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《椭圆的简单几何性质》教学设计

时间:2017-09-06


《椭圆的简单几何性质》教学

一.
1.

教材分析
教材的地位和作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修 1-1 第二章 2.1.2 第 1 课时: 椭圆的简单几何性 质。 在此之前, 学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程, 这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。 而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再

利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结 合,让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上,充分认识到“由数到形,由形到数” 的转化,体会了数与形的辨证统一,也从中体验了学数学的乐趣,受到了数学文化熏陶,为后继研 究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。

2. 教材的内容安排和处理
本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时,主要介绍椭圆的简单几何性质及其初 步运用,在解析几何中,利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次,因此可根据学 生实际情况及认知特点,改变了教材中原有研究顺序,引导学生先从观察课前预习所作的具体图形 入手,按照通过图形先发现性质,在利用方程去说明性质的研究思路,循序渐近进行探究。在教学 中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用,而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透, 通过教师合理的情境创设,师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生真正意义上理解在 解析几何中,怎样用代数方法研究曲线的性质,巩固数形结合思想的应用,达到切实地用数学分析 解决问题的能力。

3. 重点、难点:
教学重点:掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在
数学中的应用

教学难点;利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

二.

学生的学情心理分析

我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题,解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃,参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础,因此依据以上特点,在教学 设计方面,我打算借助多媒体手段,创设问题情境,结合图形启发引导,组织学生合作探究等形式, 都符合我班学生的认知特点,为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。

三.

教学目标

本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况,我制定本节课的教学目标如下:

知识与技能:
掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。

过程与方法:
通过学生亲身的实践体验,利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质,经历由形到数,由数到形, 的思想跨越,感知用代数的方法探究几何性质的过程,感受“数缺形时少直观,形缺数时难入微。 ”

的数学真谛,进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。

情感、态度与价值观:
在自然和谐的教学氛围中,通过师生间的、生生间的平等交流,塑造学生团结协作,钻研探 究的品质和态度,培养学生研究问题的技能;通过对椭圆几何性质的发现,学生得到美的感受, 体验到探求之后的成功与喜悦。

四. 教学方法与手段
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展,使学生扎实地学会学习,真正的学以置用,为此 我制定了本节课的教学方法和手段如下:

教学方法:
我采用的教学方法主要是情境激趣法、引导发现法、合作探究法等等。 (一) 情境激趣法:注重数学知识与实际的联系,同时也发展学生的应用意识, 开阔他们的视野。 (二) 引导发现法:符合教学原则,充分调动学生的主动性与积极性。 (三) 合作探究法:1 .体验数学发现和创造的过程,发展他们的创新意识; 2. 使学生体验到团结协作的力量以及探索发现的成就, 符合学生的 认知规律。

教学手段:
新课标要求,立体几何的教学要直观感知,操作确认。对于本节内容,我也采用了这样的思路。 本节借助多媒体辅助手段及实物投影,创设问题情境,并通过图形引导学生形象直观地体验由数 到形的过渡,便于学生观察、认知、探求、发现、归纳。

五. 学法指导
根据本节课的教学难点,教师应注意指导学生进行研究式学习和体验式学习(兴趣是前提) 。例如 导入,通过“神六”号这样一个人们关注的话题引入,有利于激发学生的兴趣。再如,这节课是学生第 一次利用曲线方程研究曲线性质,为了解决这一难点,在课前设计中改变了教材中原有研究顺序,让学 生从观察一个具体椭圆图形入手,从观察到对称性这一宏观特征开始研究,符合学生的认知特点,调动 了学生主动参与教学的积极性,使他们进行自主探究与合作交流,亲身体验几何性质的形成与论证过程, 变静态数学为动态数学。 教学中也突出多媒体辅助知识产生、发展和突破重、难点的优势,从而强化学生对知识的过程与方 法的掌握,有利于学生对知识的理解和应用。

六. 教学过程

教 学 内 容 教 师

导 入 新 课 引 入

尝 试 探 究 引 导

知 识 巩 固 指 导

课 堂 小 结 评 价

布 置 作 业 激 励

这是本节课教学过程的流程图,我将本节课的教学过程设计为五大环节,特点是以知识与技能为载体, 过程与方法为主线,情感、态度与价值观为目标的设计原则,突出多媒体这一教学手段在本节课辅助知 识产生,发展和突破重难点的优势。

教 学 环 节







序(师生双边活动)

设 计 意 图
利用这一历史性事件作为教学背景,引发 学生联想,激发学生兴趣,调动学生爱国主 义热情。

创设 情境

教师以“神州六号载人飞船顺利发射升空” 这一事例创设课堂情境,同时电脑用 FLASH 动画 演示飞船运行轨迹的短片。 教师根据情境,创设问题: [师]通过上一节课的学习我们知道,飞船在变轨 前是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行 的,如果告诉你飞船的轨道方程,我们是可以作 出飞船运行的轨迹的。那么这个问题的实质是什 么呢? [生]通过前面学习的曲线与方程的关系,能够认 识到问题的实质就是已知曲线的方程求方程的曲 线的问题。 1.检查预习作业情况 (电脑出示上节课的预习作业内容) 根据椭圆方程画出它的图形。

导 入 新 课

结合情境将实际问题转化为数学问题 分析解决,让学生利用数学知识揭示问题的 实质,为本节课内容的展开作好铺垫,同时 也让学生体会到数学与生活的联系,进一步 明确学习椭圆的重要性和必要性。

x2 y 2 x2 y 2 (1) (2) + = 1, + =1 25 16 25 4
借助投影找几位同学展示画好的图形, 同时电

尝 试 探 讨

脑出示图形 [ 师 ] 如果同学们用描点法画出方程所表示的图 形,那么这种作图方法使同学们有什么体会?有 简单方法吗?如果有,需要知道什么呢? 学生沉思片刻后,教师强调解决这个问题需了 解椭圆方程形式下具有的简单几何性质,引入本 节课课题。 2.结合图形,尝试探究 教师引导学生观察作业中绘制的椭圆图形, 开

通过预习让学生对椭圆图形的特点有 一个初步了解和把握,为本节课研究椭圆的 几何性质奠定了良好的基础。大部分学生会 想到用描点法实现方程到曲线的转化,但通 过学生的实践体验,可进一步激励学生寻找 捷径,探索新知的勇气,从而自然过渡,引 出课题。

这节课是学生第一次利用曲线方程研

x2 y 2 始以椭圆的标准方程 2 + 2 = 1 (a﹥b﹥0)为 观察一个具体椭圆图形入手,符合学生的认 a b 知特点,达到了化抽象为形象的目的。
例进行研究。 (电脑展示椭圆的标准方程

究曲线性质,为了解决这一难点,让学生从

x2 y 2 + = 1 (a﹥b﹥0)所表示的图形) a 2 b2
(1) . 先引导学生观察椭圆图形的整体特征, 归 纳出这个椭圆图形在 x 轴的上方、下方,y 轴的 学生借助图形会首先观察出椭圆的对 称结构,因此将这个性质安排在前面也符合 学生的认知规律,但落实到利用方程形式去 说明此性质对学生来说是个难点,因此教师 通过设置问题,引导学生利用点对称去说明 图形对称的方法加以证明,并强调用数证明 形的必要性,体现了由方程到曲线,由数到 形的转化。

形 成 新 知

左侧、右侧及与原点有怎样的关系?如何利用方 程进行说明?(可提示学生结合点对称去证明图 形对称问题。 ) 从而引导学生得到椭圆的对称轴及 对称中心。 ,

(2) . 继续引导学生发现决定这个椭圆轨迹的关

在揭示椭圆对称性之后,引入这一性质 键点有几个? (电脑动画显示各点) , 引入椭圆的 让学生对图形的认识由整体到局部,由面到 顶点概念,并利用方程求出顶点坐标,同时结合 点,符合认知习惯,通过电脑动画展示,使 学生对概念有了直观生动的认识,但学生对 图形教师指出长轴、短轴、长半轴、短半轴等概 于椭圆顶点的概念可能会产生模糊认识,误 念,同时电脑动画同步显示,特别点明方程中 a、 认为是图形与坐标轴的交点,这里教师应利 b 的几何意义在直角三角形中的体现。 用电脑动画将椭圆在坐标系中作平移变换, 再次引导学生寻找顶点,达到强调顶点概念 的作用。 (3).电脑动画显示: 过顶点 A1,A2 分别作 y 轴的平行线,过顶 点 B1,B2 分别作 x 轴的平行线。 ① 引导学生观察四条直线构成的图形与椭圆 的关系,体现了椭圆的什么性质?利用方 程如何说明?从而得到了椭圆的范围。 ②引导学生根据以上椭圆性质总结,如何画出 一个椭圆的草图。 (4).{师}先请学生观察预习作业中绘制的两个 椭圆图形,在形状上有什么区别? {生}相对来看一个圆些,一个扁些。 {师}是由什么引起这样的区别呢?
2 2

在学习完椭圆的顶点概念的基础上,借 助电脑演示,引入椭圆范围,过渡自然,学 生容易发现并理解,这样对于椭圆的图形由 内至外,由点到面进行了透彻的剖析,认知 顺序井然有条,从而可使学生抓住图形的关 键性质,减少了认知上的障碍,顺利总结椭 圆草图的画法。 、

此处学生在理解上是个难点,因此教学 中先引导学生去发现椭圆图形的形状差异; 再充分发挥多媒体辅助手段,以轻松愉悦的 动画演示,追寻原因,化抽象为形象,创设

教师动画演示椭圆标准方程

x y 了直观的课堂教学效果,化解了知识的难 2 + 2 = 1 (a a b

点,使学生在感性认识的基础上形成理性认 识,激励学生的学习动机,并结合教师启发 引导,循序渐进,帮助学生理解好离心率的

﹥b﹥0)所表示的图形在变化过程中,引导学生 发现 a 不变,b 大则 c 小,椭圆较圆,b 小则 c

大,椭圆较扁,特别当 a=b 时,c=0,椭圆为圆, 定义,范围及离心率大小对椭圆形状的影 并引导学生分析得出:a、b、c 中任何一个量不 响。

变,改变另外一个量可得到同样的结论,由此引 入刻画椭圆形状的几何量——离心率 e,强调离 心率是焦距与长轴之比,与坐标系选取无关,结 合以上分析,引导学生归纳出离心率的范围及其 大小变化对椭圆形状的影响, 电脑出示练习: 1.利用以上所学的研究方法,探讨椭圆 此环节是一个创新点,通过组织学生以 合作交流的方式探讨问题,培养学生团体协 作的能力和积极探索的习惯,同时也培养学 生运用类比化归的思想解决实际问题的能 力,再次让学生亲身感受了利用方程研究曲 线的过程,通过本题使学生体验这节课所学 的性质是椭圆自身固有的性质,与坐标系的 选取无关。

知识 的巩 固与 创新

x y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的简单几何性质 b a
电脑展示相应椭圆的标准方程所表示的图 形,并组织学生以 4 人小组为单位,引导学生类 比焦点在 x 轴椭圆标准方程的几何性质的研究 方法进行探讨, 稍许时间后请几组代表汇报研究 成果,之后教师给予激励性点评。 2.请你自己设计两个焦点分别在 x 轴和 y 轴上的 椭圆的标准方程,并指出它的几何性质,然后绘 制它的草图。 学生按照要求动手操作,教师巡视,及时了解学 生知识应用情况及实践能力,个别问题要给予指 导,并鼓励学生借助实物投影大胆展示自己的设 计成果,每位学生展示后,师生共同评析,最后 针对共性问题教师强调绘制草图的注意事项。

2

2

在由一般到特殊的认知规律指导下,此 题把主动权交给学生,目的是考查对以上椭 圆的几何性质掌握情况的同时提高学生的 参与意识,并且借助电脑投影让个别学生有 机会展示,讲解自己的设计成果,从而增强 了学生的求知勇气和展现自我的信心,师生 共同评析设计情况的优劣,重在发现学生的 思维差异和思维认识层次。 ,

归纳 小结 建构 知识 网络

教师向学生提出,通过这节课的学习,你学到 什么?体验到什么?掌握了什么?引导学生从知 识、思想方法和研究问题的方法三个方面进行总 结,学生讨论、反思,不足之处师生共同补充完 善如下: ⑴知识总结: 教师设计关于性质的表格,学生填表,并总 以图表的形式对所学内容进行总结,可 使学生对知识有个清晰条理的认识,而用顺 一个框(范围) ,七个点(一个中心、两个焦点、 口溜的表达形式总结椭圆的作图过程,使学 四个顶点)和用 e 刻画圆扁。利用这些性质作图 生印象深刻,通俗易懂。 结: 记忆这些性质的关键是抓住两条线 (对称轴) , 的关键是 (教师编一个顺口溜) : 一个框, 四个点, 注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现。 ⑵思想方法总结: 本节课主要利用了数形结合的思想和类比化 归的思想研究性质的,平时学习中要注意数学思 想方法的运用。 在总结研究方法的同时为学生自主探究 双曲线、抛物线的性质作好铺垫。

⑶掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法, 即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率 等,这样就可以从整体上把握曲线了

布置 作业 巩固 提高

⑴根据本节课的学习,结合你的体会,写一 本作业主要意图是想把学生的情感、态 篇题为 《魅力无限的椭圆》 的短文,格式不限。 度、价值观融入到所学的知识中,关注学生 的情感和态度,同时也激励学生去挖掘椭圆 更多的几何性质。 ⑵在预习教材中的例 4 的基础上,证明:若

x2 y 2 F1、F2 分别是 2 + 2 = 1 的左、右焦点,则椭 a b
圆上任一点 P(x,y)到焦点的距离(焦半径) 此题意图是引导学生去深入探究,为进 为多少 ,同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时, 一步研究椭圆的性质做准备。 结论如何?

板书设计
课题:§8.2.1
x2 y 2 + = 1 (a>,b>0) a 2 b2
1 对称性 2 顶点,长轴,短轴 3 范围 4 离心率(影响椭圆形状)

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) b2 a 2

板书设计要体现出教学的程序性、概括 性、指导性、艺术性,给学生直观清晰的感 觉。

定义: 范围;

七、教学评价的分析
1、这节课安排了创设情境,导入新课、尝试探求、类比探究,总结和作业等几个教学环节。它是在 教师引导下,通过学生积极思考,自主探求,合作探究,从而实现教学目的的要求,完成教学任务的一 种教学方法。 2、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生探究问题的能力是设计这堂课的出发点。 教学中注意应用建构主义的数学学习理论,引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学 习活动中去,使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所。在整个教学过程的 设计中,采用启导法,合作探讨法等教学方法实施教学,注重引导学生,通过探索,有利于培养学生的 创新能力,体现教育改革的时代精神。 3﹑教学中采用多媒体的手段,利用幻灯片、几何画板软件制作课件,增强学生对知识的直观感受, 有利于完善认知结构。 4﹑时间大致安排:创设情境引入课题约 3 分钟,尝试探求归纳新知约 20 分钟,类比探究约 7 分钟, 知识巩固与提高约 10 分钟,小结作业 5 分钟。当然,依据上课的具体情况可进行适当的调整。


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