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【高考复习方案】专题3-数列-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

时间:2015-03-14


专题三

数列

第8讲 第9讲

等差数列、等比数列 数列求和及数列的简单应用

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第8讲 等差数列、等比数列

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第8讲

等差数列、等比数列
<

br />核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1.[2014· 广东卷改编] 设数列{an}
的 前n项和为S① n ,满足Sn=2nan+1- 3n2-4n,n∈N*,且S3=15,则a1, a2,a3的值分别是 ________________.
[答案] 3,5,7

主干知识
? 数列 关键词:表示 方法、通项公式、 前 n 项和,如①.

[解析] 依题意有 ?S1=a1=2a2-3-4, ?a1=3, ? ? ?S2=a1+a2=4a3-12-8,解得?a2=5, ?S =a +a +a =15, ?a =7. ? 3 ? 3 1 2 3
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第8讲

等差数列、等比数列

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 等差数列 关键词: 概念、 通项、前 n 项和, 如②③.

2.[2014· 福建卷改编] 等差数列 {an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3= 12,则 a6=② ________.

[答案] 12
[解析] 设等差数列{an}的公差 为 d,由等差数列的前 n 项和公式, 3×2 得 S3=3×2+ 2 d=12,解得 d= 2,则 a6=a1+(6-1)d=2+5×2= 12.
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等差数列、等比数列

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

3.[2014· 北京卷] 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0, a7+a10<0,则当n=________时,{an}的 前n项和③ 最大.

[答案] 8
[ 解析 ] ∵a7 + a8 + a9 = 3a8>0 , a7 + a10 = a8 + a9<0 , ∴a8>0,a9<0,∴n=8 时,数列{an}的前 n 项和最大.

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等差数列、等比数列

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 等比数列 关键词: 概念、 通项、前 n 项和, 如④⑤⑥.

4.[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 若数列 2 1 {an}的前 n 项和 Sn=3an+3,则{an}的 通项公式④ 是 an=________.

[答案] (-2)n

-1

2 1 2 1 [解析] 因为 Sn=3an+3①,所以 Sn-1=3an-1+3②,①-

2 2 2 1 ②得 an=3an-3an-1,即 an=-2an-1.又因为 S1=a1=3a1+3 ?a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数 列,所以 an=(-2)n-1.

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等差数列、等比数列

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

1⑤ 5.[2013· 广东卷改编] 若等比数列{an}满足 a2a4=2 , 则 a1a2 3a5=________.
1 [答案] 4
[解析]
?1?2 1 1 2 2 因为a1a5=a2a4=a3= ,所以a1a3a5=? ? = .

2

?2?

4

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等差数列、等比数列

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

6.[2013· 全国卷改编] 已知数列{an}满足3an+1+an=0, 4 a2=-3,则{an}的 前10项和⑥ 等于________.
[答案] 3(1-3-10)
an+1 1 [解析] 由3an+1+an=0,得an≠0(否则a2=0)且 a =- , 3 n 1 所以数列{an}是公比为- 3 的等比数列,代入a2可得a1=4,故S10 =
? ? 1?10? 4×?1-?-3? ? ? ? ? ? ? ?1?10? =3×?1-?3? ?=3(1-3-10). ? ? ? ?

1 1+ 3

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等差数列、等比数列

—— 教师知识必备 ——
知识必备 数列、等差数列、等比数列

按照一定次序排列的一 数列、 等差 一般 数列、 数列 等比 数列 {an} 通项 公式 前n 项和 数列{an}中的项用一 个公式表示,an=f(n) Sn=a1+a2+?+an 概念 列数.分有穷、无穷、 递增、递减、摆动、常 数数列等
? S1 , n ? 1, an= ?S ? S ,n≥2 n ?1 ? n

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等差数列、等比数列

—— 教师知识必备 ——
解决递推 数列问题 的基本思 想是“转 化”,即转 化为两类 基本数列 (等差数列、

累加法 累乘法 数列、 简单 等差 的递 数列、 推数 等比 列解 数列 法 待定 转化法

an+1=an+f (n) 型 an+1=an f (n)型 an+1=pan+q· p
n+1

(p≠0,1,

an+1 an q≠0)? n+1=pn+q p an+1=can+d(c≠0,1,d≠0)

d 系数法 ?an+1+λ=c(an+λ),λ= c-1 等比数列) 求解

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等差数列、等比数列

—— 教师知识必备 ——
概念 满足 an+1-an=d(常数),d>0 递增、d<0 递 减、d=0 常数数列 am+an=ap+aq?m+n=p 数列、 等差 等比 数列 前n项 和公式 等差 {an} 数列、 数列 Sn=na1+ n(n-1) d= 2 n(a1+an) 2 S m, S2m-Sm, S3m-S2m, ? 为等差数列 通项 公式 an=a1+(n-1)d =am+(n-m)d +q(q∈N*) am+an=2ap?m+n= 2p(q∈N*) (公差不为 0)

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等差数列、等比数列

—— 教师知识必备 ——
概念 满足 an+1:an=q(q≠0 且 q 为常数),单调性由 a1 的正负和 q 的值确定 a m a n = a pa q ? m + n = p 数列、 等差 等比 数列 等比 {an} 前n 项 和公 式
n

通项 公式

+q(q∈N*) an=a1qn-1=amqn-m a ma n = a 2 p?m+n= 2p(q∈N*) (公比不等于 1) Sn=
? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? , q ? 1, ? 1? q ? 1? q ? na , q ? 1 ? 1

数列、 数列

公比不等于-1 时, Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,?成等比数列

注:表格中 m,n,p 均为正整数.
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等差数列、等比数列
? 考点一 数列

数列的概念——数列、通项公式、前 n 项和 数列的表示 方法 ——列表、通项公式、递推公式等 通项与前 n 项和的关系——通项与前 n 项和的关系的应用 题型:选择、填空 分值:4-14 分 难度:中等 热点:数列的概念与表示方法,前 n 项和与通项关系的应用

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等差数列、等比数列

例 1 (1) 已知数列{an}的前 5 项分别为 3, 4, 6, 10, 18,据此可写出数列{an}的一个通项公式为________. (2)设公比大于零的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S4=5S2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,满足 b1=1, Tn=n2bn,n∈N*. ①求数列{an},{bn}的通项公式;
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②设 Cn=(Sn+1)(nbn-λ),若数列{Cn}是递减数列,求 实数 λ 的取值范围.

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等差数列、等比数列
[答案] (1) 2n 1+2


[解析] 由已知可知数列{an}中,a2-a1=1,a3-a2=2,a4- - a3=4,a5-a4=8,满足 an+1-an=2n 1,又已知数列的前 5 项,所 - - - 以对 a1=3, an+1-an=2n 1 采用叠加法可得 an=(2n 2+2n 3+?+20) +3=2n-1+2.

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(2)解:①由 S4=5S2,q>0,得 q=2,则 an=2n 1. 2 ? ?Tn=n bn, bn n-1 ? 又 ? = (n>1), 2 ? b n + 1 - T =( n - 1 ) b ( n >1 ) - - n 1 ? n 1 n 1 b2 n-1 n-2 n-3 2 1 bn bn-1 bn-2 所以 · · ·?·b = · n · ·?·4·3 bn-1 bn-2 bn-3 n+1 n-1 1 2 = , n(n+1) 2 2 所以 bn= ,当 n=1 时也满足,故 bn= . n(n+1) n(n+1)


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等差数列、等比数列
? 2 ②由①知 Sn=2 -1,所以 Cn=2 ?n+1-λ? ?. ? ? 若数列{Cn}是递减数列, ? ? 2 n? 4 * 则 Cn+1-Cn=2 ?n+2-n+1-λ? <0 对 n ∈ N 都成立, ? ? ? ? 4 2 ? 4 2 ? 即 - -λ<0,所以 λ>?n+2-n+1? ?max. n+2 n+1 ? ? 4 2 2n 2 又 - = = 2, n+2 n+1 (n+1)(n+2) n+3+n ? 4 2 ? 1 1 ? ? - 易知当 n=1 或 n=2 时,?n+2 n+1?max=3,所以 λ>3. ? ?
n n?

?

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[小结]数列{an}后续项的规律可以是多样的, 其通 项公式可以不止一个.

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等差数列、等比数列

变式题

an+1-1 已知数列{an}满足 a1=2,an= ,其 an+1+1 ) C.6 D.-6

前 n 项积为 Tn,则 T2014=( 1 1 A.6 B.-6
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(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1 =1,则 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55

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等差数列、等比数列

an+1-1 1+an [解析] 由 an= 可得 an+1= ,所以 a2= an+1+1 1-an 1 1 -3,a3=- ,a4= ,a5=2,…,可知数列{an}的项具 2 3 有周期性且周期为 4,第一个周期内的四项之积为 1.因 为 2014=4× 503+2,且 a2013=a1=2,a2014=a2=-3, 所以数列{an}的前 2014 项之积为 2× (-3)=-6. (2)由题意 S1+S9=S10?a10=S10-S9=S1=a1=1.

[答案] (1)D

(2)A

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等差数列、等比数列
? 考点二 等差数列 等差数列 ——根据定义判断数列是否为等差数列

通项公式、前 ——1.求通项公式、前n项和;2.已知通 n项和公式
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项、前n项和的一些值求首项、公差 等 题型:选择、填空、解答 分值:4-14分 热点:基本量求解,求通项、前n项和 难度:中等

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等差数列、等比数列

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(1)设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项 S15 和,若 S9=3a8,则3a =( ) 5 A.15 B.17 C.19 D.21 (2)已知数列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7(n∈N*),若 {an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 的最大值为( ) A.15 B.750 765 705 C. D. 4 2

例2

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等差数列、等比数列

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[答案] (1)A (2)C a1+a9 2a5 [解析] (1)由 S9= ×9= ×9=9a5=3a8,得 3a5 2 2 a1+a15 S15 15a8 =a8.又 S15= 2 ×15=15a8,所以3a = a =15. 5 8 7 (2)方法一: 由已知可知数列{an}为等差数列, 公差为-4, ? 7? 故其通项公式为 an=25+(n-1)×?-4?.由 an≥0 且 an+1< ? ? 0(n∈N*),解得 n=15,即数列{an}的前 15 项均为正值,从 16 项开始为负值,(该数列中没有等于零的项),故 S15 最大, 15×14 ? 7? 735 765 S15=15×25+ ×?-4?=375- = . 2 4 4 ? ?
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等差数列、等比数列

7 方法二:由已知可知数列{an}为等差数列,公差d=- , 4 ? 7? n(n-1) 7 2 207 7 ? ? 所以Sn=25n+ × -4 =- 8 n + 8 n=- 8 2 ? ?

207 ? ? ?n? ? + 42849 ,由于n为正整数,故当n=15时,Sn取得 14 ? ? 224
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2

7 207 765 最大值,其最大值为S15=- ×152+ ×15= . 8 8 4 [小结] 等差数列问题的根本是其“基本量”,即等差数 列的首项和公差,解题时可以以此为着眼点思考问题的解决 方向.在等差数列中要特别注意项的性质的应用,即m+n= p+q?am+an=ap+aq,m+n=2p?am+an=2ap.

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等差数列、等比数列

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)设{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a1 +a2+a5+a8=8,则S7=( ) A.13 B.14 C.15 D.16 (2)已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4,则 a8的取值范围是( ) A.(2,4) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(4,+∞)

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等差数列、等比数列

[答案] (1)B

(2)C

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[解析] (1)因为 a1+a5=2a3,a2+a8=2a5,所以由 a1+ 7(a1+a7) a2 + a5 + a8 = 8 ,可得 a3 + a5 = 4 ,所以 S7 = = 2 7(a3+a5) =14. 2 (2)a1+a10=a3+a8=4,由于数列{an}单调递增,所以 a3 <a8, 所以 2a3<a3+a8=4, 所以 a3<2, 所以 a8=4-a3>2, 即 a8 的取值范围是(2,+∞).

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等差数列、等比数列

? 考点三 等比数列 等比数列 ——利用定义判断数列为等比数列

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通项公式、 前 n 项和 公式 ——1.求通项公式、前 n 项和;2.根据已知 的项、前 n 项和等求未知的项、和, 或求等比数列的基本量等 题型:选择、填空 分值:4-14 分 热点:基本量求解,求通项、前 n 项和 难度:中等

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等差数列、等比数列

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例 3 (1)若公比为 2 且各项均为正数的等比数列{an} 中,a4·a12=64,则 a7 的值等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 5 (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1+a3= , 2 5 Sn a2+a4= ,则 a =( ) 4 n A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1

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等差数列、等比数列

[答案] (1)B (2)D [解析] (1)由公比为 2 且各项均为正数的等比数列{an}中, a8 2 a4·a12=64,可得 a8=a4·a12=64,∴a8=8.由a =q=2,可 7 得 a7=4.
? ?1?n? a1?1-?2? ? ? ? ? ?

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1 1-2 a2+a4 1 Sn (2)等比数列{an}的公比 q= = ,∴a = ? ?n-1 1 a1+a3 2 n ? a1 2? ? ?
? ?1?n? 2?1-?2? ? ? ? ? ? = ?1?n-1 =2n-1. ? ? ?2?
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等差数列、等比数列

[小结] 等比数列的根本是其首项和公比, 解题时只要求 出这两个量,其他的量即可用其表达.注意等比数列的通项 - 公式的一个形式,即 an=amqn m,m,n∈N*.

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变式题 (1)设Sn为数列{an}的前n项和,已知3Sn=an+1 -2.若a2=1,则a6=( ) A. 512 B. 16 C. 64 D. 256 (2)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则log 1 (a5+a7+a9)的值是( 3 A.-5 B.- 1 5 C.5 ) D. 1 5

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等差数列、等比数列

[答案] (1)D
[解析]

(2)A

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(1)∵3Sn=an+1-2,∴3Sn-1=an-2(n>1),两式相 an + 1 减,得3an=an+1-an,即 a =4,∴数列{an}是公比为4的等比 n 数列,∴a6=a2q4=256. (2)根据已知得3an=an+1,∴数列{an}是等比数列且其公比 为3,∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=9×33=35,∴log 1 (a5+ 3
5 a7+a9)=log 1 3 =-5. 3

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等差数列、等比数列

? 考点四 等差数列与等比数列的综合 等差数列、 等比数列——证明数列为等差数列、 等比数列

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等差数列与等比数列 的综合 ——综合两种数列, 求解基本量、 通 项公式、前 n 项和 题型:选择、填空 分值:4-14 分 难度:中等 热点:证明数列为等差数列、等比数列,两种数列综合,求解 基本量、通项公式、前 n 项和等

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等差数列、等比数列

例 4 已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和为 Sn=pn2+ 2n,n∈N*. (1)求 p 的值及 an; (2)在等比数列{bn}中,b3=a1,b4=a2+4,若等比数列{bn}的 ? 1? ? 前 n 项和为 Tn,求证:数列 Tn+6?为等比数列. ? ?
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解:(1)由已知可得 a1=S1=p+2,S2=4p+4,即 a1+a2= 4p+4,∴a2=3p+2. 由已知得 a2-a1=2, ∴p=1,∴a1=3,∴an=2n+1,n∈N*. (2)证明:在等比数列{bn}中,b3=a1=3,b4=a2+4=9,则 b4 1 1 2 公比为b =3.由 b3=b1·3 ,得 b1=3,∴数列{bn}是以3为首项, 3 以 3 为公比的等比数列,
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等差数列、等比数列
1 n ( 1 - 3 ) 3 1 ∴Tn= =6·(3n-1), 1-3 1 1 1 n 即 Tn+6=6×3 =2×3n-1. 1 1 又∵T1+6=2,
* = 3 , n ≥ 2 , n ∈ N , 1 Tn-1+6

1 Tn+6

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? 1? 1 ? ? ∴数列 Tn+6 是以2为首项,以 ? ?

3 为公比的等比数列.

[小结] 在等差数列、 等比数列的综合问题中, 通过列 方程(组)求出基本量是基本且重要的方法. 在求数列的最 值的问题中,使用函数的方法时,要充分考虑数列中的自 变量是否为正整数.
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等差数列、等比数列

变式题 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2an-2n+1.
? ? ? ? ? ?

?an? (1)证明:数列?2n?是等差数列; ? ?

(2)若不等式 2n2-n-3<(5-λ)an 对任意的 n∈N*恒成 立,求 λ 的取值范围.
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解:(1)证明:当 n=1 时,S1=a1=2a1-22,得 a1=4. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2n,则 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1 -2n,即 an=2an-1+2n, n an-1 an an-1 2an-1+2 an-1 an-1 所以 n- n-1= - n-1= n-1+1- n-1=1. 2 2 2n 2 2 2 a1 又21=2, ?an? 所以数列?2n?是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. ? ?
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等差数列、等比数列
an (2)由(1)知 n=n+1,则 an=(n+1)· 2n. 2 因为 an>0, 2n-3 所以不等式 2n -n-3<(5-λ)an 等价于 5-λ> 2n .
2

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2n-1 + 2n-3 bn+1 2n 1 2n-1 记 bn= 2n ,则 b = = , 2n-3 4n-6 n 2n bn+1 1 1 3 所以当 n≥3 时,b <1.又 b1=-2, b2=4, b3=8, 所以(bn)max n 3 =b3=8, 37 所以 λ< . 8
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等差数列、等比数列

—— 教师备用例题 ——

例 1 【配例 1 使用】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,满 + 足 2Sn=an+1-2n 1+1,n∈N* ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列, 则 an=________ .

[答案] 3n-2n

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等差数列、等比数列

[解析] 由a1,a2+5,a3成等差数列可得a1+a3=2a2+10.由2Sn= + an+1-2n 1+1,得2a1+2a2=a3-7,即2a2=a3-7-2a1,与a1+a3= 2a2+10联立,得a1=1,代入2S1=a2-22+1,得a2=5. + 由2Sn=an+1-2n 1+1,得当n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,两式相 减,得2an=an+1-an-2n,即an+1=3an+2n,当n=1时,a2=5=3×1 +21也适合an+1=3an+2n,所以对任意正整数n,an+1=3an+2n. 上式两端同时除以2
n+1

an+1 3 an 1 ,得 n+1=2·2n+2,等号两端同时加1, 2

? ?an ? an+1 3 an 3 3 ?an 3 ? ? ? 得 n+1 +1= · n + = 2n+1 ,所以数列 2n+1? 是首项为 ,公比 2 2 2 2? 2 2 ? ? ? ?3?n 3 an an ?3?n 为2的等比数列,所以2n+1=?2? ,所以2n=?2? -1,所以an=3n-2n. ? ? ? ?

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等差数列、等比数列

例 2 【配例 2 使用】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 ________ .

[答案] -49
10 [解析] 由 a1+a10=0,a1+a15= 3 ,可得{an}的公差 d= n3-10n2 2 ,易得 n=6 或 n=7 时,nSn 取 3,a1=-3,∴nSn= 3 得最小值.当 n=6 时,nSn=-48;当 n=7 时,nSn=-49. 故 nSn 的最小值为-49.

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等差数列、等比数列

例 3 【配例 4 使用】已知数列{an}是公差不为 0 的等差数 列,Sn 为{an}的前 n 项和,a5 和 a7 的等差中项为 11,且 a2a5= 1 a1a14.令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn. anan+1 (1)求 an 及 Tn. (2)是否存在正整数 m,n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等 比数列?若存在,求出所有的 m,n 的值;若不存在,请说明理 由.

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等差数列、等比数列

解 : (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 由 题 意 得
? ?a5+a7=2a1+10d=22, ? ? ?(a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d), ? ? ?a1+5d=11, ?d=2, ? 整理得 解得? 所以 ? ? ?d=2a1, ?a1=1,

an=1+(n-1)×2

=2n-1, 所 以 bn 1 1 1 = = = 2 anan+1 (2n-1)(2n+1)

? 1 1 ? ? ? - ?2n-1 2n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? n ? 所以 Tn=2?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1? = ? 2n+1. ? ?

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第8讲

等差数列、等比数列

(2)假设存在正整数 m,n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成 等比数列. 1 n m n 由(1)知, Tn= , 所以 T1= , T = , T= . 3 m 2m+1 n 2n+1 2n+1 ? m ?2 ? 2 若 T1,Tm,Tn 成等比数列,则有 Tm=T1·Tn,即? ?2m+1? = ? ?
2 4m2+4m+1 6n+3 1 3 4m+1-2m n = n ,所以n= ①.因 3·2n+1,即 m2 m2

6 为 n>0, 所以 4m+1-2m >0.又 m>1, 所以 1<m<1+ 2 . 因 为 m∈N*,所以 m=2,将 m=2 带入①式,得 n=12. 综上所述,当 m=2,n=12 时,T1,Tm,Tn 成等比数列.
2

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第9讲 数列求和及数列的简 单应用

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1. [2013· 重庆卷] 已知{an}是等 差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其 前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数
列,则 S① 8 = ________.
[答案] 64

主干知识
? 数列求和 关键词:公式 求和、分组求和、 分段求和、裂项求 和、 错位相减求和, 如①②③④⑤.

[解析] 设数列{an}的公差为 d, 由 a1, a2, a5 成等比数列, 得(1+d)2 =1· (1+4d),解得 d=2 或 d=0(舍 8×(8-1) 去),所以 S8=8×1+ 2 ×2=64.

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

体验高考
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2.[2012· 福 建 卷 改 编 ] 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an = nπ ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012=② ________. 2

[答案] 1006

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数列求和及数列的简单应用

体验高考
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[解析] 本题考查数列求和以及三角函数求值、数列的 周期性等, 突破点是找到该数列的周期性的规律, 再求和. π a1=1cos 2 =0,a2=2cosπ =-2, 3π a3=3cos 2 =0,a4=4cos 2π =4; 5π a5=5cos 2 =0,a6=6cos 3π =-6, 7π 8π a7=7cos =0,a8=8cos =8. 2 2 该数列每四项的和为 2,2012 ÷ 4=503, 所以 S2012=2×503=1006.
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数列求和及数列的简单应用

体验高考
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3.[2013·浙 江 卷 改 编 ] 在 数 列 {an} 中 , 已 知 an=|11-n | ,则其前 n 项和 Sn=________.


? ?n(21-n),1≤n≤11,n∈N*, 2 ? [答案] ? 2 ?n -21n+220 * , n ≥ 12 , n ∈ N ? 2 ?

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

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[解析] 当 n≤11 时,an=11-n, 1 2 21 Sn=|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-2n + 2 n; 当 n≥12 时,an=n-11,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= 1+n-11 1 2 21 S11+ (n-11)=2n - 2 n+110. 2 综上所述, ? 1 2 21 ?-2n + 2 n,n≤11, Sn=? ?1n2-21n+110,n≥12. 2 ?2

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数列求和及数列的简单应用

体验高考
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4.[2014· 全国卷改编]
? ? 1 ? ? ? ?的 前n项和Tn ? ?anan+1? ?


已 知 an = 13 - 3n , 则 数 列

=________.

n [答案] 10(10-3n)
1 1 ? 1 1? ? ? - [解析] 易知 = ? , ? 3 10 - 3 n 13 - 3 n anan+1 ? ? ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?1 1? 1? ?? ? ? ? 所以 Tn=3??7-10?+?4-7?+?+?10-3n-13-3n??= ? ? ? ?? ? ?? 1 1? 1? n ? ? - ?=10(10-3n). 10 3? 10 - 3 n ? ?
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数列求和及数列的简单应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5.[2014· 江西卷改编] 已知数列{an}的通项公式是 an= (2n-1)3n 1,则数列{an}的 前n项和Sn =________.
- ⑤

[答案] (n-1)3n+1
[解析] Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n-1, 3Sn=1×31+3×32+5×33+?+(2n-1)×3n, - 将两式相减得- 2Sn = 1 + 2(31 + 32 +?+ 3n 1) - (2n - 1)×3n=-2-(2n-2)3n,所以 Sn=(n-1)3n+1.

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数列求和及数列的简单应用

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 数列的简 单应用 关键词:等差 数列模型、等比数 列模型、简单的递 推数列模型,如⑥.

6.[2012· 湖南卷改编 ] 某公司一下属 企业从事某种高科技产品的生产. 该企业 第一年年初有资金 2000 万元,将其投入 生产,到当年年底资金增长了 50%.预计 以后每年 资金年 增长率 与第一 年的相 同. 公司要求企业从第一年开始, 每年年 底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投 入下一年生产. 设第 n 年年底企业上缴资 金后的剩余资金为 an 万元, 则 an+1与an 的 关系式是 ________. 3 [答案] an+1= an-d 2


3 [解析] an+1=an(1+50%)-d=2an-d.
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
知识必备
数 列 求 和 常 及 用 数 求 列 和 的 公 简 式 单 应 用 等比 数列

数列求和及数列的简单应用
n(n-1) n(a1+an) Sn=na1+ d= ,特别 1+2+3+?+n= 2 2 n(n+1) 2
? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , q ? 1, ? 1 ? q 1 ? q ? - Sn = ? 特别 1+2+22+?+2n 1=2n-1 ? na1 , q ? 1
2 2 2 2

等差 数列

(2n+1) 1 +2 +3 +?+n = (1 + 2 + ? + n) = 3 正整数 平方和 n(n+1)(2n+1) 6 正整数 立方和
?n(n+1)?2 ? 1 +2 +?+n =(1+2+?+n) =? 2 ? ?
3 3 3 2

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数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
数 列 求 和 常 及 用 数 求 列 和 的 方 简 法 单 应 用 错位 相减法 倒序 相加法 裂项法 公式法 如 an=2+2n,an=3n 分组法 如 an=2n+2n,an= (-1)nn+2 1 1 如 an= = n(n+1) n 1 - n+1 如 an=(2n-1)· 2n
0 1 如 Cn +Cn +?+kCk n n +?+nCn

常用裂项方法: 1 ? 1 1?1 - ? ?; = n(n+k) k?n n+k? 1 ? 1 1? 1 - ?; = ? n2-1 2?n-1 n+1? 1 ? 1 1? 1 - ? ?; = 4n2-1 2?2n-1 2n+1? n+1 = n(n-1)· 2n 1 1 - - (n-1)· 2n 1 n·2n
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数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
数 列 求 和 及 数 列 的 简 单 应 用 注:表中 n,k 均为正整数.
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等差数列

基本特征是均匀增加或者减少 基本特征是指数增长,常见的是增长率问题、 存款复利问题

等比数列

数列 模型 基本特征是指数增长的同时又均匀减少.如年 一个简单 收入增长率为 20%,每年年底要拿出 a(常数) 递推数列 作为下年度的开销, 记第 n 年的年收入为{an}, 则数列{an}满足 an+1=1.2an-a

第 9讲

数列求和及数列的简单应用

? 考点一 ? 考向一 数列求和

数列求和 分组转化法求和

考 点 考 向 探 究

分组转化 ——利用分组的方法把项转化为便于求和的部分 数列求和 题型:选择、填空、解答 分值:5-14分 难度:中等 热点:含有正负项交替的数列求和

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数列求和及数列的简单应用
例 1 nπ 已知函数 f(n)=n sin 2 (n∈N*),且 an=f(n)+f(n
2

+1),则 a1+a2+a3+?+a2014=________.

[答案] -4032
[ 解析 ] a 1 + a3 + a5 +?+ a2013 = f(1) + f(2) + f(3) +?+ f(2013) + f(2014) = 12 - 32 + 52 - 72 +?+ 20092 - 20112 + 20132 =-2(1+3+?+2011)+20132, a2 + a4 +?+ a2014 = f(2) + f(3) +?+ f(2014) + f(2015) =- 32 + 52 - 72 + ? + 20132 - 20152 = 2(3 + 5 + 7 + ? + 2013) - 20152 所以 a1+a2+a3+?+a2014=-2(1+3+?+2011)+20132 +2(3+5+7+?+2013)-20152=-2×1+2×2013+20132- 20152 =- 2 + 2013×2015 - 20152 =- 2 + 2015(2013 - 2015) = -2-4030=-4032.
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考 点 考 向 探 究

第 9讲

数列求和及数列的简单应用

nπ [小结] 本题中 sin 2 (n∈N*)在 n=1,2,3,?时的 取值规律是 1,0,-1,0,1,0,-1,0,?,所以 f(1) +f(2)+f(3)+f(4)=a1+a3=12-32,同理可得后面连续四 项的取值规律,这样可以求得 a1+a3+?+a2013.同理可以 求得 a2+a4+?+a2014.数列的项如果具有某种周期性,则 可使用分组求和法.
考 点 考 向 探 究

变式题

已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-
? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

2(n∈N*),数列 bn 满足 b1=1,且 bn+1=bn+2. (1)求数列 an ,{bn}的通项公式; (2)设 cn=an·sin 的前 2n 项和 T2n.
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2nπ
? ? ? ? ? ?

2

-bn·cos

2nπ

2

(n∈N*),求数列{cn}

第 9讲

数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

解:(1)当n=1时,a1=2a1-2,∴a1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1. ∴数列{an}是等比数列,且公比为2,首项为2,∴an =2n. 由bn+1=bn+2,得{bn}是公差为2的等差数列.又首项 b1=1, ∴bn=2n-1. n ? ?2 ,n为奇数, (2)由(1)知cn=? ? ?-(2n-1),n为偶数, ∴T2n=2+23+?+22n-1-[3+7+?+(4n-1)]= 22n+1-2 2 - 2 n -n. 3
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

? 考向二 数列求和

错位相减求和

考 点 考 向 探 究

错位相减求和——使用错位相减的方法求数列的前 n 项 和 题型:选择、填空、解答 分值:5-14 分 难度:中等 热点:等差数列、等比数列综合题中使用错位相减方法求和

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

例 2 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S1, 2S2,3S3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解:(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S1=a1= 1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,S1+3S3=10≠2×2S2,
考 点 考 向 探 究

a1(1-qn) 1-qn 与已知矛盾,故q≠1,所以Sn= = . 1-q 1-q 由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=2×2S2,即 1-q3 1-q2 1 1+3× =4× ,解得q= 3 (q=0舍去),所以an 1-q 1-q =a1·q
n-1

?1?n-1 =?3? . ? ?
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数列求和及数列的简单应用
?1?n-1 (2)由(1)得,bn=nan=n?3? , ? ? ?1?2 ?1?n-1 1 所以Tn=1+2×3+3×?3? +?+n?3? ,① ? ? ? ? ?1?2 ?1?3 ?1?n 1 1 ? ? ? ? ? ? 3Tn=3+2×?3? +3×?3? +?+n?3? ,② 9 3+2n?1?n-1 由①-②可解得Tn=4- 4 ?3? . ? ?

考 点 考 向 探 究

[小结] 错位相减求和法适用于一个等差数列与一个等 比数列对应项相乘后得出的数列的求和,但要注意求和的 准确性,注意相减后得出 n+1 项和式的结构.特别要注意 两种情况:(1)第 1 项到第 n 项组成等比数列;(2)第 1 项到 第 n 项不能组成等比数列,但第 2 项到第 n 项能组成等比 数列.在计算时要把各个部分计算准确.
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

变式题 在等差数列{an}中,公差 d≠0,a1=1 且 a1, a2 ,a5 成等比数列.在数列{bn}中,b1=3,bn+1=2bn- 1(n∈N*). (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{an·(bn-1)}的前 n 项和 Tn.

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

2 解:(1)依题意得a1=1,a 2 2 =a1a5,即(1+d) =1·(1 +4d),解得d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1. 在数列{bn}中,由bn+1=2bn-1,得bn+1-1=2(bn- 1),∴数列{bn-1}是首项为b1-1=2,公比为2的等比数 列,∴bn-1=2×2n-1=2n,即bn=2n+1. (2)由(1)得an·(bn-1)=(2n-1)· 2n, - ∴Tn=1×2+3×22+5×23+?+(2n-3)· 2n 1+(2n- 1)· 2n, 2Tn=1×22+3×23+5×24+?+(2n-3)· 2n+(2n- 1)· 2n+1,两式相减得-Tn=2+2(22+23+?+2n-1+2n)- 2 n 1 2 ( 1 - 2 ) + n+1 (2n-1)· 2 =2+2× -(2n-1)· 2n 1,整理 1-2


得Tn=6+(2n-3)2n+1.
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

?

考向三

裂项相消求和

数列求和

考 点 考 向 探 究

裂项相消求和——通过对数列的项分解裂项达到求和 的目的 题型:选择、填空、解答 分值:5-14 分 难度:中等 热点:在等差数列的综合题中使用裂项方法求和

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

例 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n, 都有 an=5Sn+1 成立. (1)求数列{an}的通项公式; ? 1 ? ? ? (2)设 bn=log4|an|,求数列?b ·b ?的前 n 项和 Tn. ? n+2? ? n ?
考 点 考 向 探 究

1 解:(1)当 n=1 时,a1=5S1+1,∴a1=-4. 又 an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,∴an+1-an=5an+1, an+1 1 1 1 即 =-4,∴数列 {an}是首项为-4,公比为-4 的等 an 比数列, ? 1?n ∴an=?-4? . ? ?
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用
?? 1?n? (2)bn=log4??-4? ?=-n, ?? ? ?

考 点 考 向 探 究

1 ? 1 1 1? ?1 ? ∴ = =2?n- , ? n + 2 bnbn+2 n(n+2) ? ? ?1 ? ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ? ? ?? ∴Tn= ??1-3?+?2-4?+?+?n- ?= 2?? n+2? ? ? ? ? ?? ? 2n+3 1? ?1+1- 1 - 1 ? 3 = - . 2 n+1 n+2? 2? ? ? 4 2(n+1)(n+2)

[小结] 裂项相消求和的基本思想是把数列的通项分解 为两项的差,如 an=bn+1-bn 的形式,在求数列{an}的前 n 项和时就出现了相互抵消的项,最后的结果是两项(或者四 项)的和差.
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数列求和及数列的简单应用

?

考点二

数列的简单应用

数列的应用——等差数列、 等比数列、 简单递推数列模型 的应用
考 点 考 向 探 究

题型:选择、填空、解答 热点:数列模型的应用

分值:5-12 分

难度:中等

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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

例 4 甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液 300 ml, 从甲容器中取出 100 ml 溶液,将其倒入乙容器中搅匀,再从乙容器 中取出 100 ml 溶液,将其倒入甲容器中搅匀,称这为一次调和.已 知第一次调和后,甲、乙两种溶液的浓度分别为 a1=20%,b1=2%, 记第 n 次调和后甲、乙两种溶液的浓度分别为 an,bn(n∈N*). (1)请用 an,bn 分别表示 an+1 和 bn+1. (2) 经过多少次调和后,甲、乙两容器中溶液的浓度之差小于 0.1%?

100an+300bn 1 3 解:(1)由题意可得 bn+1= = an+ bn,an+1= 4 4 100+300

100bn+1+200an 1 3 ? 2 2 1?1 3 1 ? ? a + b =3bn+1+3an=3 4 n 4 n +3an=4an+4bn. 100+200 ? ? (2)由于题目中的问题是针对甲、乙两容器中溶液的浓度之 差,所以不妨直接考虑数列{an-bn}.
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数列求和及数列的简单应用
?3 1 ? ?1 3 ? 1 由(1)可得an+1-bn+1=?4an+4bn?-?4an+4bn?= (an-bn),所 ? ? ? ? 2

考 点 考 向 探 究

1 以数列{an-bn}是以a1-b1=0.18为首项,以 2 为公比的等比数 ?1? n-1 ?1? n-1 1 ? ? ? ? 列,所以an-bn=0.18× 2 .令an-bn<0.001,得 2 < 180 ? ? ? ? lg 180 * (n∈N ),所以n-1> lg 2 =log2180(n∈N*).由27<180<28, 得7<log2180<8,所以n>8(n∈N*),即第9次调和后甲、乙两 容器中溶液的浓度之差小于0.1%.

[小结] 数列应用题的解法一般是根据题设条件建立等 差或等比数列模型,然后用数列的知识,选用适当的方法 求解,最后返原(把数学问题的解结合实际问题的情景,选 择其符合实际问题的解).
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第 9讲

数列求和及数列的简单应用

—— 教师备用例题 ——

【配例 2 使用】已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项 1 和为 Sn,首项为 a1,且2,an,Sn 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若
?1? bn 2 an=? ? ?2?

例1

bn ,cn=a ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n

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数列求和及数列的简单应用
1 解:(1)由题意知2an=Sn+2,an>0. 1 1 当n=1时,2a1=a1+2,∴a1=2. 1 1 当n≥2时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, an 两式相减得an=2an-2an-1,整理得 =2, an-1 1 ∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列, 1 n-1 ∴an=2×2 =2n-2. - bn (2)由(1)知a2 = 2 =22n-4,∴bn=4-2n, n 4-2n 16-8n bn ∴cn=a = n-2 = 2n , 2 n
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数列求和及数列的简单应用
24-8n 16-8n 8 0 -8 ∴Tn=2+22+ 23 +?+ n-1 + 2n ,① 2 24-8n 16-8n 1 8 0 T = + +?+ + n+1 .② 2 n 22 23 2n 2
?1 1 1 ? 16-8n 1 ①-②,得2Tn=4-8?22+23+?+2n?- n+1 =4- 2 ? ?

1 ? 1? ? ? 2?1- n-1? ? 2 ? 2 ? 16-8n 1 ? ? ? 16-8n 4n 1- n-1?- n+1 = n , 8× 2 ? 1 - 2n+1 =4-4? 2 2 ? 1-2 8n ∴Tn= 2n .

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数列求和及数列的简单应用

例 2 【配例 3 使用】数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 1 (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tn<2. bnbn+1

解:(1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an-1. 当 n=1 时,a1=S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an- 2an-1, an ∴an=2an-1 ,即 =2, an-1

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数列求和及数列的简单应用

∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴an=2n-1,Sn=2n-1. 设数列{bn}的公差为d,则b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2, ∴bn=1+(n-1)×2=2n-1. 1 1 1 (2)证明:由(1)知cn= = = 2 bnbn+1 (2n-1)(2n+1) ? 1 1 ? ? ? - ?2n-1 2n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ∴Tn= ?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1? ? 2? ? 1 ? 1? 1 ? * ∵n∈N ,∴Tn=2?1-2n+1? < ? 2. ? ?

1 ? ? 1 1? ? .又 = ? 2 n ? 1 ? 2 ?

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数列求和及数列的简单应用

例 3 【配例 3 使用】[2013· 江西卷] 正项数列{an}的前 n 2 2 项和 Sn 满足:S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0. n n (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明: (n+2)2an 5 对于任意的 n∈N ,都有 Tn< . 64
*

2 2 解:(1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得 [Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n- 1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项为 an=2n.

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数列求和及数列的简单应用

n+1 (2)证明:由于an=2n,bn= 2, (n+2)2an
? 1 n+1 1? ?1 ? - 2 则 bn = 2 . 2 2= (n+2) ? 4n (n+2) 16? ?n ?

1 Tn= 16

? 1 1 1 1 1 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 3 2 4 3 5

1 1 ? ? ? ? 2? 2 2 2? ? n ? 1? ? n ? 1? n ? n ? 2 ? ? ? 1 1

? 1 ?1 ? 1 ? 1 1 1 1? 5 ? ? 2 ?= 1 + - - 2 =16? < . 2 2 2 ? ? 16 ? ? 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) 64 ? ?

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