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新课标高中数学——常用公式及常用结论


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/>新课标:高中数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
3.包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4.容斥原理

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B)

5.集合 {a1 , a2 ,

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非空的真子集有 2n

–2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7. 解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N ? | f ( x) ? ? |? ?0 2 2 M ? f ( x) 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N
8. 方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充 分 条 件 . 特 别 地 , 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在 (k1 , k 2 ) 内 , 等 价 于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 , 或

f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?

k ? k2 b k1 ? k 2 b ? ?? ? k2 . ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 2a 2 2 2a
b 处及区间的两端点处取得,具体 2a
, , , , . ,若 x ? ? . ;

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?
2

如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b ? ? p, q ?,则 2a
, ,



x??

b ? ? p, q ?, 2a b ? ? p, q ?,则 2a


(2)当 a<0 时,若 x ? ? ,

b ? ? p, q ? ,则 2a

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

1

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? p 2 ? 4q ? 0 ? ( 1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; (2)方程 f ( x) ? 0 在区 ? ? m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n ) ? 0 ? 间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? 或? ; ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ? m ? ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L(形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ?,?? ,??? 不同) 上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2) 在 给 定 区 间 (??,??) 的 子 区 间上 含 参 数 的二 次 不 等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为 参 数 ) 恒 成立 的 充 要条 件 是

f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4 ac ? 0 ?c ? 0 ? ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , p 或q 成立 不成立 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p 且q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15. 充要条件

2

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(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函

?

数. 17. 如果 函数 f ( x) 和 g ( x) 都 是减函 数 , 则在公 共定 义域 内 , 和 函数 f ( x) ? g ( x) 也 是 减函数 ; 如 果函数 y ? f (u) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f ( ? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? 数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2 a 2

a?b ;两个函 2

21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 则 函 数

y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.
22.多项式函数 P( x) ? an x ? an?1 x
n n ?1

?

多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? a0 的奇偶性

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?
?1

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、 上移 b 个单位, 得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若函数 y ? f (kx ? b) 存在 反函数 , 则 其反函数为 y ?

1 ?1 [ f ( x) ? b] , 并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) , 而函数 k

1 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .

3

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(2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x , 正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ? 1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) ? 1 ? ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 30.分数指数幂 (1) a (2) a
m n

?

1
n

m ? n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) . r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂 都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 , 且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;
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M ? log a M ? log a N ; N (3) log a M n ? n log a M (n ? R) .
(2) log a 若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 36. 设函数 f ( x) ? log m (ax 2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac . 若 f ( x) 的定义域为 R , 则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;



1 , 则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时 ,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 ( 0 , 和 上y?log . ( 为减函数 ) ) ( ,?? ) ax bx a a
若 a ? 0 , b ? 0, x ? 0 , x ? 推论 :设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 ( 1) log m? p (n ? p) ? log m n . ( 2) log a m log a n ? log a 2 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

m?n . 2

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? sn ? sn ?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

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?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43. 分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元 (贷款 a 元 , n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

44.常见三角不等式 ( 1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1.
45.同角三角函数的基本关系式

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? 2 ( ? 1) co s ? , n? ? co s( ??) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , ?

47.和角与差角公式

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .

a
48.二倍角公式

(辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ?

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

50.三角函数的周期公式

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函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 51.正弦定理

2?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?



a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB) 2 . 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律: λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b) ; (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1 、λ 2 , 使得 a=λ 1 e1 +λ 2 e2 . 不共线的向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示

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设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a· b 的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a· b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式

? ? PP2 ,则 设P 1 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 PP
x ? ? x2 ? x? 1 ? OP ? ? OP2 ? 1? ? ? OP ? 1 ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ? 1 ? OP ? tOP ). 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
68.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? OP' ? OP ? PP' . ? ? ' ? ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 (h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

'

'

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'

'

(2)