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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式

时间:2017-09-25


(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等 关系与不等式教师用书

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0?a > b ? ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b

(a,b∈R);

? ?a (2)作商法? =1?a = b b a ? ?b<1?a < b
a >1?a > b b
2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性

(a∈R,b>0).

性质内容

特别提醒 ? ? ?

a>b?b<a a>b,b>c? a>c a>b?a+c>b+c a>b? ?
? c>0? ?? ac>bc

可乘性

注意 c 的符号

a>b? ?
? c<0?

?? ac<bc

同向可加性

? a>b?

c>d? ?

?? a+c>b+d

?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 【知识拓展】

? a>b>0? ? c>d>0?

?? ac>bd

?

a>b>0? an>bn(n∈N,n≥1) a>b>0? n a> b(n∈N,n≥2) n a,b 同为正数

1

不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b,ab>0? < .

a b

1 1 ②a<0<b? < .

a b

③a>b>0,0<c<d? > . 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < .

a b c d

b x a

(2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 ① < ② >

b b+m b b-m ; > (b-m>0). a a+m a a-m a a+m a a-m ; < (b-m>0). b b+m b b-m

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数 a,b 之间,有且只有 a>b,a=b,a<b 三种关系中的一种.( √ ) (2)若 >1,则 a>b.( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × (5)a>b>0,c>d>0? > .( √ 1 1 (6)若 ab>0,则 a>b? < .( ) )

a b

a b d c

) √ )

a b

1.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是( 1 1 A. >

)

a b

B.

1 1 > a-b a

C.|a|>-b 答案 B 解析 由题设得 a<a-b<0,所以有 1

D. -a> -b

a-b a

1 < 成立,

2



1 1 > 不成立. a-b a
2 2

2.(教材改编)若 a,b 都是实数,则“ a- b>0”是“a -b >0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析

)

a- b>0? a> b
2 2

? a>b? a >b , 但由 a -b >0
2 2

a- b>0.
)

3.若 a,b∈R,且 a+|b|<0,则下列不等式中正确的是( A.a-b>0 C.a -b <0 答案 D 解析 由 a+|b|<0 知,a<0,且|a|>|b|, 当 b≥0 时,a+b<0 成立, 当 b<0 时,a+b<0 成立,∴a+b<0 成立.故选 D.
2 2

B.a +b >0 D.a+b<0

3

3

1 2 2 4 . ( 教材改编 ) 若 0<a<b ,且 a + b = 1 ,则将 a , b , , 2ab , a + b 从小到大排列为 2 ________________. 1 2 2 答案 a<2ab< <a +b <b 2 解析 ∵0<a<b 且 a+b=1, 1 ∴a< <b<1,∴2b>1 且 2a<1, 2 ∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a +2a
2

? 1?2 1 1 =-2?a- ? + < . ? 2? 2 2
1 即 a<2ab< , 2 1 1 2 2 2 又 a +b =(a+b) -2ab=1-2ab>1- = , 2 2
2 2 1 即 a +b > , 2

a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
3

又 2b-1>0,b-1<0,∴a +b -b<0, ∴a +b <b, 1 2 2 综上,a<2ab< <a +b <b. 2
2 2

2

2

题型一 比较两个数(式)的大小 例 1 (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定 ) )

ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a= ,b= ,c= ,则( 3 4 5 A.a<b<c C.c<a<b 答案 (1)B (2)B 解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N.

B.c<b<a D.b<a<c

b 3ln 4 (2)方法一 易知 a,b,c 都是正数, = a 4ln 3
=log8164<1, 所以 a>b;

b 5ln 4 = =log6251 024>1, c 4ln 5
所以 b>c.即 c<b<a. ln x 1-ln x 方法二 对于函数 y=f(x)= ,y′= , 2

x

x

易知当 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5), 即 c<b<a.
4

思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方 再作差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)函数的单调性法: 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值, 根据函数单调性得出大 小关系. (1)设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是( A.A≤B C.A<B
16 18

)

B.A≥B D.A>B

(2)若 a=18 ,b=16 ,则 a 与 b 的大小关系为________. 答案 (1)B (2)a<b 解析 (1)∵A≥0,B≥0,

A2-B2=a+2 ab+b-(a+b)=2 ab≥0,
∴A≥B. (2) =

a 1816 18 16 1 =( ) b 1618 16 162

9 16 1 16 9 16 =( ) ( ) =( ) , 8 2 8 2 ∵ 9 16 ∈(0,1),∴( ) <1, 8 2 8 2
16 18

9

∵18 >0,16 >0, ∴18 <16 ,即 a<b. 题型二 不等式的性质 例 2 (1)已知 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是( A.ab>ac C.cb <ab
2 2 16 18

)

B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0

1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:

a b

①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ab<b 中,正确的不等式有( A.①② B.②③ C.①④ D.③④

2

)

答案 (1)A (2)C 解析 (1)由 c<b<a 且 ac<0 知 c<0 且 a>0.
5

由 b>c 得 ab>ac 一定成立. 1 1 (2)因为 < <0,所以 b<a<0,a+b<0,ab>0,

a b

所以 a+b<ab,|a|<|b|,在 b<a 两边同时乘以 b, 因为 b<0,所以 ab<b .因此正确的是①④. 思维升华 解决此类问题常有两种方法:一是直接利用不等式的性质逐个验证;二是利用特 殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④a(d -c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 方法一 ∵a>0>b,c<d<0, ∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴ + = ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), ∴a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C. 方法二 取特殊值. 题型三 不等式性质的应用 命题点 1 应用性质判断不等式是否成立 例 3 已知 a>b>0,给出下列四个不等式: ①a >b ;②2 >2
2 2 2

a b d c

)

a b ac+bd <0,故②正确. d c cd

a

b-1

;③ a-b> a- b;④a +b >2a b. ) B.①②④ D.②③④

3

3

2

其中一定成立的不等式为( A.①②③ C.①③④ 答案 A

解析 方法一 由 a>b>0 可得 a >b ,①成立;
6

2

2

由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2 在 R 上是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即 2 >2 ∵a>b>0,∴ a> b, ∴( a-b) -( a- b)
2 2

x

a

b-1

,②成立;

=2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立; 若 a=3,b=2,则 a +b =35,2a b=36,
3 3 2

a3+b3<2a2b,④不成立.
故选 A. 方法二 令 a=3,b=2, 可以得到①a >b ,②2 >2
2 2

a

b-1

,③ a-b> a- b均成立,而④a +b >2a b 不成立,故选 A.

3

3

2

命题点 2 求代数式的取值范围 例 4 已知-1<x<4,2<y<3,则 x-y 的取值范围是______,3x+2y 的取值范围是______. 答案 (-4,2) (1,18) 解析 ∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2, ∴-4<x-y<2. 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6, ∴1<3x+2y<18. 引申探究 1.若将已知条件改为-1<x<y<3,求 x-y 的取值范围. 解 ∵-1<x<3,-1<y<3, ∴-3<-y<1,∴-4<x-y<4. 又∵x<y,∴x-y<0,∴-4<x-y<0, 故 x-y 的取值范围为(-4,0). 2.若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求 3x+2y 的取值范围. 解 设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 5 m= , ? ? 2 ∴? 1 n= . ? ? 2

则?

?m+n=3, ? ? ?m-n=2,

5 1 即 3x+2y= (x+y)+ (x-y), 2 2 又∵-1<x+y<4,2<x-y<3,

7

5 5 1 3 ∴- < (x+y)<10,1< (x-y)< , 2 2 2 2 3 5 1 23 ∴- < (x+y)+ (x-y)< , 2 2 2 2 3 23 即- <3x+2y< , 2 2 3 23 ∴3x+2y 的取值范围为(- , ). 2 2 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等 式的性质. ②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找 到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如 对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取 值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范 围,是避免错误的有效途径. (1)若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是( A. C. 1 1 > a-b b |b| |b|+1 < |a| |a|+1 B.a <ab D.a >b
n n
2

)

(2)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ① > ;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是( A.① C.②③ 答案 (1)C (2)D 解析 (1)(特殊值法)取 a=-2,b=-1,逐个检验,可知 A,B,D 项均不正确; |b| |b|+1 C 项, < ?|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1) |a| |a|+1 ?|a||b|+|b|<|a||b|+|a|?|b|<|a|, ∵a<b<0,∴|b|<|a|成立,故选 C. ) B.①② D.①②③

c c a b

c

c

8

1 1 (2)由不等式性质及 a>b>1 知 < ,

a b

又 c<0,∴ > ,①正确; 构造函数 y=x , ∵c<0,∴y=x 在(0,+∞)上是减函数, 又 a>b>1,∴a <b ,②正确; ∵a>b>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.
c c c c

c c a b

6.利用不等式变形求范围

典例 设 f(x)=ax +bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________. 错解展示
? ?1≤a-b≤2, 解析 由已知得? ?2≤a+b≤4, ?

2

① ②

①+②得 3≤2a≤6,∴6≤4a≤12, 又由①可得-2≤-a+b≤-1, ②+③得 0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0, 又 f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12, ∴f(-2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错 解析 方法一 由?
?f?-1?=a-b, ? ?f?1?=a+b, ?



1 ? ?a=2[f?-1?+f?1?], 得? 1 ?b=2[f?1?-f?-1?], ? ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.

9

?1≤a-b≤2, ? 方法二 由? ?2≤a+b≤4 ?

确定的平面区域如图阴影部分所示,

3 1 当 f(-2)=4a-2b 过点 A( , )时, 2 2 3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10. 答案 [5,10] 纠错心得 在求式子的范围时, 如果多次使用不等式的可加性, 式子中的等号不能同时取到, 会导致范围扩大.

1.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc C.a-c>b-d 答案 D 解析 由不等式的同向可加性得 a+c>b+d. B.ac>bd D.a+c>b+d

)

2.(2016·包头模拟)若 6<a<10, ≤b≤2a,c=a+b,那么 c 的取值范围是( 2 A.9≤c≤18 C.9≤c≤30 答案 D 3a 解析 ∵c=a+b≤3a 且 c=a+b≥ , 2 3a ∴9< ≤a+b≤3a<30. 2 3.已知 x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是( ) B.15<c<30 D.9<c<30

a

)

10

A.xy>yz C.xy>xz 答案 C

B.xz>yz D.x|y|>z|y|

解析 ∵x>y>z 且 x+y+z=0,∴x>0,z<0, 又 y>z,∴xy>xz. 4.设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由(a-b)·a <0? a≠0 且 a<b,∴充分性成立; 由 a<b? a-b<0,当 0=a<b 时 (a-b)·a <0,必要性不成立. )
2 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π π β 5.设 α ∈(0, ),β ∈[0, ],那么 2α - 的取值范围是( 2 2 3 5π A.(0, ) 6 C.(0,π ) 答案 D β π 解析 由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α - <π . 6 3 6 3 6.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc B.若 > ,则 a>b 1 1 3 3 C.若 a >b 且 ab<0,则 >
2 2

π 5π B.(- , ) 6 6 π D.(- ,π ) 6

)

a b c c

a b a b

1 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < 答案 C 解析 当 c=0 时,可知 A 不正确; 当 c<0 时,可知 B 不正确; 对于 C,由 a >b 且 ab<0,知 a>0 且 b<0, 1 1 所以 > 成立,C 正确;
3 3

a b

当 a<0 且 b<0 时,可知 D 不正确.
11

7.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+

)

b b

a a

B. > D.

b b+1 a a+1
2a+b a > a+2b b

1 1 C.a- >b- 答案 A

1 解析 取 a=2,b=1,排除 B,D;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增函数,但函数

x

g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定成立, x
1 1 1 1 即 a- >b- ?a+ >b+ ,但 g(a)>g(b)未必成立,故选 A.

1

a

b

b

a

8.若 a>b>0,则下列不等式一定不成立的是( 1 1 A. <

)

a b
2 2

B.log2a>log2b D.b< ab<

C.a +b ≤2a+2b-2 答案 C

a+b
2

<a

解析 ∵(a-1) +(b-1) >0(由 a>b>0,得 a,b 不能同时为 1), ∴a +b -2a-2b+2>0,∴a +b >2a+2b-2, ∴C 项一定不成立. 9.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac >bc ;②若 ac >bc ,则 a>b; ③若 a>b,则 a·2 >b·2 . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①不对,因为 c 可以为 0;②对,因为 c >0;③对,因为 2 >0. 10. 已知 a=log23+log2 3, b=log29-log2 3, c=log32, 则 a, b, c 的大小关系是________. 答案 a=b>c 解析 ∵a=log23+log2 3=log23 3,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

c

c

c

b=log29-log2 3=log23 3,
∴a=b, 又 a=log23 3>1,c=log32<1, ∴a>c.故 a=b>c. 11.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题:

12

①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. 其中正确的命题是________. 答案 ①②③ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0, ∴ - =

c d a b

c d a b

c d a b

c d bc-ad >0,∴①正确; a b ab c d a b bc-ad >0, ab

∵ab>0,又 - >0,即

∴bc-ad>0,∴②正确; ∵bc-ad>0,又 - >0,即

c d a b

bc-ad >0, ab

∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确. 12.设 a>b>c>0,x= a +?b+c? ,y= b +?c+a? ,z= c +?a+b? ,则 x,y,z 的大小关系是________.(用“>”连接) 答案 z>y>x 解析 方法一 y -x =2c(a-b)>0,∴y>x. 同理,z>y,∴z>y>x. 方法二 令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20,
2 2 2 2 2 2 2 2

z= 26,故 z>y>x.
13.甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半 时间跑步;如果两人步行、跑步速度均相同,则谁先到教室? 解 设路程为 s,跑步速度为 v1,步行速度为 v2,甲到教室所用时间为 t 甲,乙到教室所用时 间为 t 乙.

t 甲=

+ = 2v1 2v2

s

s

s?v1+v2? , 2v1v2

t乙 t乙 2s s= ·v1+ ·v2? t 乙= , 2 2 v1+v2 t甲 ?v1+v2?2 ?2 v1v2?2 ∴ = ≥ =1. t乙 4v1v2 4v1v2
∴t 甲≥t 乙,当且仅当 v1=v2 时“=”成立. 由实际情况知 v1>v2,∴t 甲>t 乙.∴乙先到教室.

13

*14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余 人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队的 原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解 设该单位职工有 n 人(n∈N ),全票价为 x 元/人,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 则 y1=x+ x·(n-1) 4 1 3 = x+ nx, 4 4
*

y2= nx.
1 3 4 所以 y1-y2= x+ nx- nx 4 4 5 1 1 = x- nx 4 20 1 n = x(1- ). 4 5 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费同等优惠; 当单位去的人数多于 5 人时,甲车队收费更优惠; 当单位去的人数少于 5 人时,乙车队收费更优惠.

4 5

14


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