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2014日照一模文科数学试题


2014 日照一模文科数学试题
第Ⅰ卷(共 75 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? y y ? 0 , 则M ? N ? A. x x ? 1

?

?

?

r />
?

?

?

B.

? x x ? 1?
1 3 ? i 2 2

C.

? x 0 ? x ? 1?

D. ?

2.复数 z ? 1 ? i, 则 A.

1 ?z? z
B. C.

1 3 ? i 2 2

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.为监测幼儿身体发育状况,某幼儿园对“大班”的 100 名幼儿的体重做了测量,并根据所得数据画出了 频率分布直方图,如图所示.则体重在 ?18,20? (单 位 kg)的幼儿人数为 A.10 B.15 C.30 D.75

4.函数 y ? sin ? 3x ? A. x ? ?

? ?

??

?? ?? ? ?? ? ? ? cos ? x ? ? ? cos ? 3x ? ? sin ? x ? ? 的图象的一条对称轴是 3? 6? 3? ? 6? ? ?
B. x ? ?
2

?
24

?
12

C. x ?

?
12

D. x ?

?
6

2 5.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是

A. x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

6.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正(主) 视图(如图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为 A.8 B.4 C. 4 3 D. 3

a b 7.“ 2 ? 2 ”是“ lg a ? lg b ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

8.已知函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ,③ y ? x ? cos x ,④ y ? x ? 2 x 的部分图象如下, 但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是

A. ①④②③

B. ①④③②

C. ④①②③

D. ③④②①

9.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足条件;①对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 4? ? f ? x ? ;②对 任意的 x1, x2 ??0,2?且x1 ? x2,都有f ? x1 ? ? f ? x2 ? ;③函数 f ? x ? 2 ? 的图象关于 y 轴对 称.则下列结论正确的是 A. f ? 7? ? f ? 6.5? ? f ? 4.5? C. f ? 4.5? ? f ? 6.5? ? f ? 7? B. f ? 7? ? f ? 4.5? ? f ? 6.5? D. f ? 4.5? ? f ? 7? ? f ? 6.5?

10.已知 A ? 2,1? , B ?1, ?2 ? , C ? , ? ? , 点P ? a, b ? 满足0 ? OP ? OA ? 2 ,且 0 ? OP ? OB ? 2 , 则动点 P 到点 C 的距离小于 A.

?3 ?5

1? 5?

? 20

B. 1 ?

?

1 的概率为 5
C.

20

19? 20

D. 1 ?

19? 20

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 f ? x? ? ?

?3e x ?1, x ?3 ? 则f ? f ?3?? 的值为__________. 2 , x ?3, ? ?log 3 ? x ?6 ?
2

12.已知双曲线 x ?

a

y2 ? 1的一个焦点坐标为 ? 3, 0 ,则其渐近线 2
1 1 ? a b

?

?

方程为__________. 13.已知 a, b ? R + ,函数 y ? 2ae ? b 的图象过点(0,1) ,则
x

的最小值是__________.

14.如右面的框图,若输出 p 的值是 24,则输入的正整数 N 为__________.

15.已知双曲正弦函数 shx ? e ? e
x

?x

2

和双曲余弦函数 chx ? e ? e
x

?x

2

与我们学过的正弦函数

和余弦函数有许多类似的性质,请类比正弦函数和余弦函数的和角 公式,写出双曲正弦 ..
2

或双曲余弦函数的一个 类似的正确 结论__________________.. .. ..

第Ⅱ卷(共 75 分)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)在 ?ABC 中,若 A ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? , x ? R . 6? ? 3?

? , 锐角C满足f C ? ? ? 1 , 求 BC 的值.
4 2 AB

?2 6?

17.(本小题满分 12 分)某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法 从 A,B,C 三个行政区抽出 6 个社区进行调查.已知 A,B,C 行政区中分别有 12,18,6 个社区. (I)求从 A,B,C 三个行政区中分别抽取的社区个数; (II)若从抽得的 6 个社区中随机的抽取 2 个进行调查结果的对比,求抽取的 2 个社区中 至少有一个来自 A 行政区的概率.

18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,Q 为 AD 的中点. (I)若 PA=PD,求证:平面 PQB ? 平面 PAD; (II)点 M 在线段上,PM=tPC,试确定实数 t 的值,使 PA//平面 MQB.

3

19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是首项和公比均为 1 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an .

4

数列?cn ? 满足cn ? an ? bn
(I)求证数列 ?bn ? 是等差数列; (II)求数列{cn}的前 n 项和 Sn .

4

20.(本小题满分 13 分)如图,椭圆的右焦点 F2 与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,过 F2 且垂直
2

于 x 轴的直线与椭圆交于 S,T,与抛物线交于 C,D 两点,且 CD ? 2 2 ST . (I)求椭圆的标准方程; (II)设 P 为椭圆上一点,若过点 M(2, 0)的直线 l 与椭圆相交 于不同两点 A 和 B,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标 原点) ,求实数 t 的取值范围.
y

x O

21.(本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? e ? ax ? a ? R? , g ? x ? ? e ln x (e 为自然对数的底数).
x x

(I)设曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1 处的切线为 l ,若 l 与点 (1 , 0) 的距离为 (II)若对于任意实数 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围;

2 ,求 a 的值; 2

(III)当 a ? ?1时,函数 M ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? 在?1 ,e? 上是否存在极值?若存在,请 求出极值;若不存在,请说明理由.

4

2014 届日照市高三一轮模拟考试

文科数学参考答案及评分标准 2014-3
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确,准应参 照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDBCA CBADA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)3; (12) y ? ? 2 x ; (13) 3 ? 2 2 ; (14)4 (15) sh( x ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) ? 2sin( x ? )sin[

y) ? shxchy ? chxshy
π π ?( x ? )] 2 6

π 6

π 3

π 6

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , ???????????????4 分 6 6 3 2π ? π. 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ???????????????6 分 2 C π C π π (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , ???????8 分 2 6 2 6 3 π 1 由已知, sin C ? ,又角 C 为锐角,所以 C ? , ???????????10 分 6 2 π 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ???????????12 分 ? ? 1 AB sin C sin π 6 2 6 1 ? . (17)解: (Ⅰ)社区总数为 12+18+6=36,样本容量与总体中的个体数比为 36 6 所以从 A , B , C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 2,3,1. ?????4 分
C (Ⅱ) 设A 1, A 2 为在 A 行政区中抽得的 2 个社区,B 1 , B2 , B3 为在 B 行政区中抽得的 3 个社区, 为
在 C 行政区中抽得的社区,在 6 个社区中随机抽取 2 个,全部可能的结果:

( A1, A2 ), ( A1, B1 ), ( A1, B2 ), ( A1, B3 ), ( A1, C), ( A2 , B1), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C), ( B1, B2 ), ( B1, B3 ),( B1, C), ( B2 , B3 ), ( B2 , C), ( B3 , C). 共有 15 种. ???????????7 分
设事件“抽取的 2 个社区至少有 1 个来自 A 行政区”为事件 X ,则事件 X 所包含的 所有可能的结果有:

( A2 , B3 ), ( A1, A2 ), ( A1, B1 ), ( A1, B2 ), ( A1, B3 ), ( A1, C), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C),
共有 9 种, ??????????????????10 分 所以这 2 个社区中至少有 1 个来自 A 行政区的概率为 P ( X ) ? (18)解: (Ⅰ)连结 BD ,因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为正三角形, 又 Q 为 AD 的中点,所以 AD ? BQ ;??????2 分 D
5
?

9 3 ? . ?????12 分 15 P 5
M

C

Q A

N

B

又因为 PA ? PD ,Q 为 AD 的中点,所以 AD ? PQ . 又 BQ

PQ ? Q ,所以 AD ? 平面PQB,???4 分

又 AD ? 平面PAD ,所以 平面PQB ? 平面PAD. ???????????6 分 (Ⅱ)证明:因 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N , 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,所以

AQ AN 1 ? ? , BC NC 2

???8 分

因为 PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC 所以 PA // MN , 因此,

平面 MQB ? MN . ???10 分

PM AN 1 1 ?????????12 分 ? ? . 即 t 的值为 . PC AC 3 3 1 n (19)解: (Ⅰ)由题意知, an ? ( ) ( n ? Ν*) , ????????2 分 4 1 ? bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3log 1 ( )n ? 2 ? 3n ? 2, 4 4 4 , bn?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? (3n ? 2) ? 3 (常数) ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 3 的等差数列. ????????5 分 1 n (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? Ν*) , 4 1 n ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ( n ? Ν*) , ??????????6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 4 4 4 4 4 4
两式相减得,

3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 1 1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? Ν*) . 3 3 4
(20) (Ⅰ)设椭圆标准方程

????????11 分 ????????12 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

2 由题意,抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2 (1,0) , CD ? 4 .

因为 CD ? 2 2 ST ,所以 ST ? 2. ?????????2分

y D
S O

2b 2 b2 b2 又 S (1, ) , T (1,? ) , ST ? ? 2, a a a
又 c2

? 1 ? a2 ? b2 , ?a ? 2, b ? 1.

F2

?

x

T
C

6

所以椭圆的标准方程

x2 ? y2 ? 1. 2

?????????5分

(Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2).
由?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 消去 y ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,(*) ? y ? k ( x ? 2),

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两根,则

? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0, 即 2k 2 ? 1,
且 x1 ? x2 ?



??7分

8k 2 , 1 ? 2k 2

由 OA ? OB ? t OP ,得 ?

? x1 ? x2 ? tx0 , ? y1 ? y2 ? ty0 ,

若 t ? 0 ,则 P 点与原点重合,与题意不符,故 t ? 0 ,

? 1 1 8k 2 x ? ( x ? x ) ? ? , ? ? 0 t 1 2 t 1 ? 2k 2 所以, ? ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? [k ( x ? x ) ? 4k ] ? 1 ? ?4k , 2 1 2 ? 0 t 1 t t 1 ? 2k 2 ?
因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以
2 2 2 ? x0 ? 2 y0 ?

??9分

1 8k 2 2 32k 2 1 2 4k 4 ? 2k 2 1 [( ) ? ] t ? ? 1? , , 即 2 2 2 2 2 2 8 (1 ? 2k ) t 1 ? 2k (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2

再由①,得 0 ?

1 2 1 t ? ,又t ? 0, 8 2
??????13分

?t ? (?2, 0) (0, 2) .

x (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a .

y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a ,

?????????1 分

∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .???????3 分 又切线 l 与点 (1, 0) 距离为

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? ,所以 , 2 2 2 2 (e ? a) ? (?1)
???????5 分

解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. (Ⅱ)∵对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立, ∴若 x ? 0 ,则 a 为任意实数时, f ( x) ? e ? 0 恒成立;
x x

????????6 分

ex 若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ? ,在 x ? 0 上恒成立,????7 分 x ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x , 则 Q?( x) ? ? ? , ????????8 分 x x2 x2 当 x ? (0,1) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x ) 在 (0,1) 上单调递增;
设 Q( x) ? ?
7

当 x ? (1, ??) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x ) 取得最大值, Q( x)max ? Q(1) ? ?e , 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . 综上,对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围为 (?e, ??) . (Ⅲ)依题意, M ( x) ? e x ln x ? e x ? x , 所以 M ?( x) ? 设 h( x ) ? ?10 分 ??????9 分

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , x x

??????11 分

1 1 1 x ?1 ? ln x ?1 ,则 h?( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1,e ?, h? ( x) ?0 , x x x x

故 h( x) 在 ?1,e ? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1,e ? 上的最小值为 h(1) ? 0 , 即 h( x ) ?

1 ? ln x ?1 ? h(1) ?0 , x 1 x
x

??????12 分

x 又 e ? 0, 所以在 [1,e] 上, M ?( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 ,

) 即 M ( x)? g ( x?

] f (在 x)[ 1 , e上不存在极值 .

??????14 分

8


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