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1.5.1-1.5.3定积分的概念 (1)

时间:2016-04-26


一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 由 连 续 曲 线 y=f(x),直线 x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
y

y=f (x)

x=a
O
a

x=b
b

x

/> P

放大

P

再放大

P

因此,我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线,也就是说:在点P附近,曲线可以看 作直线(即在很小范围内以直代曲).

y = f ( x) y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1.

y = f ( x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A,得 A ? A1+ A2

y

y = f(x)

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A, 得 A ? A1+ A2+ A3+ A4

y = f ( x) y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边 梯形的面积A近似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An —— 以直代曲,无限逼近

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的

y 曲边梯形的面积。 (1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间:

1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ],? ? ?, [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为 i i ?1 1 ?x ? ? ? n n n
y ? x2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

1 n

2 n

k n

n n

x

过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小 曲边梯形,他们的面积分别记作

?S1 , ?S2 ,? ? ?, ?Si ,? ? ?, ?Sn .

y

y ? x2

o
y

i ?1 i n n

1 x

图1.5 ? 3
y ? x2

o

i ?1 i n n

1

图1.5 ? 4

上,可以认为函数 f ?x ? ? x 2 的值变化很小 , 近似等于一 个常数 ,不妨认为它近似地 i ?1 等于左端点 处的函数 n ? i ? 1? x 值f ? ?.从图形上看 , 就是 ? n ? 用平行于 x轴的直线段近似

记f ?x ? ? x 2 . 如图 1.5 ? 3 ,当n很大 , 即 ?i ? 1 i ? Δx很小时, 在区间 ? , ? ? n n?

?2?近似代替

y

y?x

2

o
y

i ?1 i n n

1 x

地代替小曲边梯形的曲 边?图1.5 ? 4 ?.这样, 在区 ?i ? 1 i ? 间? , ?上, 用小矩形 ? n n? 的面积 ΔS 近似地代替 ΔSi , 即在局部小范围内 " 以直代曲 " , 则有 ΔSi ? ? i ? 1? ' ΔS i ? f ? ? Δx ? ? n ?
' i

图1.5 ? 3
y ? x2

o

i ?1 i n n

1

x

图1.5 ? 4

? i ? 1? 1 ? ? ? ?i ? 1,2,? ? ?, n?. ? n ? n

2

?3?求和
n

由?2?,图1.5 ? 4中阴影部分的面积 Sn 为
n n 2 ' i

? i ? 1? ? i ? 1? 1 Sn ? ? ΔS ? ? f ? ?Δx ? ? ? ? ? n i?1 i?1 ? n ? i?1 ? n ?
1 ? 1? 1 ? n ? 1? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? n ?n? n ? n ? n 1 2 2 2 ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?n ? 1? n
2 2

可以证明 12 ? 22 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ?n ? 1?n?2n ? 1? . 6
2

?

?

1? 1 ?n ? 1?n?2n ? 1? 1 ? 1 ?? ? ?1 ? ??1 ? ?. ? 3 3 ? n ?? 2n ? n 6

1 ? 1 ?? 1? 从而可得 S的近似值 S ? Sn ? ?1 ? ??1 ? ?. 3 ? n ?? 2n ?

y

y

y
y ? x2

y

y?x

2

y ? x2

y ? x2

???
o

1x o

1x o

1x

o

1x

图1.5 ? 5

?4?取极限 分别将区间 ?0,1?等分成 4,8,,20,? ? ?等份 ?图1.5 ? 5?,可以看到,当n趋向于无穷大 ,即Δx趋向
1 ? 1 ?? 1? 于0时, Sn ? ?1 ? ??1 ? ?趋向于 S, 从而有 S ? 3 ? n ?? 2n ? n 1 ? i ? 1? 1 ? 1 ?? 1? 1 lim Sn ? lim ? f ? ? ? lim ?1 ? ??1 ? ? ? . n? ? n?? n? ? 3 ? n ?? 2n ? 3 i?1 n ? n ?

我们通过下表还可以从 数值上看出这一变化趋 势.

区间?0,1?的等分数n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 ???

S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741 ???

探究 在 " 近似代替" 中,如果认为函数 f ?x ? ? x 2 在 ?i ? 1 i ? 区间? , ? ?i ? 1 ,2,? ? ?, n?上的值近似地等于右端 点 ? n n? i ?i? 处的函数值 f ? ?, 用这种方法能求出S 的值吗? n ?n? 1 ?i ? 1 i ? 若能求出 , 这个值也是 吗? 取任意ξ i ? ? , ?处 3 ? n n? 的函数值f ?ξ i ?作为近似值,情况又怎样?

?i ? 1 i ? 可以证明,取f ?x ? ? x 在区间 ? , ? 上任意一 ? n n? 点ξ i处的值 f ?ξ i ?作近似值 , 都有
2

1 1 S ? lim ? f ?ξ i ?Δx ? lim f ?ξ i ? ? . n ?? n ?? n 3 i?1

n

一般地, 对如图1.5 ? 1 所示的曲边梯形 , 我们 也可以采用分割、近 似代替、求和、取极 值的方法求出其面积 .

y

f ?b? f ?a?

y ? f ?x ?

o

a
图1.5 ? 1

b

x

练 习
1. 当n很大时,函数 f ( x) ? x 在区间
2

?i ?1 i ? , ? ? n? ? n

上的值,可以用( C )近似代替
A. C.
1 f ( ) n
i f ( ) n

2 B.f ( n )

D. f ?0?

练 习
2、在“近似代替”中,函数f(x)在区间 ?xi , xi?1 ? 上的近似值等于( C )
f ( xi )
f ( xi ?1 )

A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确

f (?i )(?i ? ?xi , xi ?1 ?)

4、逼 n 近
Sn

y
∞ △x S 0

1 2 2 S n ? 3 1 ? 2 2 ? ? ? ?n ? 1? n

?

?

1 ?S ? 3 1 2 2 或S n ? 3 ?1 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) 2 ? n O 1 ?n ? 1?n?2n ? 1? ? 3 n 6

1 (n ? ?) 3

y=x2

1

x

1 1 1 n n ? 1 2n ? 1 1 ? 1 ?? 1? ?S ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? ? ? (n ? ?) 6 n n n 6 ? n ?? n? 3 3

探究思考
思考 1:已知物体运动路程与时间的关系怎 样求物体的运动速度?
例如 S(t)=3t +2. 则 v(t)= S? (t)=6t+0.
思考 2:已知物体运动速度为 v(常量)及时间 t,怎么求路程?
S=vt 直接求出
2

探究思考
思考 3:如果汽车做 变速直线运动, 在时 刻 t 的速度为 v(t)= 2 - t +2 。 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 S 是多少 呢?
v
2

v(t ) = - t 2 + 2

O

1

t

探究思考
思考 4:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0,t=1,v=0 2 和曲线 v=-t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系?
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程 S ? lim S n 在数
n? ?

值上就等于相应曲边梯形 面积.

?1?分割

在时间区间?0,1?上等间隔地插入 n ? 1个分

点, 将它分成n个小区间: ? 1 ? ? 1 2 ? ?i ?1 i ? ? n ?1 ? 0 , , , , , ? ? ? , , 1 , ? n? ?n n? ? n n? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?i ?1 i ? 记第i个区间为? , ? ?i ? 1,2,? ? ?, n ?, 其长度为 ? n n? i i ?1 1 ?t ? ? ? . n n n

? 1? ? 1 2 ? ?n ? 1 ? ?0, n ? , ? n , n ? , ? ? ? , ? n ,1? , ? ? ? ? ? ? ?i ? 1 i ? 记第 i个区间为 ? , ??i ? 1 ,2,? ? ?, n?, 其长度为 ? n n? i i ?1 1 Δt ? ? ? . n n n

? 1? ? 1 2 ? ?n ? 1 ? 把汽车在时间段 ?0, ? , ? , ? , ? ? ?, ? ,1?上行驶 ? n ? ?n n ? ? n ? 的路程分别记作 : ΔS1, ΔS2 ,? ? ?, ΔSn ,
则显然有 S ? ? ΔSi .
i?1 n

?i ? 1 i ? ?2?近似代替 当n很大,即Δt很小时, 在区间 ? , ? ? n n? 2 上,函数 v ?t ? ? ?t ? 2的值变化很小 , 近似地等到于常 i ?1 数,不妨认为它近似地等于 左端点 处函数值 n 2 ? i ? 1? ? i ? 1? v? ? ? ?? ? ? 2. 从物理意义看 , 就是汽车在时 ? n ? ? n ? ?i ? 1 i ? 间段 ? , ? (i ? 1 ,2,? ? ?, n) 上时间速度变化很小 ,不妨 ? n n? 2 i ?1 ? i ? 1? ? i ? 1? 认为它近似地以时刻 处的速度 v? ? ? ?? ? n ? n ? ? n ? ? 2作匀速行驶 , 即在局部范围内 " 以匀速代变速 " ,于是

2 ? ? i ? 1 1 ? ? i ? 1 ? ? ' ? ? 2? ? ΔSi ? ΔSi ? v? ? Δt ? ?? ? n n ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ? i ? 1? 1 2 ? ?? ,2,? ? ?,n?. ① ? ? ? ?i ? 1 ? n ? n n n n ? i ? 1? ' ?3?求和 由 ① 得Sn ? ? ΔSi ? ? v? ?Δt i?1 i?1 ? n ? 2 n ? ? i ? 1? 1 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? i?1 ? ? ? n ? n n? ? 2 2 1 ? 1? 1 ? i ? 1? 1 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n

2

1 2 2 2 ? ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n 1 ?n ? 1?n ?2n ? 1? ?? 3 ?2 n 6

?

?

1 ? 1 ?? 1? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2. 3 ? n ?? 2n ?
从而得到 S的近似值

1 ? 1 ?? 1? S ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2. 3 ? n ?? 2n ?

事实上,我们可以 认为汽车在每个 小时时间间隔 ?i ? 1 i ? ? n , n ?上近似地 ? ? 以任意时刻ξ i ? ?i ? 1 i ? ? n , n ?处的速度 ? ? v ?ξ i ?作匀速行驶, 并且我们有
n

当n趋向于无穷 大, 即Δt趋向于 0时, 1 ? 1 ?? 1? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ??2 3 ? n ?? 2n ? 趋向于 S, 从而有 n 1 ? i ? 1? S ? lim Sn ? lim ? v ? ? n? ? n? ? i ?1 n ? n ?

?4 ?取极限

? 1 ? 1 ?? 1? ? 5 ? lim ?? ?1? ??1? ? ? 2? ? . n?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3
n

1 S ? lim ? v ?ξ i ?Δt ? lim ? v ?ξ i ?. Δt ? 0 n?? i?1 i?1 n

求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:

a, x 每个小区间宽度⊿x 1

?

?,? x1, x2 ?,?? xi?1, xi ?,?,? xn?1, b?,
b?a ? n
y

小矩形面积f(?i)?x近似之。

(2)取近似求和:任取?i?[xi?1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高为f(?i)而宽为?x的 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积

S的近似值:

y=f(x)

S ? ? f (?i )?x
i ?1

n

(3)取极限:,所求曲边梯形的面积S为

S ? lim ? f (?i )?x
n?? i ?1

n

O

a

xi ?i xi+1 ?x

?

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲
”:

分割---近似代替---求和-----取极限得到解决 . n n b?a 小矩形面积和S=? f (?i )?x ? ? f (?i ) ? n i ?1 i ?1

如果当n?∞时,S 无限接近某个常数,

这个常数为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b] 上的定积 n b b 分,记作 f (x)dx,即 f (x)dx ? lim f (? )??x

? ?a ? ?0 i ?1 b?a 即? f ( x)dx ? lim ? ? f (? ) n

?a
b

i

n

a

n??

i ?1

i

即? 定积分的定义: a

b

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a O a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y ? f ( x)

b

x

即? 定积分的定义: a

b

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y?f(x) (f(x)?0) ,直线x?a、x?b 及x轴所围成的曲边梯形的面积为

(2) 设物体运动的速度v?v(t),则此物体在时间区 v ? v(t ) 间[a, b]内运动的距离s为 v

S? ? f (x)dx;
a

b

s? ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S ? ? f ( x)dx ? ? x dx ? 0 0 3
v 2

y

f(x)=x2

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

S?

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

1 3
1

O
n

x

gD S g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S ? ? v(t )dt ? ? (?t ? 2)dt ? 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

注:

?

b

a

f ( x)dx是一个和式的极限
n i ?1 i

是一个确定的常数

2 .当

? f (? )?x 的极限存在时,其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关,而与区间 ?a, b? 的分法及 ?

i

点的取法无关。 3.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du
a a
a b

b

b

b a 4.规定: ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx

?

a

a

f ( x)dx ? 0

(2)定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f (x)

b

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O

b

c

b

f (x)dx。

a
b

b

x

特别地,当 a?b 时,有? f (x)dx?0。
a

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y?f (x)

y

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

y?g(x)

S1 ?
O

?

b

a

f ( x)dx
b x

S2 ? ? g ( x)dx
a

b

a



: 定积分的基本性质
b

性质1.

?

a

kf ( x )dx ?k

?

b

a

f ( x)dx(k为常数)

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b



: 定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
c b a c

?

b

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(其中a ? c ? b)
y y?f (x)

O

a



b

x

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c1 c2

c1

c2

b

性质 3
b

不论a,b,c的相对位置如何都有
c b

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
y y=f(x)

f (x)dx。

f )( dx x)dx ? ?? f (x f )( dx x)? dx f (x ?)f dx (x f? )( dx x dx f (。 x)dx? ? ?a f?a(x ? ?a)。 a ? a a ? c ? c c
a c b

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

x

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y

y

f(x)=(x-1)2-1

f(x)=1
0 a -1 0 2 a 0 b x -1 0 2

x

x

x






2



(1)在图①中,被积函数 f ( x) ? x 在[0,a] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A ? a x 2 dx

?

0

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y y

f(x)=1
0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2

x






2



(2)在图②中,被积函数 f ( x) ? x 在[?1 , 2] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A ? 2 x 2 dx

?

?1

y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y

y

f(x)=(x-1)2-1

f(x)=1
0 a x -1 0 2 x a 0 b x -1 0 2 x









(3)在图③中,被积函数 f ( x) ? 1在[a,b] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A ?

?

b a

dx

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y y

f(x)=1
0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2

x









解: (4)在图④中,被积函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1在[?1 , 2]
上连续,且在 [?1 , 0]上f ( x) ? 0, 在[0, 2]上f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为

A ? ? [( x ? 1) ? 1]dx ? ? [( x ? 1) ? 1]dx
0 ?1 2 2 0 2

练习:
1). 2).

2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立:
1).

?

2?

0

sin xdx ? 0

2).

?

?

0

sin xdx ? 2 ? 2 sin xdx
0

?

3、试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)

y=g(x)

0

1 2

x

0

a

b

x

例4 计算积分

?

1

0

1 ? x dx
2

解:由定积分的几何意 义知,该积分值等于
曲线y ? 1 ? x 2 , x轴,x ? 0及x ? 1所围 的面积(见下图)
y

面积值为圆的面积的

1 4

所以?

1

0

1 ? x dx ?
2

?
4
1 x


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