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第三讲 三角形“四心”


三角形“四心”
一、知识要点 二、应用举例
例1 例2 例3

三、课堂小结 四、练习作业 五、作业答案

[知识要点]

1.新课讲解

三角形“四心”

外心

重心

内心:

垂心:

>
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[知识要点]

一:外心
外心定义:三角形三边 中 的 垂线相交于一点,这点 叫 就 做三角形的外心。
B

A

F

E

O
D

C

A
?

性质:外心到三个 顶点的距离相等
O

OA ? OB ? OC ? R
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B
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C


[知识要点]

位置:

1)锐角三角形在三角 形内 2)直角三角形在斜边 中点
3)钝角三角形在三角 形外
A
?

A

O C
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?O
B
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A B
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B

C

O
结束

?

C

锐角三角形
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直角三角形

钝角三角形


[知识要点]

二:重心

A F ?
?

G
?

?

E
C

B

D

重心定义:三角形三边 中线交于一点, 这点叫三角形重心
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[知识要点]

重心性质:重心与三角 形顶点距离 是它与对边中点距离的 二倍

A
?

AG ? 2GD
G

B
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D( BC中点)
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C

位置:在三角形内
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[知识要点]

三:内心

内心定义:三角形三个 内角平分线 相交于一点,这点叫三 角形的内心
A

性 质: 内 心 到 三 边 的距离相等(内切 圆圆心)
C
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B
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O
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[知识要点]

四:垂心

A F H E
D

B

C

垂心定义:三角形中三 条高线交 于.一点,这点叫三角 形的垂线
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[知识要点]

垂心性质 连接顶点和H(垂心) : 于 三边都垂直
位置

1)锐角三角形在三角 形内 2)直角三角形在直角 顶点 3)钝角三角形在三角 形外
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[应用举例]

例题1

1.正三角形是特殊三 角形, 它具有 " 四心"的 重合 性质; 2.在三角形ABC中AD、BE、CF相 , 交于一点G. (1)如果G为外心, 那么G到A, C 的 B, 距离相等.
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[应用举例]

例题1

( 2 ) 如 果 G 为 内 心 , 么 A D 平分 ?B AC 那 且 G 到 三边 的 距 离 相 等 ; ( 3 ) 如 果 G 为 重 心 , 么 A D 平分 B C, 那 且 G A ? 2 G D; ( 4 ) 如 果 G 为 垂 心 , 么 A D 垂直 B C. 那

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[应用举例]

例题2
A

已知RtΔABC中, C为 ? 直角, 斜边上的高长CH 24 ? ,则ΔABC, ΔHCA, 5 ΔHCB的内切圆半径 E 之 和为 . C
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O
D

F
r0

B

结束



[应用举例]

解 析: 设 Δ A B C , H C AΔ H C B 的 内 切 圆 Δ , 半 径 分 别 为 0 , 1, 2 . 则 rr r 1 r0 ? ( A C ? B C ? A B ) , 2 1 r1 ? ( A H ? C H ? A C ) , 2 1 r2 ? ( B H ? C H ? B C ) 2 24 ?r0 ?r1 ?r2 ? C H ? 5
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[应用举例]

例题3

若 G, H分 别 是 Δ ABC的 重 , 心 , 心 , L, 心内 垂 且 AB ? AC, 关 系 式 则 (甲 )S G B ? SΔA G C, ΔA (乙 )S B C ? SΔA L C, ΔA (丙 )S B C ? SΔA H C ? SΔB H C ? SΔC H A ΔA 中, 确的有( B ) 正

A.0个
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B.1个 C.2个 D.3个
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[课堂小结]

(1)外心, 内心, 重心, 垂心的定义;

(2)" 四心"的性质以及位置.

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[练习作业]

p7练习
初高中数学衔接教学讲义第六讲
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[预习作业]


三角形四心向量形式

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