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高中数学《椭圆及其标准方程》教案




题:8.1

椭圆及其标准方程(三)
王新敞
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教学目的: 1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 2.使学生掌握转移法(也称代换法,中间变量法,相关点法)求动点轨迹 方程的方法与椭圆有关问题的解决 教学重点:运用中间变量法求动点的轨迹 教学难点:运用中间变量法求动点的轨迹 授课类

型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 椭圆定义:
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平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹 叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1) 两个定点---两点间距离确定(2) 绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 P 在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较 F1 F2 扁 ( ?线段)两定点间距离较短, 则所画出的椭圆较圆 (? 圆) 椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概 念作铺垫) y 2.椭圆标准方程:
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x2 y2 (1) 2 ? 2 ? 1 a b

P
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F1

O

F2

x

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是

F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点的椭圆方程
a2 ? c2 ? b2
(2)
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其中

y
P F2 O F1

y2 x2 ? ?1 a2 b2

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x

它所表示的椭圆的焦点在 y 轴上,焦点是

F1 (0,?c), F2 (0, c) ,中心在坐标原点的椭圆方程

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中a ? c ?b
2 2

2
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x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 这两个标准方程中, 与 都有 a ? b ? 0 的要求, a2 b2 a2 b2
x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两 m n

如方程

x y x2 y2 种形式的标准方程,可与直线截距式 ? ? 1 类比,如 2 ? 2 ? 1 中,由于 a b a b
a ? b ,所以在 x 轴上的“截距”更大,因而焦点在 x 轴上(即看 x 2 , y 2 分母的
大小)
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二、讲解范例: 例 1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PPˊ,求线段 PPˊ的中点 M 的轨迹(若 M 分 PPˊ之比为 点 M 的轨迹) 解: (1)当 M 是线段 PPˊ的中点时,设动点 M 的坐标为
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1 ,求 2

( x, y ) ,则 P 的坐标为 ( x,2 y )

y
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P
M

因为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上, 所以有

x 2 ? (2 y) 2 ? 4 ,即

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y2 ? 1 4

-2

O

P′

2

x

所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是

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(2) 当 M 分 PPˊ之比为

1 3 时, 设动点 M 的坐标为 ( x, y ) , 则 P 的坐标为 ( x, y ) 2 2
P
M -2 O P′ 2

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因为点 P 在圆心为坐标原点半径为 2 的圆上, 所以有

3 x 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 2

x2 9y2 ? ?1 4 16

x

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所以点 M 的轨迹是椭圆,方程是

x2 9y2 ? ?1 4 16

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例 2 已知 x 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆 点 M 的轨迹方程
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x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中 4

解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 Q 的坐标为 (2 x ? 1,2 y)

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x2 ? y 2 ? 1 上的点, 因为点 Q 为椭圆 4
所以有

y

Q
-2

M O A 2 x

1 (2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 2 4

所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4 y ? 1
2 2

1 2

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例 3 长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为

2 ,求点 M 的轨迹方程 3

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解:设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 A 的坐标为 ( x,0) 因为 | AB |? 2 ,

5 3

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B 的坐标为 (0,
y

5 y) 2

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5 5 25 25 2 ( x) 2 ? ( y ) 2 ? 4 ,即 x 2 ? y ?4 3 2 9 4 25 2 25 2 x ? y ?4 所以点 M 的轨迹方程是 9 4
所以有
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B
M O A x

例4

已知定圆 x ? y ? 6x ? 55 ? 0 ,动圆 M 和已
2
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知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心 M 的轨迹及其方程 分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,用数学符
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号表示此结论: MQ ? 8 ? MP

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y
M P O Q r=8

上式 可以变形 为 MQ ? MP ? 8 ,又因 为

PQ ? 6 ? 8 ,所以圆心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦

x

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点的椭圆

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解 已知圆可化为: ?x ? 3? ? y 2 ? 64
2

圆心 Q(3,0), r ? 8 ,所以 P 在定圆内 设动圆圆心为 M ( x, y ) ,则 MP 为半
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径 又圆 M 和圆 Q 内切,所以 MQ ? 8 ? MP ,
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即 MQ ? MP ? 8 ,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点为原点,

x2 y2 ? ?1 所以 2a ? 8 , b ? 7 ,故动圆圆心 M 的轨迹方程是: 16 7
2

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三、课堂练习: (1)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 到另 25 16
C.5 D.7 答案:D

一个焦点的距离是 ( A.2 B.3

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x2 y2 ? ? 1 ,那么它的焦距是 ( (2)已知椭圆方程为 20 11
A.6 B.3
2 2

C.3 31

D. 31

答案:A

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(3)如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围 是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案:D
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(4)已知椭圆的两个焦点坐标是 F1 (-2, 0) ,F2 (2,0) ,并且经过点 P(

5 3 ,? ) , 2 2

则椭圆标准方程是_____

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x2 y2 ? ?1 答案: 10 6

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(5)过点 A(-1,-2)且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程 6 9

是____

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答案:

x2 y2 ? ?1 3 6

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(6)过点 P( 3 ,-2) ,Q(-2 3 ,1)两点的椭圆标准方程是______

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答案:

x2 y2 ? ?1 25 5

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四、小结 :用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个 点的运动而运动,而另一个点又在有规律的曲线上运动,这种情况下才能应用 的,运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 五、课后作业:
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1.已知圆 x 2 ? y 2 =1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段PP′,求线 段PP′的中点 M 的轨迹. 选题意图:训练相关点法求轨迹方程的方法,考查“通过方程,研究平面 曲线的性质”这一解析几何基本思想. 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则点 P 的坐标为 (2 x, y ) . ∵P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,∴ (2 x) 2 ? y 2 ? 1,即

x2 ? y2 ? 1. 1 4

∴点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x ? y ? 1
2 2

2.△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、AC 的斜率 的乘积是-

4 ,求顶点 A 的轨迹方程. 9

选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的 解题意思,训练根据条件对一些点进行取舍. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) . 依题意得

y?6 y?6 4 ? ?? , x x 9

∴顶点 A 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? ?6) . 81 36

说明:方程

x2 y2 ? ? 1 对应的椭圆与 y 轴有两个交点,而此两交点为(0, 81 36

-6)与(0,6)应舍去. 3.已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,P为椭圆上一点,且| F1 F2 |是|
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PF 2 |的等差中项. 1 |和| PF
(1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠ PF1 F2 =120°,求 tan F1 PF2 . 选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理 进行解题. 解:(1)由题设| PF 2 |=2| F1 F2 |=4 1 |+| PF ∴ 2a ? 4 , 2c=2, ∴b= 3
P y

x2 y2 ? ? 1. ∴椭圆的方程为 4 3
(2)设∠ F1 PF2 ? ? ,则∠ PF2 F1 =60°-θ 由正弦定理得:

F1

O

F2

x

F1 F2 sin ? F1 F2 sin ?
4

?

PF2 sin 120?

?

PF1 sin(60? ? ? )

由等比定理得:

?

PF1 ? PF2 sin 120? ? sin(60? ? ? )

?

2 ? sin ?

3 ? sin(60? ? ? ) 2

整理得: 5 sin ? ? 3(1 ? cos? )
3 5 3 5 . tan F1 PF2 ? tan? ? ? 3 11 1? 25 2?

?

sin ? 3 ? 3 ? 故 tan ? 2 2 1 ? cos? 5

说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关 的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面 的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把 P 点横坐标先求出来,再去解三角形 作答
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六、板书设计(略)

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七、课后记:

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奎屯

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