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人教A版高中数学选修2-1课件【12】椭圆的定义及标准方程的应用


第二章
圆锥曲线与方程

2. 2





课时作业(12)

椭圆的定义及标准方程的应用

①能利用椭圆的定义求轨迹方程; 作业 ②能利用相关点法求与椭圆有关 目标 的轨迹方程;③掌握与焦点有关的 三角形问题的方法技巧. 作业 设计 限时

:40 分钟 满分:90 分

一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1.到两定点 F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为 8 的点的轨迹 是( ) A.椭圆 C.圆 B.线段 D.直线

解析:到两定点距离之和恰好等于两定点间的距离,故为线 段.

答案:B

x2 y2 2.已知椭圆 + =1,焦点在 y 轴上,若焦距为 4, 10-m m-2 则 m 等于( A.4 ) B.5 C .7 D.8

解析:∵焦距为 4,∴2c=4,c=2, ∴m-2-(10-m)=c2=4,∴2m-12=4,m=8.

答案:D

3.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,且|F1F2| =2 3,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆 C 的标准方程 为( ) x2 y2 A. + =1 12 9 x2 y2 x2 y2 B.12+ 9 =1 或 9 +12=1 x2 y2 C. 9 +12=1 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 48 45 45 48

解析:由已知 2c=|F1F2|=2 3,∴c= 3. 又 2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 3, ∴a=2 3.∴b2=a2-c2=9. x2 y2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程是12+ 9 =1 或 9 +12=1.

答案:A

x2 y2 4.设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 m+ n =1 表示焦 点在 x 轴上的椭圆的个数是( A.6 个 B.8 个 ) C.12 个 D.16 个

解析:由题意知 m>n. 当 m=2 时,n=1, 当 m=3 时,n=1,2, 当 m=4 时,n=1,2,3,∴共有 6 个.

答案:A

x2 y2 5.若椭圆16+m=1 的焦距为 6,则 m 的值为( A.7 C.25 B.7 或 25 D. 7或 5

)

解析:①设 a2=16,b2=m,∴c2=16-m,∴16-m=9, ∴m=7;②设 a2=m,b2=16,则 c2=m-16,∴m-16=9, ∴m=25.

答案:B

6. 已知圆 x2+y2=1, 从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线, 垂足为 P′,则 PP′的中点 M 的轨迹方程是( A.4x2+y2=1 x2 2 C. 4 +y =1
2 y B.x2+ =1 1 4 2 y D.x2+ 4 =1

)

解析:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x x0 = 2 ,y=y0.
2 ∵P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,∴x2 0+y0=1.(*)

将 x0=2x,y0=y 代入方程(*),得 4x2+y2=1.

答案:A

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-4,0) sin∠A+sin∠C x2 y2 和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 25 + 9 = 1 上,则 = sin∠B __________.

x2 y2 解析:由椭圆方程25+ 9 =1 知,a=5,b=3, ∴c=4,即点 A(-4,0)和 C(4,0)是椭圆的焦点. 又∵点 B 在椭圆上,∴|BA|+|BC|=2a=10,且|AC|=8. 于是,在△ABC 中,由正弦定理, sin∠A+sin∠C |BC|+|BA| 5 得 = |AC| =4. sin∠B
5 答案:4

8.椭圆的两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),点 P 在椭圆上,若 △PF1F2 的面积最大为 12,则椭圆方程为__________.

解析:如图,当 P 在 y 轴上时△PF1F2 面积最大, 1 ∴2×8b=12,∴b=3, 又∵c=4, ∴a2=b2+c2=25. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为25+ 9 =1.
x2 y2 答案:25+ 9 =1

x2 y2 9.椭圆25+ 9 =1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于__________.

解析:如图,设椭圆的右焦点为 F2,则由|MF1|+|MF2|=10, 知|MF2|=10-2=8. 又∵点 O 为 F1F2 的中点,点 N 为 MF1 的中点, 1 ∴|ON|=2|MF2|=4.

答案:4

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分.

10.如图,圆 C:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),Q 为圆上一 点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,求点 M 的轨迹方程.

解:由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|, ∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|. ∴|CM|+|MA|=4. 又∵|AC|=2,∴M 点轨迹为椭圆. 由椭圆的定义知:a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴所求轨迹方程为: + =1. 4 3

11.已知圆 x2+y2=9,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂 → → MP 线段 PP′,点 M 在 PP′上,并且PM=2 ′,求点 M 的轨迹 方程.

解:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0 =x,y0=3y. 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=9 上,
2 所以 x0 +y2 0=9.

将 x0=x,y0=3y 代入,得 x2+9y2=9, x2 2 即 M 的轨迹方程为 +y =1. 9

12. x2 y2 如图所示, P 是椭圆 + =1 上的一点, F1、 F2 为椭圆的左、 4 3 右焦点,且∠PF1F2=120° ,求△PF1F2 的面积.

解:由已知 a=2,b= 3, 所以 c= a2-b2= 4-3=1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|,① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.②

6 ②代入①解得|PF1|=5. 1 1 6 3 3 3 ∴S△PF1F2= |PF1|· |F1F2|· sin120° = × ×2× = . 2 2 5 2 5 3 即△PF1F2 的面积是5 3.


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