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2012届高三数学一轮复习阶段性测试题12(北师大版))

时间:2015-03-24


阶段性测试题十二(计数原理与概率)理 阶段性测试题十二(概率)文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2011· 南昌调研)甲、乙两人下棋,甲获

胜的概率为 30%,甲不输的概率为 80%, 则甲、乙两人下盘棋,你认为最可能出现的情况是( A.甲获胜 C.甲、乙下成和棋 [答案] C [解析] 两人下成和棋的概率为 50%,乙胜的概率为 20%,故甲、乙两人下一盘棋,最有 可能出现的情况是下成和棋. (理)(2011· 东北育才中学模拟)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名,执行世锦赛 的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地有两名来自不同国家的裁判,则不同 的安排方案共有( A.48 种 C.36 种 [答案] A
1 1 [解析] 一号场地的安排方案有 C2 3C2C2=12 种,即表示从 3 个国家中选择 2 个,而后再

)

B.乙获胜 D.无法得出

) B.24 种 D.96 种

从所选择的 2 个国家中各选择一名裁判,最后剩余 1 个国家的两名裁判,和另外 2 个国家各
2 剩的一名裁判,将其分到两个场地易求得 A2 2A2=4 种安排方案,综上,共有 12×4=48 种安

排方案. 2.(文)(2010· 铜川质检)取一根长度为 4m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两 段都不少于 1m 的概率是( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] C [解析] 把绳子 4 等份,当剪断点位于中间两部分时,两段绳子都不少于 1m,故所求概 2 1 率为 P= = . 4 2 ) 1 B. 3 2 D. 3

(理)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标 号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( A.12 种 C.36 种 [答案] B
2 [解析] 由题意不同的放法共有 C1 3C4=18 种.

)

B.18 种 D.54 种

3.(文)(2011· 太原模拟)从 1,2,3,4 这四个数中,不重复地任意取两个数,两个数一奇一偶 的概率是( 1 A. 6 1 C. 3 [答案] D 4 2 [解析] 基本事件总数为 6,两个数一奇一偶的情况有 4 种,故所求概率为 P= = . 6 3 (理)(2011· 芜湖一中期中)从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个球中,任取 5 个球,则这 5 个球的编号之和为偶数的概率是( 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C [解析] 从 10 个球中任取 5 个球,共有 C5 10种取法,取出的 5 个球的编号之和为偶数的取 126 1 4 3 2 5 法种数为 C1 5C5+C5C5+C5=126,故所求的概率为 5 = . C10 2 4.(2011· 济南二模)如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分 a 都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的扇形,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板 , 2 且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是( ) ) 1 B. 3 2 D. 3 ) 2 B. 5 2 D. 3

π A.1- 4 π C.1- 8 [答案] A

π B. 4 D.与 a 的取值有关

a?2 a2-π? ?2? π [解析] 几何概型,P= =1 - . a2 4 故选 A. 5.(文)(2011· 西安模拟)某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨 是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他就不会淋雨,则下列 说法正确的是( ) 3 B.淋雨的可能性为 4 1 D.淋雨的可能性为 4

A.一定不会淋雨 1 C.淋雨的可能性为 2 [答案] D [解析]

基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到 ”“不下雨帐篷

1 未到”4 种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为 . 4 (理)(2011· 西安模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢两 局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率为( A.0.216 C.0.432 [答案] D [解析] 据题意甲取胜有两种情形. (1)甲先胜两局概率为 P1=0.62=0.36. (2)甲前两局中胜一局,第三局胜的概率为 P2=2×0.6×(1-0.6)×0.6=0.288, ∴甲获胜的概率为 P=P1+P2=0.648. 6.(文)(2010· 太余月考)从含有 4 个元素的集合的所有子集中任取一个,所取的子集是含 有 2 个元素的集合的概率是( 3 A. 10 45 C. 64 [答案] D [解析] 4 个元素的集合共 16 个子集,其中含有两个元素的子集有 6 个,故所求概率为 P 6 3 = = . 16 8 (理)(2010· 江西卷)(1-x)10 展开式中 x3 项的系数为( A.-720 B.720 ) ) 1 B. 12 3 D. 8 B.0.36 D.0.648 )

C.120 [答案] D

D.-120

3 [解析] 本题考查了二项式展开定理,要认清项的系数与二项式系数的区别 C3 10(-x) =- 3 3 C10 x ,∴系数-C3 10=

10×9×8 =-120,故选 D. 3×2×6

7.(文)(2011· 扬州一模)连掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,记向量 a=(m,n)与向量 b π? =(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈? ?0,2?的概率是( 5 A. 12 7 C. 12 [答案] C [解析] 基本事件总数为 36, a· b 由 cosθ= ≥0 得 |a||b| a· b≥0, 即 m-n≥0, 包含的基本事件有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共 21 个, 21 7 故所求概率为 P= = . 36 12 (理)(2011· 浙江温州五校联考)设随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的均值的最小值是( 1 A. 2 C .2 [答案] A 2p p p 1- ?=2-p, [解析] EX=0× +1× +2×? 3? ? 3 3 p 2 3 又∵ ≥0,1- p≥0,∴0≤p≤ , 3 3 2 3 3 1 当 p= 时,EX 的值最小,最小值为 2- = . 2 2 2 8.(文)(2011· 武汉调研)从-1,0,1,2 这四个数中选出三个不同的数作为函数 f(x)=ax2+bx +c 的系数,可组成不同的二次函数,其中不同的二次函数是偶函数的概率为( 1 A. 4 1 B. 3 ) ) B.0 D.随 p 的变化而变化 0 p 3 1 p 3 2 2 1- p 3 ) 1 B. 2 5 D. 6

1 C. 2 [答案] B

2 D. 3

[解析] 因为组成不同的二次函数,故 a≠0,则 a 的选法有 3 种,b,c 从余下的 3 个中 任取 2 个,选法有 3×2=6 种,所以组成的不同二次函数共有 3×6=18 种,组成的函数为偶 6 1 函数,必须满足 a≠0,且 b=0 有 3×2=6 种,可得: = . 18 3 (理)(2011· 安徽调研)设(1+x)8=a0+a1x+?+a8x8, 则 a0, a1, ?, a8 中奇数的个数为( A.2 C .4 [答案] A
0 8 7 1 6 2 5 3 4 [解析] ak=Ck 8,只有 C8=C8=1 为奇数,C8=C8=8,C8=C8=28,C8=C8=56,C8=70

)

B.3 D.5

均为偶数. 9.(文)(2011.1· 宝鸡期末)在一张打方格的纸上投一枚直径为 1 的硬币,方格的边长(方格 边长设为 a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于 1%( 9 A.a> 10 10 C.1<a< 9 [答案] C [解析] 硬币与方格线不相交,则 a>1 时,才可能发生,在每一个方格内,当硬币的圆心 落在边长为 a-1,中心与方格中心重合的小正方形内时,硬币与方格线不相交,故硬币与方 ?a-1?2 ?a-1?2 10 格线不相交的概率 P= ,由 <1%得 1<a< . 2 2 a a 9 (理)(2011.1· 宝鸡期末)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内, 曲线 y=x2 和曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分), 向正方形 AOBC 内随机投一点(设点落在正方形 AOBC 内任 何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] B [解析] S 阴=?1( x-x2)dx 1 B. 3 1 D. 6 ) 10 B.a> 9 9 D.0<a< 10 )

?0

2 3 1 3??1 1 S阴 1 = ? ?3x2-3x ??0=3,S 正=1,∴P=S正=3,故选 B. 10.(文)(2011· 合肥一模)设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和集合 B 中随机取 一个数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件

Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 C .2 和 5 [答案] D B.4 D.3 和 4

)

1 [解析] 点 P(a,b)的个数共有 2×3=6 个,落在直线 x+y=2 上的概率 P(C2)= ;落在 6 2 2 直线 x+y=3 上的概率 P(C3)= ;落在直线 x+y=4 上的概率 P(C4)= ;落在直线 x+y=5 上 6 6 1 的概率 P(C5)= .故选 D. 6 (理)已知函数 f(x)=x3-3x,当 x 在区间[-1,3]上任意取值时,函数值不小于 0 又不大于 2 的概率是( 3- 3 A. 4 ) 3- 3 B. 3

2- 3 C. 4 [答案] A

2- 3 D. 3

[解析] 函数 f(x)=x3-3x 的两个极值点是-1,1,三个零点是± 3,0,结合函数图像和函 数的单调性可以知道,当 x 在区间 [ - 1,0] , [ 3 , 2] 上取值时符合要求,故所求的概率是 1+?2- 3? 3- 3 = . 4 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.(文)(2011· 许昌一模)实数 x,y 满足|x|≤2,|y|≤1,则任取其中 x,y,使 x2+y2≤1 的 概率为________. [答案] π 8

[解析] 点(x,y)在由直线 x=± 2 和 y=± 1 围成的矩形上或其内部,使 x2+y2≤1 的点(x,

π π y)在以原点为圆心,以 1 为半径的圆上或其内部,故所求概率为 P= = . 4×2 8 (理)(2011· 许昌一模)已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条
?f?2?≤12 ? 件? 为事件 A,则事件 A 发生的概率为________. ? ?f?-2?≤4

[答案] [解析]

1 2

0≤b≤4 ? ?0≤c≤4 由题意知,事件 A 所对应的线性约束条件为? 4+2b+c≤12 ? ?4-2b+c≤4 阴影部分所示, S△OAD 1 所以事件 A 的概率 P(A)= = . S正方形OABC 2

,其对应的可行域如图中

12. (文)集合 A={2,4,6,8,10}, B={1,3,5,7,9}, 在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任一元素 n, 则所取两数 m>n 的概率是________. [答案] 3 5

[解析] 基本事件总数为 5×5=25 个,m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,n 15 3 =1,3,5;m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9,共 15 个.故 P= = . 25 5 (理)(2011· 长沙调研)两名战士在一次射击比赛中,战士甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别 为 0.4、0.1、0.5;战士乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1、0.6、0.3,那么两名战士获胜 希望大的是______. [答案] 乙 [解析] 战士甲得分的随机变量的分布列为: X P甲 1 0.4 2 0.1 3 0.5

∴EX=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1; 战士乙得分的随机变量分布列为:

Y P乙 ∴EY=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2. ∵EX<EY,则战士乙获胜的希望大.

1 0.1

2 0.6

3 0.3

13.(文)(2011· 芜湖模拟)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成 64 个同样大小的正方体, 从这些小正方体中任取一个,恰有 2 面涂有颜色的概率是________. [答案] 3 8

[解析] 先将正方体均匀切割成 8 个小正方体,再将每个小正方体同样切割成 8 个更小的 正方体,这样共有 24 个 2 面涂有颜色的小正方体. 24 3 ∴概率为 = . 64 8 (理)(2011· 芜湖模拟)有一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个,已知红 球的个数比白球多,但比白球的 2 倍少,若把每一个白球都记作数值 2,每一个红球都记作数 值 3,则所有球的数值的总和等于 60,现从中任取一个球,则取到红球的概率等于________. [答案] 14 23

[解析] 设红球 x 个,白球 y 个

? y ?xx> 依题意有? <2y x∈N ? ?y∈N
________. [答案] 1 6

3x+2y=60
? ?x=14 C1 14 14 ,解得? ∴P= 1 = . C 23 23 ?y=9 ?

* *

14.(2011· 郑州一模)假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生 早上到校先后的可能性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为

1 [解析] 将 3 人排序共包含 6 个基本事件,由古典概型得 P= . 6 15.(文)(2011· 晋中模拟)把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 m,第二次出现的
?mx+ny=3, ? 点数记为 n,方程组? 只有一组解的概率是________. ? ?2x+3y=2

[答案]

17 18

m n [解析] 由题意,当 ≠ , 2 3

即 3m≠2n 时方程组只有一解. 基本事件总数为 36,满足 3m=2n 的基本事件有(2,3),(4,6)共两个. 故满足 3m≠2n 的基本事件数为 34 个. 34 17 故所求概率为 P= = . 36 18 π 1 (理)(2011· 晋中模拟)已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- )6 的展开式中含 x2 项 2 x 的系数是________. [答案] -192 [解析] π π π π 由已知得 a=∫ 0(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 0=(sin -cos )-(sin0-cos0) 2 2 2 2 1 6 - - r ) 的展开式中含 x2 的项是 Tr+1=(-1)r×C6 ×26 r×x3 r,其中 r=1,故 x

=2,从而得(2 x-

5 其系数为(-1)1×C1 6×2 =-192.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) (2011· 宣城一模)有 2 个人在一座 11 层大楼的底层进入电梯,设他们中的每一个人自第二 层开始在每一层离开是等可能的,求这 2 个人在不同层离开的概率. [解析] 2 人中每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的,即每人都可以从第二层 到第十一层的任何一层离开, 因此每人有 10 种离开的方法, 所以共有 100 种不同的离开方法, 即基本事件总数为 n=10×10=100. 记“两个人在不同层离开”为事件 A,下面求 A 包含的基本事件数,第一人离开有 10 种 方法,第二人离开有 9 种方法,故共有不同离开方法数为 m=10×9=90. m 90 由古典概型概率公式得 P(A)= = =0.9. n 100 17.(本小题满分 12 分) (文)(2011· 开封月考)一盒中装有各色球 12 个,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个 绿球.从中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率. [解析] 可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解. (1)从 12 个球中任取 1 球得红球有 5 种取法, 得黑球有 4 种取法, 得红球或黑球共有 5+4 =9 种不同取法,任取 1 球有 12 种取法. 9 3 ∴任取 1 球是红球或黑球的概率为 = . 12 4 (2)从 12 个球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得白球有 2 种取法.从

5+4+2 11 而得红球或黑球或白球的概率为 = . 12 12 (理)(2011· 安阳模拟)课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各 指定一名队长,现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选. [解析] (1)一名女生,四名男生. 故共有 C1 C4 5· 8=350(种). (2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类, 故共有 C2 C3 2· 11=165(种). (3)至少有一名队长含有两类: 只有一名队长和两名队长.
2 3 故共有 C1 C4 C11=825(种). 2· 11+C2· 5 或采用间接法:C5 13-C11=825(种).

(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.
1 4 故选法为 C2 C3 C8+C5 5· 8+C5· 8=966(种).

18.(本小题满分 12 分) (文)(2010· 天津卷)有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到 下面数据: 编号 直径 A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率. [解析] 本题考查了古典概型及其概率计算,考查数据处理能力及运算能力及运用概率知 识解决简单的实际问题的能力. 解: (1)由题意可知, 一等品零件共有 6 个, 设“从 10 个零件中, 随机抽取一个为一等品” 6 3 为事件 A,则 P(A) = = . 10 5 (2)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个, 所有可能的结果有:

{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2, A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有 15 种, 记事件 B 为“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”,其所有可能的结果有: {A1,A4},{A1,A6},A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种. 6 2 ∴P(B)= = . 15 5 (理)(2011· 阜新模拟)已知?4 (1)求含有 x3 的项; (2)求二项式系数最大的项.
2 2 [解析] (1)由已知得 Cn n =45,即 Cn=45,


? 4 1 3 ?n + x2? 展开式中的倒数第三项的二项式系数为 45. x ? ?

∴n2-n-90=0,解得 n=-9(舍)或 n=10, 由通项公式得 1 - 2 Tr+1=C1 x- )10 r(x )r 10(4· 4 3 10-r 2 - =Cr 410 r· x- + r. 10· 4 3 10-r 2 令- + r=3,得 r=6, 4 3 ∴含有 x3 的项是 T7=C6 44· x3=53760x3. 10· (2)∵此展开式共有 11 项, ∴二项式系数最大的项是第 6 项, 15 25 25 ∴T6=C5 . 10(4x- ) (x ) =258048x 4 3 12 19.(本小题满分 12 分) (文)(2011· 宜川质检)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. [解析] (1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y. 基本事件空间为 Ω={(-1, -1), (-1,0), (-1,1), (0, -1), (0,0), (0,1), (1, -1), (1,0), (1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含 12 个基本事件; 其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 1 则 P(A)= = ,即向量 a∥b 的概率为 . 12 6 6 (2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a· b<0,即 2x+y<0, 且 x≠2y.

?-1≤x≤2 ? ? ?? 基本事件空间为 Ω=??x,y??? ? , ?-1≤y≤1 ? ? ??

-1≤x≤2 ? ?? ?-1≤y≤1 ? B=??x,y??? ? 2x+y<0, ?x≠2y ? ?? ?



1 1 3 ×? + ?×2 μB 2 2 2 1 1 则 P(B)= = = ,即向量 a,b 的夹角是钝角的概率是 . μΩ 3 3 3×2 (理)(2011· 东营调研)甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7、0.6, 且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求: (1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率. [解析] 记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai,“乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi,依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且 Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立. (1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A ∴P( A
1 1

A 2A3,且三次试跳相互独立.

A 2A3)=P( A 1)P( A 2)P(A3)

=0.3×0.3×0.7=0.063. 故甲第三次试跳才成功的概率为 0.063. (2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C. 方法一:∵C=A1 B 1+ A 1B1+A1B1, 且 A1 B 、 A 1B1、A1B1 彼此互斥, ∴P(C)=P(A1 B 1)+P( A 1B1)+P(A1B1) =P(A1)P( B 1)+P( A 1)P(B1)+P(A1)P(B1) =0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88. 方法二:P(C)=1-P( A 1)P( B 1) =1-0.3×0.4=0.88. 故甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88. 20.(本小题满分 13 分)

(文)(2011· 商丘一模)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 从-4,-3,-2,-1 四个数中任取的一个数,b 是从 1,2,3 三个数中任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[-4,-1]任取的一个数,b 是从区间[1,3]任取的一个数,求上述方程有 实根的概率. [解析] 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a<0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a+b≤0. (1)基本事件共 12 个: (-4,1),(-4,2),(-4,3),(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,1), (-1,2),(-1,3). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 9 3 事件 A 包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3}, 构成事件 A 的区域为{(a,b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3,a+b≤0}, 所求概率为这两区域面积的比. 1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率 P= = . 3 3×2 (理)(2011· 洛阳一模)在 2010 年广州亚运会中,中国女排与日本女排以“五局三胜”制进 3 行决赛,根据以往战况,中国女排每局赢的概率为 .已知比赛中,第一局日本女排先胜一局, 5 在这个条件下, (1)求中国女排取胜的概率; (2)设决赛中比赛总的局数为 X,求 X 的分布列及 EX. [解析] (1)中国女排取胜的情况有两种: ①中国女排连胜三局; ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局,且第 5 局赢.故中国女排取胜的概率为 3?3 2 3 27 162 297 2?3?2 P=? ?5? +C3?5? ×5×5=125+625=625. 297 故所求概率为 . 625 2?2 4 (2)设比赛局数为 X,P(X=3)=? ?5? =25; 2 3 2 ?3?3 51 P(X=4)=C1 ; 2× × × + 5 = 5 5 5 ? ? 125 2 ?3?2 2 2 3 270 54 2?3?2 P(X=5)=C1 3× × 5 × +C3 5 × × = ? ? 5 5 625=125. 5 ? ? 5

X 的布分列为 X P 3 4 25 4 51 125 5 54 125

4 51 54 534 EX=3× +4× +5× = . 25 125 125 125 21.(本小题满分 14 分) (文)(2011· 南昌调研)某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周日的值 班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人). (1)共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人中至少有一个被安排的概率是多少? [解析] (1)安排情况如下: 甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙. ∴共有 12 种安排方法. (2)甲、乙两都被安排的情况包括:“甲乙”,“乙甲”两种, 2 1 ∴甲、乙两人都被安排(记为事件 A)的概率 P(A)= = . 12 6 (3)“甲、乙两人中至少有一个被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立 事件, ∵甲、乙两人都不被安排的情况包括:“丙丁”,“丁丙”两种,则“甲、乙两人都不 2 1 被安排”的概率为 = , 12 6 1 5 ∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件 B)的概率 P(B)=1- = . 6 6 (理)(2010· 全国卷Ⅱ)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电 流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电流能否通过各元件相互独 立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.

(1)求 p; (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (3)ξ 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ξ 的期望. [解析] 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率求法及二项分布的相关知识.第 1 问利 用对立事件求三个元件均不通电流的概率即可,第 2 问转化为互斥事件的概率,利用加法公

式求解,第 3 问归纳为独立重复试验中的二项分布问题. 解:记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti,i=1,2,3,4, A 表示事件:T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过. - - - - (1) A = A 1· A 2· A 3,A1,A2,A3 相互独立, - - - - - - - P( A )=P( A 1· A 2· A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)=(1-p)3. - 又 P( A )=1-P(A)=1-0.999=0.001, 故(1-p)3=0.001,p=0.9. - - - (2)B=A4+ A 4· A1· A3+ A 4· A 1· A2· A3, - - - P(B)=P(A4+ A 4· A1· A3+ A 4· A 1· A2· A3) - - - =P(A4)+P( A 4· A1· A3)+P( A 4· A 1· A2· A3) - - - =P(A4)+P( A 4)P(A1)P(A3)+P( A 4)P( A 1)P(A2)P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891. (3)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互独立, 故 ξ~B(4,0.9),Eξ=4×0.9=3.6.


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