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2.2二项分布及其应用 (7课时)


2.2

二项分布及其应用
条件概率

2.2.1

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.对于古典概型,事件A在一次试验 中发生的概率如何计算? P(A)=事件A所包含的基本事件的个数÷ 基本事件的总数.

r />2.对于某一个随机事件,在不同条件 下发生的概率一般是有差异的.因此,如 何计算在一定条件下某事件发生的概率, 是我们需要进一步研究的课题.

探究(一):条件概率的概念

思考1:某三张奖券中只有一张能中奖, 现分别由三名同学无放回地各随机抽取1 张,用“Y”表示抽到中奖奖券,用“ ” 表示没有抽到中奖奖券,那么三名同学 Y 的抽奖结果共有几种可能?如何用符号 表示这些基本事件? 三种可能: YYY

, Y Y Y , Y YY

思考2:根据古典概型计算公式,第一个、 第二个、第三个同学抽到中奖奖券的概 率分别为多少?

1 都为 3

思考3:若已知第一个同学没有抽到中奖 奖券,则可能出现的基本事件有哪几种? 那么第三个同学抽到中奖奖券的概率为 多少?若已知第一个和第二个同学都没 有抽到中奖奖券,那么第三个同学抽到 中奖奖券的概率为多少?

YY Y , Y YY ,
1

1 2

思考4:记“第一个同学没有抽到中奖奖 券”为事件A,“第三个同学抽到中奖奖 券”为事件B,用P(B|A)表示当事件A发 生时,事件B发生的概率,那么P(B|A), P(B)分别等于多少?

1 P(B|A)= 2 1 P(B)= 3

思考5:若已知第一个同学没有抽到中奖 奖券,则第三个同学抽到中奖奖券的概 率增大,在理论上如何解释? 基本事件的总数减少 思考6:在事件A发生的条件下事件B发生, 等价于事件A和B同时发生,即交事件AB 发生.记n(A)和n(AB)分别表示事件A和 事件AB所包含的基本事件个数,那么 P(B|A)与n(A),n(AB)有什么关系? n (A B ) P (B | A ) = n (A )

思考7:记Ω ={ Y Y Y , YY Y , Y YY }, 根据古典概型计算公式,则P(AB)和P(A) 分别等于什么?

n (A B ) P (A B ) = n (W )

n (A ) P (A ) = n (W )

思考8:综上分析,P(B|A)与P(AB), P(A)有什么关系?如何检验你的结论?
P (A B ) P (B | A ) = P (A )

2 1 1 P ( A ) = , P ( A B ) = , P (B | A ) = 3 3 2

思考9:一般地,设A,B为两个事件,

P (A B ) 且P(A)>0,称 P (B | A ) = P (A ) 为在事件A发生的条件下,事件B发生的 条件概率,那么P(B|A)与P(A|B)相等吗?

一般不相等

知识探究(三):条件概率的性质

思考1:条件概率也是概率,那么P(B|A) 的取值范围是什么? 0≤P(B|A)≤1

思考2:对于三个事件A,B,C,若B与C 互斥,则AB与AC也互斥,由此可得 P[A(B∪C)]与P(AB)和P(AC)的关系如何? P[A(B∪C)]=P[(AB)∪(AC)] =P(AB)+P(AC)

思考3:结合条件概率的定义,如何推导 P[(B∪C)|A]与P(B|A),P(C|A)的关系?

P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A) 思考4:根据条件概率的定义,条件概率 的计算公式可作哪些简单变形?
P(AB)=P(B|A)· P(A)

P (A B ) P (A ) = P (B | A )

理论迁移

例 在5道题中有3道理科题和2道文科 题,如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽到理科题的概 率; (3)在第一次抽到理科题的条件下,第 二次抽到理科题的概率.

3 5

3 10

1 2

小结作业

1.求条件概率有两种方法,即
n (A B ) P (A B ) 或 P (B | A ) = P (B | A ) = n (A ) P (A )

解题时要适当选取.

2.条件概率的定义反映了P(B|A), P(AB)和P(A)三者之间的关系,若已知其 中两个概率,则可求得另一个概率,这 是条件概率公式的变式应用.

3.互斥事件的并事件的条件概率性 质,类似于互斥事件的概率加法公式, 并可以推广到多个互斥事件的并事件的 条件概率.

作业:P54练习:1,2,3.

条件概率习题课

知识要点 1.条件概率的概念: 设A,B为两个事件,且P(A)>0,称

P (A B ) 为在事件A发生的条 P (B | A ) = P (A ) 件下,事件B发生的条件概率.
2.条件概率的求法:
P (A B ) n (A B ) 或 P (B | A ) = P (B | A ) = P (A ) n (A )

3.条件概率的性质: (1)0≤P(B|A)≤1; (2)若事件B与C互斥,则 P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A).

应用举例

例1 某种动物活到20岁的概率是0.8, 活到25岁的概率是0.4,该类动物中路路 已有20岁,求路路能活到25岁的概率.

P (A B ) 0.4 1 P (B | A ) = = = P (A ) 0.8 2

例2 一个口袋里装有2个白球和2个黑 球,从中先后两次各随机抽取1个球. (1)若先抽到1个白球且不放回,求再 抽到1个白球的概率; (2)若先抽到1个白球后放回,求再抽 到1个白球的概率.

1 3

1 2

例3 甲工厂生产某种产品,其市场 占有率为80%,产品的合格率为95%,求 从市场上购买一件该产品是甲厂生产的 合格品的概率. 0.76

例4 一张储蓄卡的密码共有6位数字, 每位数字都可从0~9中任选一个.某人在 银行自动提款机上取钱时,忘记了密码 的最后一位数字. (1)任意按最后一位数字,求不超过2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数, 求不超过2次就按对的概率.

1 5

2 5

例5 在某次考试中,从20道题中随机 抽取6道题,若考生至少答对其中4题即 获通过,若考生至少答对其中5题即获优 秀,已知考生甲能答对其中10道题,并 在这次考试中已获通过,求考生甲获得 优秀的概率.

13 58

2.2
2.2.2

二项分布及其应用
事件的相互独立性

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.条件概率P(B|A)的含义与计算公式 分别是什么? 含义:在事件A发生的条件下,事件B发 生的条件概率;
P (A B ) n (A B ) = 公式:P (B | A ) = . P (A ) n (A )

2.若事件B与C互斥,则P[(B∪C)|A] 等于什么? P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A) 3.对于实际问题中的随机事件,在事 件A发生的条件下,事件B发生的概率有 时会有影响,有时没有影响.若事件B发 生的概率受到事件A发生的影响,我们可 以利用条件概率进行计算;若事件B发生 的概率不受事件A发生的影响,说明事件 A与B具有相互独立性,对这种现象需要 我们建立相关概念加以阐述.

探究(一):相互独立事件的概念

思考1:先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子,设事件A为“第一次抛掷得到点数是 1”,事件B为“第二次抛掷得到点数是 2”,那么事件A的发生对事件B发生的概 率是否有影响?事件A、B发生的概率分 别是多少?

1 没有影响,都为 . 6

思考2:某三张奖券中只有一张能中奖, 现分别由三名同学有放回地各随机抽取1 张,设事件A为“第一个同学没有抽到中 奖奖券”,事件B为“第三个同学抽到中 奖奖券”,那么事件A的发生对事件B发 生的概率是否有影响?事件A、B发生的 概率分别是多少?
2 1 没有影响, P (A ) = , P (B ) = 3 3

思考3:一般地,对于事件A,B,如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率,那 么P(B|A)与P(B)有什么关系?根据条件 概率计算公式可得什么结论?

P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A) P(B).

思考4:设A,B为两个事件,如果P(AB) =P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独 立.你能列举一个相互独立事件的实例吗?

探究(二):相互独立事件的性质

思考1:如果事件A与事件B相互独立,那 么P(AB)=P(A)P(B)一定成立吗?
事件A与B相互独立 ? P(AB)=P(A)P(B) 思考2:若A为必然事件或不可能事件, 则对任意事件B,事件A与事件B相互独立 吗? 相互独立

B

思考3:事件A与事件B相互独立与P(B|A) =P(B)等价吗?

不等价,因为当P(A)=0时,P(B|A)没有 意义.
思考4:若事件A与事件B相互独立,则事 件A 与 B , A 与B , A 与 B 相互独立吗?为 什么? 相互独立

P (A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P (A )P (B )

思考5:若事件A1,A2,?,An两两之间 相互独立,则P(A1A2?An)等于什么?如 何证明? P(A1A2?An)=P(A1)P(A2)?P(An) 思考6:对于事件A与B,A∪B的对立事件 是什么?若事件A与B相互独立,则 P(A∪B)等于什么?

P (A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P (A )P (B )

理论迁移

例1 某商场推出二次开奖活动,凡购 买一定价值的商品可以获得一张奖券, 每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动,如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05,求两次抽奖中下列事 件的概率. (1)两次都中奖; 0.0025 (2)恰有一次中奖; 0.095 (3)至少有一次中奖.0.0975

例2 先后抛掷一枚硬币若干次,记 “既有正面朝上又有反面朝上”为事件A, “至多有一次正面朝上”为事件B,在下 列情形下,试推断事件A与B是否相互独 立? 不相互独立 (1)先后抛掷一枚硬币2次; (2)先后抛掷一枚硬币3次.相互独立

小结作业

1.事件A与B相互独立可直观理解为: 事件A的发生对事件B发生的概率没有影 响,同时事件B的发生对事件A发生的概 率也没有影响.在实际应用中,如果事件 A与B是在相同条件下进行的随机试验, 则事件A与B相互独立.

2.公式P(AB)=P(A)P(B)可以理解为: 相互独立事件同时发生的概率,等于它 们的概率之积.如果事件A与B不相互独立, 那么事件A与B同时发生的概率应利用条 件概率求解. 3.两个事件互斥与两个事件相互独立 是完全不同的两个概念,若事件A与B互 斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),这是和事 件的加法公式;若事件A与B相互独立, 则P(AB)=P(A)P(B),这是积事件的乘法 公式.

作业:

P55练习:1,2,3,4.

相互独立事件习题课

知识要点 1.相互独立事件的概念: 设A,B为两个事件,如果P(AB)= P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.

2.相互独立事件的性质: (1)若事件A与事件B相互独立,则事件 A与 B ,A 与B, A 与 B 相互独立. (2)若事件A1,A2,?,An两两之间相 互独立,则 P(A1A2?An)=P(A1)P(A2)?P(An); (3)若事件A与B相互独立,则

P (A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P (A )P (B )

应用举例 例1 甲、乙两人各自独立地破译某个 1 密码,其中甲破译出密码的概率为 , 1 3 乙破译出密码的概率为 4 ,求: (1)甲、乙两人中恰有一人破译出密码 的概率; (2)甲、乙两人中至少有一人破译出密 码的概率.

5 12

1 2

例2 把大小相同的30个球分装在三 个盒子里,每盒10个,其中第一个盒子 里有7个球标有字母A,3个球标有字母B, 第二个盒子里有5个红球和5个白球,第 三个盒子里有8个红球和2个白球.先在第 一个盒子中任取一球,若取到标有字母A 的球,则在第二个盒子中任取一球;若 第一次取到标有字母B的球,则在第三个 盒子中任取一球.求第二次取到的球是红 59 球的概率.

100

例3 用A,B,C三个不同的电子元件 连接成一个系统,如图.当元件A正常工 作,且元件B、C至少有一个正常工作时, 该系统正常工作.已知元件A,B,C正常 工作的概率分别是0.8,0.9,0.9,求该 系统正常工作的概率.
B A

0.792

C

例4 某三支足球队中,甲胜乙的概 率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲 的概率为0.6.比赛规定第一局:甲对乙; 第二局:第一局的胜者对丙;第三局: 第二局的胜者对第一局的负者;第四局: 第三局的胜者对第二局的负者,求乙队 四连胜的概率. 0.09

例5 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工 同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等 品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1/4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加 工的零件不是一等品的概率为1/12,甲、丙 两台机床加工的零件都是一等品的概率为2/9. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的 零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各 取一个检验,求至少有一个是一等品的概率.

1 3

1 4

2 3

5 6

2.2

二项分布及其应用

2.2.3 独立重复试验与二项分布

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.事件A与事件B相互独立的充要条 件是什么? 事件A与B相互独立 ? P(AB)=P(A)P(B) 2.若事件A1,A2,?,An两两之间相 互独立,则P(A1A2?An)等于什么? P(A1A2?An)=P(A1)P(A2)?P(An)

3.在研究随机现象时,经常要在相 同条件下重复做大量试验来发现规律, 在大量重复试验中,如何计算随机事件 发生的概率,又成为一个新的研究课题, 对此,我们又需要建立相应的理论来进 行分析与阐述.

探究(一):独立重复试验

思考1:在同等条件下,将一枚硬币重复 抛掷100次,记Ai(i=1,2,?,100)表 示“第i次抛掷硬币正面朝上”,那么事 件A1,A2,?,A100两两之间是否相互独 立? 相互独立 思考2:在同等条件下,某射手连续射击 20次,记Ai(i=1,2,?,20)表示“第 i次射击不小于8环”,那么事件A1, A2,?,A20两两之间是否相互独立?

思考3:一般地,在相同条件下重复做的 n次试验称为n次独立重复试验.那么在n 次独立重复试验中,每次试验的结果具 有什么特点?

不受其它试验结果的影响,具有相同结 果的随机事件彼此相互独立.

思考4:投掷一枚图钉,设针尖向上的概 率为p,连续投掷3次,则仅出现1次针尖 向上有哪几种情形?如何计算仅出现1次 针尖向上的概率? 记Ai(i=1,2,3)表示第i次投掷针尖 向上,则
P1 = P (A1 A2 A3 ) + P (A1A2 A3 ) + P (A1 A2A3 ) = 3p(1 - p)2

思考5:在上述投掷图钉的试验中,出现 0次,2次,3次针尖向上的概率分别是多 少?P = (1 - p)3
0

P2 = 3p (1 - p)

2

P3 = p

3

思考6:在上述投掷图钉的试验中,设恰 好出现k(k=0,1,2,3)次针尖向上的 概率为Pk,则Pk的一般表达式是什么?

Pk = C p (1 - p)

k 3

k

3- k

,k=0,1,2,3.

思考7:假设在投掷图钉的试验中,每次 抛掷针尖向上的概率都是0.7,则连续抛 掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计算?

P6 = C 0.7

6 10

6

0.3

4

思考8:一般地,设在每次试验中事件A 发生的概率为p,则在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率如何计算?

Pk = C p (1 - p)

k n

k

n- k

k=0,1,2,?,n.

探究(二):二项分布

思考1:在n次独立重复试验中,每次试 验的结果是一个随机变量,如果在每次 试验中事件A发生称为“成功”,则在n 次独立重复试验中“成功”的次数X又是 一个随机变量,那么随机变量X的值域是 什么? X∈{0,1,2,?,n}

思考2:假设在每次试验中事件A发生的 概率为p,则在n次独立重复试验中,事 件A发生的次数X的分布列用哪种方式表 示较好?如何表示? 解析法: P (X = k ) = C p (1 - p)
k n k n- k

k=0,1,2,?,n. 思考3:上述概率与二项式定理有什么联 系? 表达式与二项展开式的通项一致

思考4:若随机变量X的分布列为,

P (X = k ) = C p (1 - p)

k n

k

n- k



k=0,1,2,?,n,则称X服从二项分 布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 在二项分布中,每次试验的结果有几种 可能?
两种,即A发生与A不发生

思考5:二项分布与两点分布有什么内在 联系? 两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果,两点分布是n=1时的二 项分布.

理论迁移

例1 某射手每次射击击中目标的概率 都是0.8,若这名射手射击10次,求 (1)恰有8次击中目标的概率; 0.3 (2)至少有8次击中目标的概率.(结果 保留两个有效数字); 0.68 (3)最有可能击中目标几次? 8次

例2 某车间有5台机床,在1小时内每 台机床需要工人照管的概率都是0.25, 求在1小时内这5台机床中至少有2台需要 工人照管的概率.(结果保留两个有效数 字) 0.37

小结作业 1.在独立重复试验中,若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能,则 事件A发生的次数服从二项分布;若每次 试验结果有多种可能,则可以根据需要 适当设定事件A,将其转化为二项分布.

2.二项分布B(n,p)中有两个参数, 其中n是独立重复试验的总次数,p是每 次试验事件A发生的概率,书写时n在左, p在右.

3.二项分布是来自于独立重复试验的 一个概率模型,对于求在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次的概率,就直 接利用概率公式求解.

作业:

P58练习:1,2,3,4.

独立重复试验与二项分布 习题课

知识要点 1.独立重复试验的概念:

在相同条件下重复做的n次试验.

2.独立重复试验的概率公式: 设在每次试验中事件A发生的概率为p, 则在n次独立重复试验中,事件A恰好
发生k次的概率 Pk = C p (1 - p) k=0,1,2,?,n.
k n k n- k

,

3.二项分布的概念: 若随机变量X的分布列为,

P (X = k ) = C p (1 - p)

k n

k

n- k



k=0,1,2,?,n,则称X服从二项分 布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.

应用举例

例1 一个口袋里装有2个红球和8个白 球,每次从中任取一个球,每次取球后 放回,求在3次取球中恰有1次取到红球 的概率.

1 42 48 C 鬃 ( ) = 5 5 125
1 3

例2 某单位6名员工借助互联网开展 工作,已知某时刻每个员工上网的概率 都是0.5,且每个员工上网与否相互独立, 求: (1)该时刻至少有3人同时上网的概率; (2)该时刻至少有4人同时上网的概率.

21 32

11 32

例3 某产品检验员在检验某种产品 质量时,将正品错误地鉴定为次品的概 率为0.1,将次品错误地鉴定为正品的概 率为0.2,已知某4件产品中有3件正品和 1件次品,求被检验员鉴定为2件正品和2 件次品的概率. 0.1998

例4 某地区为下岗人员免费提供财会和 计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力, 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训,已知参加过财会培 训的有60%, 参加过计算机培训的有75%,假 设每个人对培训项目的选择是相互独立的, 且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员,求此人参加过培训 的概率; 0.9 (2)任选3名下岗人员,记ξ 为3人中参加过 培训的人数,求ξ 的分布列.

ξ ~B(3,0.9)

作业:
P60习题2.2A组:3. B组:1.

随机事件的概率习题课

概率原理 1.古典概型: P(A)=事件A所包含的基本事件的个数 ÷基本事件的总数. 2.几何概型:
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.对立事件的概率:

P (A ) = 1 - P (A )

4.互斥事件只有一个发生的概率:

若事件A与B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B).
5.并事件至少有一个发生的概率:

P (A U B ) = 1 - P (AB ) =P(A)+P(B)-P(AB). 6.条件概率: P (A B ) n (A B ) P (B | A ) = = P (A ) n (A )

7.独立事件同时发生的概率: 若事件A与B相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B).
8.独立重复试验恰好发生k次的概率: 若在每次试验中事件A发生的概率为p, 则在n次独立重复试验中,事件A恰好发 k k n- k 生k次的概率为Pk = C n p (1 - p) , k=0,1,2,?,n.

应用举例

例1某车间甲组有10名工人,其中有4 名女工人;乙组有10名工人,其中有6名 女工人.现分别从甲、乙两组中各抽取2 名工人进行技术考核. (1)求从甲组抽取的工人中恰有1名女 工人的概率; (2)求抽取的4名工人中恰有2名男工人 的概率. 8 31

15

75

例2(09北京卷文)某学生在上学路 上要经过4个路口,假设在各路口是否遇 到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率 都是1/3,遇到红灯时停留的时间都是 2min,求这名学生在上学路上: (1)到第三个路口时首次遇到红灯的概 率; (2)因遇到红灯停留的总时间至多是 4min的概率. 4 8

27

9

例3(09天津卷文)为了了解某工厂 开展群众体育活动的情况,拟采用分层 抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个 工厂进行调查,已知A,B,C三个区中分 别有18,27,18个工厂. (1)求从A,B,C三个区中分别抽取的 工厂个数; 2,3,2. (2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个 进行调查结果的对比,求这2个工厂中至 11 少有1个来自A区的概率.

21

例4(09重庆卷文)某单位为绿化环 境,移栽了甲、乙两种大树各2珠,设甲、 乙两种大树移栽的成活率分别为5/6和 4/5,且各株大树是否成活互相不影响, 求移栽的4株大树中: (1)至少有1株成活的概率; (2)两种大树各成活1株的概率.

899 900

4 45

例5(09江西卷文)某公司拟资助三位大 学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对 每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结 果为“支持”或“不支持”的概率都是0.5. 若某人获得两个“支持”,则给予10万元的 创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资 助.求: (1) 该公司的资助总额为零的概率; (2)该公司的资助总额超过15万元的概率.

1 64

11 32

例6(08山东卷理)甲、乙两队参加 奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个 问题,答对者为本队赢得一分,答错得 零分.假设甲队中每人答对的概率均为 2/3,乙队中3人答对的概率分别为2/3, 2/3,1/2,且各人答题正确与否相互之 34 间没有影响. X~B(3,2/3) (1)求甲队的总得分X的分布列;248 (2)设“甲、乙两个队总得分之和等于 3”为事件A,“甲队总得分大于乙队总 得分”为事件B,求P(AB).


第二章2.2二项分布及其应用练习题

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二项分布及其应用

二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。课时作业...( ) 3 A.4 4 C.5 2 B.3 7 D.10 解析:...P=C4 ×0.83×0.2+C4 4×0.8 =0.819 2. ...

课时作业68 二项分布及其应用

课时作业 68 二项分布及其应用 时间:45 分钟 分值...P=C4 ×0.83×0.2+C4 4×0.8 =0.819 2. ...(每小题 5 分,共 15 分) 7.某种电路开关闭合...