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奥狐杯竞赛函数第二讲


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奥狐杯竞赛函数第二讲:二次函数★★★
本节内容是高考重点要掌握的内容, 是高考大题综合出题的常考点, 需要同学们对函数 的性质有一个真正的理解,达到灵活运用的程度,本节内容掌握起来有难度。 第一部分:二次函数综合 二次函数长考图像、最值、单调性,常运用的方

法有分类讨论、数形结合,因函数常与 不等式结合考查, 本节常需要韦达定理和不等式的思想, 需要补充均值不等式的证明和运用 及三次方程的韦达定理及运用。 1.二次函数与不等式结合 例 1.设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? (1)若 f ? 0 ? ? 1, f ?1? ? 1, f ? ?1 ? ? 1 ,试证明:对于任意 x ? 1,有 f ? x ? ? (2)若 x ? 1时,有 f ? x ? ? 1 ,求证:当 x ? 1时, 2ax ? b ? 4 解: (1)由 f ? ?1? ? a ? b ? c , f ?1? ? a ? b ? c , f ? 0? ? c 可解得: a ?

5 ; 4

1 1 f ?1? ? f ? ?1? ? 2 f ? 0 ? ? , b ? ? f ?1? ? f ? ?1? ? , c ? f ? 0? , ? 2 2
? x2 ? x ? ? x2 ? x ? 2 ? f ? 1 ? ? ? ? ? ? f ? 0 ? ?1 ? x ? 2 2 ? ? ? ?

因此, f ? x ? ? f ?1? ? ① 当 ?1 ? x ? 0 时

f ? x ? ? f ?1? ?

x2 ? x x2 ? x ? f ? ?1? ? ? f ?0? ? 1 ? x2 2 2
2

x2 ? x x2 ? x 1? 5 5 ? ? ? ? 1 ? x2 ? ? x2 ? x ? 1 ? ? ? x ? ? ? ? 2 2 2? 4 4 ?
②当 0 ? x ? 1 时

f ? x ? ? f ?1? ?

x2 ? x x2 ? x ? f ? ?1? ? ? f ?0? ? 1 ? x2 2 2
2

1? 5 ? ? ? x2 ? x ? 1 ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
(2)由 ?1? 知 2ax ? b ?

? f ?1? ? f ? ?1? ? 2 f ? 0? ? x ? 1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? 2

= ?x?

? ?

1 1 1? 1? ? ? f ?1? ? ? x ? ? f ? ?1? ? 2 f ? 0 ? ? x ? ? x ? ? 2 ? 4 2 2 2? 2? ?

2 2 例 2:已知 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? kx

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(1)若 k ? 2 ,求方程 f ? x ? ? 0 的解; ( 2 )若关于 x 的方程 f ? x ? ? 0 在 ? 0, 2 ? 上有两个解 x1 , x2 ,求 k 的取值范围,并证明:

1 1 ? ?4 x1 x2
2 2 解(1)当 k ? 2 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 x ? 0

①当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 1 时,方程化为: 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?
2 2

?1 ? 3 ,而 2

0?

?1 ? 3 ? 1 舍去; 2
1 2

2 ②当 x ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 ,方程化为 2 x ? 1 ? 0 ,解得: x ? ?

由①②得当 k ? 2 时,方程 f ? x ? ? 0 的解为 x ? ( 2 ) 方 程

1 ?1 ? 3 或x ? ? 2 2


f ? x ? ? x 2 ? 1 ? x 2 ? kx ? 0

? 0, 2?











x1 , x2 ? ?k ? g ? x ? ? x ?

1 ? x 在 ? 0, 2 ? 有两解 x1 , x2 x

?1 ? 0 ? x ? 1? ? ?x ? ?k ? g ? x ? ? ? 在 ? 0, 2 ? 上有两个解 x1 , x2 ?2 x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? ? x ?
如图所示,作出函数 y ? g ? x ? 的图像,由图像可知:当且仅当 1 ? ? k ? 时 , 方 程 f ? x ? ? 0 在 ? 0, 2 ? 上 有 两 个 解 x1 , x2 , 且

7 7 ,即 ? ? k?? 1 2 2

1 1 1 1 ? ? , 2 x2 ? ? ? , 所 以 x1 k x2 k

1 1 ? ? 2 x2 ? 4 x1 x2
例 3:已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b,c ? R,a ? 0? ,满足 f ? ?1? ? 0 ,对于任意的
2

? x ?1 ? x ? R ,都有 f ? x ? ? x ? 0 ,并且当 x ?? 0,2? 时,有 f ? x ? ? ? ? ? 2 ?
(1)求 f ? x ? 的表达式子;
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(2)当 x ?? ?1,1? 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? x ? R? 是单调的,求证: m ? 0 或 m ? 1

1 ,对于任意的 x ? R ,都有 f ? x ? ? x ? 0 2 1 1 1 ? a ? c 2 ? a得c ac ? ? a ? 0, ? ? 0 , ? a ? 0, ac ? , 又 , 故 16 16 2 1 1 1 1 1 1 ac ? , a ? , b ? ,? f ? x ? ? x 2 ? x ? 16 4 c 4 2 4
解: (1)由 f ?1? = 1 , f ? ?1? ? 0 ,解得 b ? (2) g ? x ? ?

1 2 ?1 1 1? ? ?1 ?? 1 ? 1 ? x ? ? ? m ? x ? ? ? x ? 2 ? ? m ?? ? ? ? ? m ? 4 4 4? ?2 ? ?2 ?? 4 ? 2 ?

2

2

?1 ? ? x ???1,1? 时, g ? x ? 为单调函数,? 2 ? ? m ? ? 1,解得 m ? 0 或 m ? 1 ?2 ?
补充 1:均值不等式★★★ 设 a1 , a2 , ???, an 是 n 个正实数,记

Qn ?

a 21 ? a 22 ? ??? ? a 2 n a ? a ? ???an , An ? 1 2 , n n
n 1 1 1 ? ? ??? a1 a2 an

G n ? n a1a2 ??? an , H n ?

那么则有 Qn ? An ? Gn ? H n ,并且等号成立的条件是 a1 ? a2 ? ??? ? an ,用文字记忆就是: 平方平均数( Qn ) ? 算术平均数( An ) ? 几何平均数( Gn ) ? 调和平均数( H n ) 。 其中: An ? Gn 就是通常所说的均值不等式 思考:均值不等式如何证明?均值不等式在使用时要注意哪些? 1. 补充 2:绝对值不等式绝对值不等式★

a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 a ? b ? a ?b ? a ? b
补充 3:三次方程韦达定理及运用★★★★★ 设三次方程 ax ? bx ? cx ? d ? 0 的三个根(可以是虚根)分别为 x1 , x2 , x 3 ,则有
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b ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? a ? c ? ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? a ? d ? ? x1 x2 x3 ? ? a ?
思考:如何证明?如何记忆公式? 例 1:三次方程 x ? ax ? 21x ? b ? 0 的两个解是 1,3,求常数 a , b 及其余的解。
3 2

例 2:方程 x3 ? px2 ? qx ? 1 ? 0 有三个实根,且 p>0, q>0. 求证: pq ? 9.

2.二次方程根的问题 例 1.已知关于 x 的方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0
2

(1) 若该方程有两个实数根, 其中一根在区间 ? ?1,0? 内, 另一根在区间 (1, 2) 内, 求实数 m 的范围; (2)若该方程两实数根均在区间 ? 0,1? 内,求实数 m 的取值范围;

例 2.方程 x ?
2

3 x ? k ? 0 在 ? ?1,1? 上有实根,求实数 k 的取值范围。 2

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例 3. 集 合 A ?

?? x, y ? y ? x

2

? mx ? 2 , B ? ?? x, y ? x ? y ? 1 ? 0, 0 ? x ? 2? , 若

?

A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围。

3.恒成立问题
2 例 1.设函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 2 , 对于满足 1 ? x ? 4 的一切 x 的值都有 f ? x ? ? 0 , 求实数

a 的取值范围;

例 2:设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________

例 3: f ? x ? ? ?1 ? a ? x ? x ? ?3a ? 2? x ? 4a ,试证明对任意实数 a ;
4 3 2

1) 方程 f ? x ? ? 0 总有相同实根; 2) 存在 x0 ,恒有 f ? x0 ? ? 0 ;

4.函数的凹凸性(琴生不等式见函数第三讲)
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作业思考: (★★★挑战自我)求一个整系数多项式 f ( x) ? an xn ? an?1 xn?1 ? …? a0 ,使得

f ( x) ? 0 有一个根为 2 ? 3 3 .

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