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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.3 函数的定义域和值域


?1.3 函数的定义域和值域

一、选择题 1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( ) A.(0,8] B.(2,8] C.(-2,8] D.[8,+∞) 解析:由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得: ?x+2≤10, ? lg(x+2)≤lg10, ∴? 解得-2<x≤8, 故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(- ? ?x+2>0, 2

,8],选 C. 答案:C f?2x? 2.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( ) x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) ? ?0≤2x≤2, 解析:由? 得 0≤x<1,选 B. ?x-1≠0, ? 答案:B 2+x x? ?2? 3.设 f(x)=lg ,则 f? ) 2 ? ?+f?x?的定义域为( 2-x A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 2+x 解析:由 >0,得 f(x)的定义域为-2<x<2. 2-x

?-2<2<2, 故? 2 ?-2<x<2.

x

解得 x∈(-4,-1)∪(1,4).

x? ?2? 故 f? ?2?+f?x?的定义域为(-4,-1)∪(1,4).故应选 B. 答案:B 4.函数 y=log2x+logx(2x)的值域为( ) A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析:y=log2x+logx2+1. 故 log2x+logx2≥2 或 log2x+logx2≤-2. 所以 y≥3 或 y≤-1. 答案:D 1 ? 1 5.若函数 f(x)的值域是? ) ?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+f?x?的值域是( 5 10? 10? ? 10? ? 5? A.? C.? ?2, 3 ? B.?0, 3 ? ?2, 3 ? D.?2,2? 1 解析:令 t=f(x),则 ≤t≤3. 2 1 ? 1 易知函数 g(t)=t+ 在区间? ?2,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. t 1? 5 10 又∵g? ?2?=2,g(1)=2,g(3)= 3 . 10? 1 可知函数 F(x)=f(x)+ 的值域为? ? 2, 3 ? . f?x? 答案:C
1

2 ? ?x ,|x|≥1, 6.设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域 ?x,|x|<1, ?

是(

) A.(-∞,-1]∪[1,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

C.[0,+∞) D.[1,+∞) 解析:f(x)的图象如图所示:f(x)的值域为(-1,+∞)若 f[g(x)]的值域为[0,+∞),只需 g(x)∈(-∞,-1]∪[0,+∞),而 g(x)为二次函数,所以 g(x)∈[0,+∞),故选 C 项. 答案:C 二、填空题 7 .已知函数 f(x) = ln(mx2 - 4mx + m + 3) 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 __________. 解析:∵f(x)定义域为 R, ∴mx2-4mx+m+3>0 恒成立. ①m=0 时,3>0 恒成立. ?m>0, ? ②m≠0 时,要使 f(x)定义域为 R,只需? ?0<m<1. 2 ? ?Δ=?-4m? -4m?m+3?<0 综上所述:m 的取值范围是 0≤m<1. 答案:0≤m<1 4? 8.已知函数 f(x)= x-1,则函数 y=f[f(x)]+f? ?x?的定义域是__________. 解析:∵f(x)= x-1,则函数 f(x)的定义域是{x|x≥1},对于 f[f(x)],应有 x-1≥1, 4? 4 ∴x≥2;对于 f? ?x?应有x≥1,∴0<x≤4,∴x 的取值范围是 2≤x≤4,即所给函数的定义域 是[2,4]. 答案:[2,4] ?x,x<0, ? 1 9 . 已 知 f(x) = (x + |x|) , g(x) = ? 2 函 数 f[g(x)] = __________ , 值 域 为 2 ?x ,x≥0, ? __________. 1 1 解析:当 x≥0 时,g(x)=x2,故 f[g(x)]=f(x2)= (x2+|x2|)= (x2+x2)=x2; 2 2 1 1 当 x<0 时,g(x)=x,故 f[g(x)]=f(x)= (x+|x|)= (x-x)=0. 2 2 ? ?0,x<0, ∴f[g(x)]=? 2 ?x ,x≥0. ? 由于当 x≥0 时,x2≥0,故 f[g(x)]的值域为[0,+∞). ? ?0,x<0, 答案:? 2 [0,+∞) ?x ,x≥0 ? 三、解答题 10.设函数 f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为 A. (1)若 1∈A,-3?A,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. ? ?1+a+1>0, 10 解析:(1)由题意,得? 所以 a≥ . 3 ?9-3a+1≤0, ?
2

10 ? 故实数 a 的取值范围为? ? 3 ,+∞?. (2)由题意,得 x2+ax+1>0 在 R 上恒成立, 则 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2. 故实数 a 的取值范围为(-2,2). 11.设 f(x)= ax2+bx,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b,使函数 f(x)的定义域和值域相同. 解析:(1)若 a=0,则对于每个正数 b,f(x)= bx的定义域和值域都是[0,+∞),故 a =0 满足条件; b? (2)若 a>0, 则对于正数 b, f(x)= ax2+bx的定义域为 D={x|ax2+bx≥0}=? ?-∞,-a? ∪[0,+∞),但 f(x)的值域 A?[0,+∞),故 D≠A,即 a>0 不符合条件. b 0,- ?. (3)若 a<0,则对正数 b,f(x)= ax2+bx的定义域 D=? a ? ? b b b ?0, ?, ? 由于此时 f(x)max=f? ? ?-2a?=2 -a,故 f(x)的值域为? ? 2 -a?

?a<0, b b 则- = ?? ?a=-4, a 2 -a ?2 -a=-a 综上所述:a 的值为 0 或-4. 12.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 f(a)=2-a|a+3|的值域. 解析:(1)∵函数的值域为[0,+∞), 3 ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0?2a2-a-3=0?a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ , 2 ∴a+3>0, ∴f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2, 3 3 17 a+ ?2+ ?a∈?-1, ??. =-? 2 2 ? ? 4? ? ?? 3 ? ∵二次函数 f(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? 19 ? 19 ? ∴f? ?2?≤f(a)≤f(-1),即- 4 ≤f(a)≤4,∴f(a)的值域为?- 4 ,4?.

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