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1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)


3.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则(一)

我们今后可以直接使用的基本初等函 数的导数公式:

公式一: C ? = 0 (C为常数)

公式二:

( x )? ? ? x
?

? ?1

(? 是常数)

算一算:求下列函数的导数

(1)

4 y=x

;

(2)

-5 y=x

;

3 4x

-6 -5x

(3) y ? x ;

1 ?1 -2x-3 x 2 2 注意公式中,n的任意性.

1 ( 4) y ? 2 ; x

公式三:

(sin x)? ? cos x

公式四:

(cos x)? ? ? sin x

公式五:指数函数的导数

(1) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
x x

(2) (e )? ? e .
x x

注意: f (x)=a x 和 f (x)=xa 是两 个不同的函数,例如:

(1)(3 )? ? 3 ln 3
x

x

(2)(x )? ? 3 x
3

2

公式六:对数函数的导数

1 (1) (log a x)? ? (a ? 0, a ? 1). x ln a 1 (2) (ln x)? ? . x

? 1.对基本初等函数的导数公式的理解:
? (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的 形式,学会使用公式解题即可,对公式的推导 不要求掌握. ? (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别, 这是易错点.

练一练:

(1)下列各式正确的是( C )

A.(sin? )' ? cos? (?为常数) B ( . cos x )' ? sin x C .(sin x )' ? cos x 1 ?6 D.( x )' ? ? x 5
?5

(2)下列各式正确的是( D )
1 A.(log a x)' = x ln10 B.(log a x)' = x x C.(3 )' = 3x D.(3 )' = 3 ln3
x x

? 3.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n 等于( ) ? A. 1 B.2 ? C. 3 D. 4 ? 解析:y′|x=2=n·2n-1=12,解得n=3. ? 答案:C

法则1:

[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
即两个函数的和(或差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(或差).

应用1: 求下列函数的导数 2 (1)y=x3+sinx y ' ? 3x ? cos x (2)y=x4-x2-x+3.

y' ? 4 x ? 2 x ? 1
3

和差导数可推广到任意有限个

法则2: 推论: [cf(x)]′=cf′(x)
' '

? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
'

即两个函数积的导数,等于第一个函数的导 数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第 二个函数的导数.

应用2:求下列函数的导数

(1)y=(2x2+3)(3x-2)
y' ? (2 x 2 ? 3)(3x ? 2)'?(2 x 2 ? 3)' (3x ? 2) ? 18 x ? 8 x ? 9
2

(2)y=(1+x6)(2+sinx)
y' ? 6 x 5 (2 ? sin x) ? (1 ? x 6 ) cos x

法则3:

? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?
注意:商的导数分子中间是“-”,先子导再母导。

?

应用3:求下列函数的导数
sin x cos x ? sin x 1 y' ? ( )' ? ? 2 2 cos x cos x cos x
2 2

(1)y=tanx

x +3 2 ? x ? 6x ? 3 (2)y = 2 y ' ? 2 2 x +3 ( x ? 3)

例 4: 求下列函数的导数:
(1) (2) y=(3x5- 4x3)(4x5+ 3x3); y= 3 x4+ 4 x3. 3

[解析] (2)∵y=12x10-7x8-12x6 ∴y′=120x9-56x7-72x5. 4 3 3 4 3 (3)y′=(3 x +4 x )′ =(3x3)′+(4x2)′

1.多项式的积的导数,通常先展开再求导更简便. 2.含根号的函数求导一般先化为分数指数幂,再求导.

练习1:求下列函数的导数
(1)y

? (3x ? 2)( x ? 5) y ? 9 x ? 30 x ? 2
2

'

2

( 2)

y ? (5 x ? 7)(3x ? 8)
3

y ? 60 x ? 120 x ? 21
' 3 2

x ( 3) y ? 2 x ?1
( 4)

1? x y ? 2 2 ( x ? 1)
' 2

sin x y? x

x cos x ? sin x y ? 2 x
'

7、(2)已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 若 f (?1) ? 4 则a=( D )
3 2

'

A

19 3

B

16 3

C

13 3

D

10 3

ax ' ? f ( x) ? (3) 若 f ( )?3 sin x 2

则a=( B ) D -2

A6

B3 C0

课堂小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数

经加、减、乘运算得到的简单的函数
均可利用求导法则与导数公式求导, 而不需要回到导数的定义去求此类简 单函数的导数 .

2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′ 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
? f ? x ? ? f′ x ? g ? x ? - f ? x? g′ x? ? ? 3. ? = g ? x ? ? 0? ? ?′ 2 ? ? g ? x? ? ?g ? x ? ? ?


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