nbhkdz.com冰点文库

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解


绝密★启用前

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上

所粘贴的条形码中名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地 方填写姓名和座位号两位。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂具他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹 .... 清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色笔迹签字笔 ... 描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草 .................... 稿纸上答题无效。 ....... 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 S=4π R2 P(A+B)=P(A)+P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 球的体积公式 V=

4 π R2 3 4 球的体积公式 V= π R2 3
其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)若 A 为全体正实数的集合,B=(-2,-1,1,2) ,则下列结论中正确的是 (A)A∩B={-2,-1} (B) RA)∪B=(-∞,0) (C (C)A∪B={0,+∞} (D) RA)∩B={-2,-1} (C (2)若 AB =(2,4) AC =(1,3) , ,则 BC = (A) (1,1) (B) (-1,-1) (C) (3,7) (D) (-3,-7) (3)已知 m,n 是两条不同直线,α ,β ,Υ 是三个不同平面.下列命题中正确的是 (A)若α ⊥Υ ,β ∥Υ ,则α ∥β (B)若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n (C)若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n (D)若 m∥α ,m∥β ,则 a∥β 2 (4)a<0 是方程 ax +1=0 有一个负数根的 (A)必要不充分条件 (B)充分必要条件 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 大小为 (A)

??? ?

????

??? ?

2? 3

(B)

5? 6

(C)

3? 4
x ?1

(D)

? 3

(6) 函数 f(x)=(-1)2+1(x≤0)的反函数为 (A)f--1(x)=1(x≥1) (B) f--2(x)=1+ (x≥1)

(C)f--1(x)=1- x ? 1

(x≥2)

(B) f--1(x)=1+

x ?1

(x≥2)

(7)设(1+x)8=a0+a1x+?+a8x8,则 a0,a1, ?a8 中奇数的个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

? )图象的对称轴方程可能是 3 ? ? ? (A)x=(B)x=(C)x= 12 6 6 1 (9)设函数数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x) x
(8)函数 y=sin(2x+

(D)x=

? 12

(A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数(D)是减函数 (10)若过 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范 围为 (A) (- 3 , 3 ) (B) [- 3 , 3 ] (C) (-

3 3 3 3 , ) (D) [, ] 3 3 3 3

? x ? 0, ? (11)若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动 ?y ? x ? 2 ?
直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为

(A)

3 4

(B)1

(C)

7 4

(D)2

12.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为 (A)C38A66 (B)C23A23 (C)C28A26 (D)C28A25

(在此卷上答题无效) 绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色笔迹签字在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)函数 f(x)= 2

| x ? 2 | ?1 的定义域为 log ? x ? 1?

.

(14)已知双曲线

x2 y2 =1 的离心率为 3 ,则 n= ? n 12 ? n

( 15 ) 在 数列 {an}中 , an=4nab= .

5 ,a1+ a2+? + aa=an2+bn,n ∈N*, 其 中 a, b 为常 数 , 则 2

(16) 已知点 A, C, 在同一球面上, B, D AB⊥平面 BCD, BC⊥CD.若 AB=6,AC=2 13 ,AD=8, 则 B,C 两点间的球面距离是 . 三、解答题本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=cos(2x-

? ? ? )+2sin(x- )sin(x- ). 3 4 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[-

? ? , ]上的值域. 12 2

(18) (本小题满分 12 分) 在某次普通话测试中,为测试字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片上印有一个汉字的 拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片中随机抽取 1 张, 测试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行,求这二位被测试者抽取的卡片上,拼 音都带有后鼻音“g”的概率; (Ⅱ)若某位被测试者从这 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这 3 张卡片上,拼音带有后 鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC =

? ,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. 4

(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其中 a 为实数. 3 2

(Ⅰ)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值;
2 (Ⅱ)已知不等式 f ?( x)>x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 设数列{an}满足 a1=a, an+1=can+1-c, n? N*,其中 a,c 为实数,且 c ? 0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

1 1 , e ? , bn ? n(1 ? an ), n ?N*,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 2 2 (Ⅲ)若 0<an<1 对任意 n? N*成立,证明 0<c ? 1.
(Ⅱ)设 a ?

(22) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,其相应于焦点 F(2,0)的准线方程为 x=4. a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知过点 F1(-2,0)倾斜角为 ? 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点. 求证: AB ?

4 2 ; 2 ? cos 2 ?

(Ⅲ)过点 F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A、B 和 D、E,求 AB ? DE 的最小值.

详解如下: 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1) .若 A 为位全体正实数的集合, B ? ??2, ?1,1, 2? 则下列结论正确的是( A. A ? B ? ?2, ?1? C. A ? B ? (0, ??) )

?

B. (CR A) ? B ? (??, 0) D. (CR A) ? B ? ?2, ?1?

?

解: C R A 是全体非正数的集合即负数和 0,所以 (CR A) ? B ? ?2, ?1? (2) .若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) , 则 BC ? ( A. (1,1)

?

??? ?

????

??? ?

) D. (-3,-7)

B. (-1,-1) C. (3,7)

??? ???? ??? ? ? 解:向量基本运算 BC ? AC ? AB ? (1,3) ? (2, 4) ? (?1, ?1)
(3) .已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? )

解:定理:垂直于一个平面的两条直线互相平行,故选 B。 (4) a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( .
2



A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解:当 ? ? 2 2 ? 4a ? 0 ,得 a<1 时方程有根。a<0 时, x1 x 2 ? 时,方程根为 x ? ?1 ,所以选 B

1 ? 0 ,方程有负根,又 a=1 a


(5) .在三角形 ABC 中, AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为( A.

2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3

52 ? 32 ? 7 2 1 2? ? ? , ?BAC ? 解:由余弦定理 cos ?BAC ? 2? 5? 3 2 3
(6) .函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 0) 的反函数为
2

A. f C. f

?1

( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 2)

B. f D. f

?1

( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 2)

?1

?1

解:由原函数定义域是反函数的值域, f 1,

?1

( x) ? 0 ,排除 B,D 两个;又原函数 x 不能取

f ( x) 不能取 1,故反函数定义域不包括 1,选 C .(直接求解也容易)
(7) .设 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? ? ? a8 x , 则 a0, a1 ,? , a8 中奇数的个数为(
8 8



A.2

B.3

C.4

D.5

i 0 8 解:由题知 ai ? C8 (i ? 0,1,2,?8) ,逐个验证知 C8 ? C8 ? 1 ,其它为偶数,选 A。

(8) .函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? 解: y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
B. x ? ?



?
6

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

?
3

) 的对称轴方程为 2 x ?

?

3

? k? ?

?
2

,即 x ? )

k? ? ? ? , k ? 0, x ? 2 12 12

(9) .设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值 解:∵ x ? 0 ∴ ?2 x ? 0, ?

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x
B.有最小值

C.是增函数

D.是减函数

1 1 1 ? 0 , f ( x) ? 2 x ? ? 1 ? ?[(?2 x) ? (? )] ? 1 ,由基本不等式 x x x

1 1 f ( x) ? ?[(?2 x) ? (? )] ? 1 ? ?2 (?2 x)(? ) ? 1 ? ?2 2 ? 1 有最大值,选 A x x
(10)若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范
2 2

围为(

)A. [? 3, 3] B. (? 3, 3)

C. [ ?

3 3 , ] 3 3

D. ( ?

3 3 , ) 3 3
2 2

解:解:设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有 公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 得 4k ? k ? 1, k ?
2 2 2



1 ,选择 C 3

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。

( 为则 从直 ? a ? 1 不当 -线y ) 等a 2 1x 若式 连 组 续 表 变 示 化 的 到 平 时 面 , 区 动 域 ,

扫 中 B.1 过的 那 部 分 区 域 的 面 积 为 ( ) A .

C.

D.5

动直线 x ? y ? a 扫过 C. D.5

中的那部分区域的面积为 (

)A.

B



1

解:如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形。 (阴影部分面积比 1 大,比 S? OAB ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 小,故选 C,不需要算出来) 2

(12)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( ) A. C8 A6
2 6

B. C8 A3

2

2

C. C8 A6

2

2

D. C8 A5

2

2

解:从后排 8 人中选 2 人共 C 82 种选法,这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不变, 则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人,有 5 种插法;余下的一人则要插入前排 5 人的空挡,有
2 6 种插法,故为 A6 ;综上知选 C。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. (13) .函数 f ( x ) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



解:由题知: log 2 ( x ? 1) ? 0, x ? 1 ? 0且x ? 1 ? 0 , | x ? 2 | ?1 ? 0 ;解得:x≥3. (14) .已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n

解: a ? n, b ? 12 ? n, c ? a ? b ? 12 ,离心率 e ?
2 2 2 2 2

c 12 ? ? 3 ,所以 n ? 4 a n

(15) 在数列 {an } 在中, an ? 4n ? 数, 则 ab ?

5 2 * , a1 ? a2 ? ? an ? an ? bn , n ? N ,其中 a, b 为常 2

5 3 解:∵ a n ? 4n ? , ∴ a1 ? , 从而 S n ? 2 2 1 ∴a=2, b ? ? ,则 ab ? ?1 2

3 5 n( ? 4n ? ) 2 2 ? 2n 2 ? n 。 2 2

(16)已知点 A, B, C, D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是 解:如图,易得 BC ?

(2 13) 2 ? 62 ? 4 , BD ? 82 ? 62 ? 2 7 ,

∴CD ? 12 ,则此球内接长方体三条棱长为 AB、BC、CD(CD
的 对 边 与 CD 等 长 ), 从 而 球 外 接 圆 的 直 径 为

2 R ? 62 ? 42 ? ( 12) 2 ? 8 , 则 BC 与球心构成的大圆如图, R=4
因为△OBC 为正三角形,则 B,C 两点间的球面距离是

4? 。 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) . 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [? 解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

, ] 上的值域 12 2

? ?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? s i n (x2?
(2)? x ? [?

?
6

)

∴周期T ?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3 6 ) 在区间 [?

? ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

3 ? 1 3 ? ? f ( ) ? ,∴当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2 2 2 2 12

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

3 ,1] , ] 上的值域为 [? 2 12 2

? ?

(18)(本小题满分 12 分) . 在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片印有一个汉 字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽 取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。 (Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张,求这三张卡片上,拼音带有 后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。 解: 每次测试中, (1) 被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上, 拼音带有后鼻音 “g”

3 ,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的, 10 3 3 3 27 因而所求的概率为 ? ? ? 10 10 10 1000
的概率为 (2)设 Ai (i ? 1, 2,3) 表示所抽取的三张卡片中,恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事 件,且其相应的概率为 P( Ai ), 则

P( A2 ) ?
因而所求概率为

1 C7C32 7 ? 3 C10 40

,

P( A3 ) ?

3 C3 1 ? 3 C10 120

7 1 11 P( A ? A ) ? P A )? P 3A ) ( 2 ( ? ? ? 2 3 40 120 60
O

(19)(本小题满分 12 分 . 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,
M

A B C

D

?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。

(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 解:方法一(综合法) (1)? CD‖AB, 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角) ∴?M D C 作 AP ? CD于P, 连接 MP

O

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
M

∵ ?ADP ?

?
4

,∴DP =
2 2

2 2
A

Q D P C

∵ MD ? MA ? AD ? 2 ,

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3

B

(2)∵ AB‖ 平面OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等, ∴ 连接 OP,过点 A 作 AQ ? OP 于点 Q,

∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP, ∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵ OP ? OD 2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 ? , AP ? DP ? 2 2 2

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,

2 2 2 , 0), D( ? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1) , 2 2 2
z O M

(1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ? 2 2 ∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD 1 ? , ∴ c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 AB ? MD 2

∴ AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

A x B C

D P y

??? ? ???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) (2) ∵ OP ? (0, 2 2 2
??? ? ???? OP OD ∴设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? ? 0, n? ? 0

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2
取 z ? 2 ,解得

设点 B 到平面 OCD 的距离为 投影的绝对值,

,则

为 OB 在向量

??? ?

上的

??? ? OB ? n 2 ??? ? ∵OB ? ( 1 , 0 , ,2 ∴ d ? ? ) ? . n 3
所以点 B 到平面 OCD 的距离为

2 3

(20)(本小题满分 12 分) . 设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ) 已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立, 求实数 x 的取值范围。
' 2

解: (1) f ( x) ? ax ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,所以 f (1) ? 0
' 2

'

即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1 (2) 方法一 由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

即 a( x ? 2) ? x ? 2 x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

设 g (a) ? a( x ? 2) ? x ? 2 x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g ( a ) 为单调递增函数
2 2

(a ? R)
所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0?

?

方法二 由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

即 a( x ? 2) ? x ? 2 x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

于是 a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x2 ? 2 x ?2

∴?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 ? x | ?2 ? x ? 0?
(21)(本小题满分 12 分) . 设数列 ? an ? 满足 a0 ? a, an ?1 ? can ? 1 ? c, c ? N , 其中 a, c 为实数,且 c ? 0
*

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式 (Ⅱ)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; 2 2

* (Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1

解 (1) 方法一:

∵ an ?1 ? 1 ? c(an ? 1)

∴当 a ? 1 时, ?an ? 1? 是首项为 a ? 1,公比为 c 的等比数列。
∴ an ? 1 ? (a ? 1 )n?1 ,即 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。 c

∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二










1



n?2
1 )
1





an ? 1 ? c an ?1 ? ( ? c 2 an ? ? 1 ?2? ?) c n ? a ? ∴ an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1

? a ? c n? ( 1

(

1

n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。

∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。
(2) 由(1)得 bn ? n(1 ? a)c n ?1 ? n( ) n

1 2

1 1 1 ? 2( )2 ? ? ? n( )n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? ( )2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( )2 ? ? ? ( )n ? n( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n?1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) 2 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
(3) 由(1)知 an ? (a ? 1)c 若 0 ? (a ? 1)c
n ?1
n ?1

?1

? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)c n ?1 ? 1

∵ 0 ? a1 ? a ? 1,
由c
n ?1

∴ 0 ? c n?1 ?

1 (n ? N * ) 1? a

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法
x

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c 于无穷大

n ?1



∴cn?1 ?

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾。∴c ? 1 。 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 n ?1 n ?1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 即 n ? 1 ? log c (*) (n ? N * ) 恒成立 1? a
∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴c ? 1

∴0 ? c ? 1
(22)(本小题满分 14 分) .

设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 其相应于焦点 F (2,0) 的准线方程为 x ? 4 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知过点 F1 (?2, 0) 倾斜角为 ? 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,求证:

AB ?

4 2 ; 2 ? COS 2?

( Ⅲ ) 过 点 F1 (?2, 0) 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 分 别 交 椭 圆 C 于 A, B 和 D, E , 求

AB ? DE
的最小值 解 : (1)由题意得:

?c ? 2 ? 2 ? 2 ?a ?a ? 8 ?4 ∴? 2 ? ?b ? 4 ? ?c 2 2 2 ?a ? b ? c ?

∴椭圆 C 的方程为
(2)方法一:

x2 y2 ? ?1 8 4

由(1)知 F1 (?2,0) 是椭圆 C 的左焦点,离心率 e ? 设 l 为椭圆的左准线。则 l : x ? ?4

2 2

作 AA1 ? l 于A1 , BB1 ? l 于B1 , l 与 x 轴交于点 H(如图)

∵点 A 在椭圆上
∴ AF1 ? 2 AA1 2
2 ( FH1 ? AF1 cos ? ) 2 2 AF1 cos ? 2

?

? 2?

∴ AF1 ?

2 2 ? cos ?

同理 BF1 ?

2 2 ? cos ?
2 2 4 2 ? ? 。 2 2 ? cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos ?

∴ AB ? AF1 ? BF1 ?
方法二: 当? ?

?
2

时,记 k ? tan ? ,则 AB : y ? k ( x ? 2)

将其代入方程

x 2 ? 2 y 2 ? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8(k 2 ? 1) ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是此二次方程的两个根.

∴ x1 ? x2 ? ?

8k 2 8(k 2 ? 1) , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 A B ? ( 1 ? 2 )2 ? ( 1 ? y2 ? ( 1 ? 2k ) ( x ? 2x ) ? x x y 2) 1

( 1 2 k )1[x( ? 2 2x ?
................(1)

) ?

1

x2 x 4

]

?8k 2 2 32(k 2 ? 1) 4 2(1 ? k 2 ) ? (1 ? k 2 )[( ) ? ]? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵ k 2 ? tan 2 ? , 代入(1)式得
当? ?

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

........................(2)

?
2

时, AB ? 2 2

仍满足(2)式。

∴ AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

(3)设直线 AB 的倾斜角为 ? ,由于 DE ? AB, 由(2)可得

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

, DE ?

4 2 2 ? sin 2 ?

A B ? D E?

4 2 4 2 12 2 12 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 ? c o s? ? s i? 2 n ? 2 s i n ? o2s? 1 s i 2 ?2 ? c n 4

当? ?

?
4

或? ?

16 2 3? 时, AB ? DE 取得最小值 3 4


2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解 隐藏>> 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解_数学_高中教育_教育专区。2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)本试卷分第 I...

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解_英语考试_外语学习_教育专区。2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)本试卷分第 I ...

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解 隐藏>> 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-安徽卷

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至...

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解_高考_高中教育_教育...2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科) 本试卷分第 I 卷(...

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解 隐藏>> 绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题...

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解 隐藏>> 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)本试卷分第 I 卷(选择题)和第...

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含详解隐藏>> 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(...