n 满足 p1+p2+p3+…+ p 2n =1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+…+ p 2n log2 p 2n ≥-n.
? x ? ?b ? 11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= ? ? 1? + ? ? 1? ,其中 a,b 为任意的正实数, ?a ? ?x ?
2 2

且 a<b,(1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性; (3)若 x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2],证明: g I ( x1 ) + g I ( x 2 ) >
k k +1

4 . k (k + 1)

六、联赛二试水平训练题

x2 x2 1.证明下列不等式:(1) x ? < ln( x) < x ? ( x > 0) ; 2 2(1 + x)
(2)
tan x x ? π? > , x ∈ ? 0, ? 。 x sin x ? 2?

2.当 0<a≤b≤c≤d 时,求 f(a,b,c,d)= 3.已知 x,y∈(0,1)求证:x +y >1.
y x

ab ? bc ? c d ? d a 的最小值。 ba ? cb ? d c ? a d


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