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14。专题十四: 填空题的解法

时间:2014-03-26


专题十四 填空题的解法
填空题,就是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出的“解答题” 。一般用来考 查考生的基础知识、基础技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力。2009 年的高职高考填 空题有 5 道小题,共 25 分,占 16.7%,历年考生在填空题上得分很不理想,因此对填空题的题型特 点、解题要求、解题方法、命题结构分析在此研究尤为重要。 解题方法

同选择题一样,填空题也属小题,应“小题不能大做” ,需“巧做“,常用的基本 方法有:直接求解法、图像法和特殊法(特殊值、特殊函数、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、 特殊方程、特殊模型等) 。 (1)直接求解法——直接从题设条件出发,利用定义、性质、定理、公式等,经过变形、推 理、计算、判断而得结论的方法。它是解填空题的常用的基本方法。使用它时,要善于通过现象抓 本质,自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 (2)特殊法——当填空题的结论唯一或其值为定值时,只须把题中变化的不定量用特殊值代替即 可得到结论的方法。例:设 1 ? x ? 10, 那么 (lg x) , lg x , lg(lg x)的大小关系是
2 2

? 双曲线方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? ?2,即 ? ? 1. 9 4 8 18

【小结】这里解法一直接设双曲线方程,但需注意焦点位置,而解法二利用双曲线的渐近线 方程,抓住比值 特点,不考虑焦点位置设出方程,避免分类讨论,在用已知点代入求的,较为简捷。 .. 例 2、已知数列 {a n }{bn }都是等差数列,a1 ? 0, b1 ? 4, 用S k , S k ' 分别表示数列

{an }{bn }的前k项和(k ? N *) ,若 S k ? S k ' ? 0(k ? 2), 则ak ? bk的值为
解法一: (直接法)由等差数列求和公式 S k ? a1 ? a k k , 得 a1 ? a k k ? a1 ? bk k ? 0 2 2 2

? a1 ? b1 ? ?4 ? bk ? ak ? 4
解法二(特殊法) : 由题意可取 k ? 2, 于是有a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 0,? a2 ? b2 ? 4,即a k ? bk ? 4 . 【小结】此题考查等差数列的前 n 项和知识。因答案为定值,故这里把不定值 k 用特殊值代 替即可得结论,这里所取特殊值比较巧妙! 例 3、若关于 x 的方程 1 ? x ? k ( x ? 2)有两个不等实根,则实数k的取值范围是
2



可取

x ? 5 则得

lg x ? ( l g x) ? l g ( l x g)
2 2

(3)图像法——借助图形的直观性,通过数形结合的方法迅速做出判断的方法。文氏图、函 数的图像及方程的曲线等氏常用的图形。如:直线 l经过点P(1,3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直 角三角形,则直线 l 的方程是 【例题解析】 例 1、双曲线的渐近线方程为 y ? ? 答案: x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 .

解:图像法 令 y1 ? 1 ? x , y 2 ? k ( x ? 2), 画出两函数图像,
2

由图像可知k AB ? k ? 0, 其中直线AB为半圆的切线,A(2,0)

2 x ,且经过点 P(3 2 ,?4) 的双曲线的方程是 3
a b

经计算得k AB ? ?

2 2 解:(直接求解法)若焦点在 x 轴上,设双曲线的方程是 x ? y ? 1,则 2 2

3 3 ,? ? ? k ? 0. 3 3
2

2 ?b 此时方程组无解. ?a ? 3 ? ? ? 18 ? 16 ? 1 ?a2 b2 ?
2 2 若焦点在 y 轴上,设双曲线的方程是 y ? x ? 1,则 2 2

【小结】此题的关键是构造函数 y1 ? 1 ? x , y 2 ? k ( x ? 2) ,将原方程有两个不等实数根, 转化为两曲线有两个不同的交点,利用直线与半圆的位置关系解得。

练习:
a b

1、定义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B}, 若M ? {1,2,3}, N ? {2,3,6}, 则N ? M ? 2、 设x ? 1, 则x 3、函数 y ?
3

.

2 ?a ? 2 ? ? x2 y2 ?b ?a ? 8 3 解得? 2 ? 双曲线方程是 ? ?1 ? 8 18 ? ? 16 ? 18 ? 1 ?b ? 18 ? b2 ?a2

x2 ? x ?1.

log 3 (4 x ? 1) 的定义域是

y x 2 (3 2 ,?4) (解法二)设以 y ? ? x 为渐近线的双曲线为 代入 得? ? ?2, ? ? ? ,把点 9 4 3
53

2

2

4、不等式 | x ? a |? 1 的解集是(??,0) ? (2,??), 则实数 a 的值为

5、已知向量 a ? ( ?2,5)的起点为(1,2), 则它的终点坐标为 6、若函数 f ( x ) ? ?
2

?

; ;

23、要得到 y ? cos 2 x的图像, 只需把y ? sin(2 x ?

?
3

)的图像平移向量a ? 1 ,则 x ?1

?

? f ( x ? 2), x ? 2 , 则 f ( 0) ? ?x ?2 , x ? 2

, f (5) ?

24、若 f ( x)是 偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ?
2

, g ( x) =
2



7、 若函数 f ( x) ? x ? bx ? c对任意实数t都有f (3 ? t ) ? f (3 ? t ), 则f (0), f (3), f (4) 中最大 的是 ; ; , a 的取值集合是 ; 25、曲线 x ? 4 y ? 4关于直线y ? 2对称的曲线方程为 26、若 f [log 2 ( x ? 3)] 的定义域是[4,11],则 f ( x) ? 的定义域是 27、数列 {a n }的前n项和为S n ? 5n ? n, 则a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?
2

8、函数 y ? sin ?x cos?x的最小正周期T ? 9、若 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值集合为
2 2

10、 直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 过圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5 的圆心,则 k ? 11、圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5被直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 平分,则 k ?
2 2

28、方程 log 4 ( x ? 4) ? 1 ? log 4 ( x ? 2) 的解是
2



29、椭圆的焦距为 4,两准线的距离为 8,则椭圆的离心率 e ? 30、直线 x ? y ? 1 ? 0被圆x ? y ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0所截得的线段中点的坐 标为
2 2

12、圆 C : ( x ? k ) ? y ? 5关于直线kx ? 2 y ? k ? 2 ? 0 对称,则 k ?
2 2 2 2

; 31、函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2在区间(? ?, 2]是减函数,则实数a的取值范围是
2

13、椭圆 x ? 4 y ? 4 长轴上一个顶点 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形,该三角形的面积是
2 2

.;

32、经过 M (1,0), 且与直线x ? 2 y ? 3 ? 0垂直的直线方程为y ?

14、圆 ( x ? 1) ? y ? 1上的动点P到直线y ? ?2的最短距离与最大距离的和为 15、以点 (1,2)为圆心,与直线4 x ? 3 y ? 35 ? 0相切的圆的方程是 16、在等比数列 {a n }中,若 a 4 ? 5S 3 ? 2, a3 ? 5S 4 ? 2, 则公比q ? ;

33、方程

2?x ? 61? 2 x 的解为 x 3

34、如果点 (4, a)到直线4 x ? 3 y ? 1 ? 0的距离不大于3,那么a的取值范围是区间
? | a |? 2, | b |? 3,则 | a ? b |? 35、向量 a 与 b 的夹角是60 , ? ? ? ? ? ?

17、椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在 x 轴上,其短轴的一个顶点 B 与两焦点

F1 , F2组成的三角形的周长为 4 ? 2 3,且?F1 BF2 ?

2? , 则椭圆的方程为 3

36、已知直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两个坐标轴围成的三角形的面积不大于 1, 则实数 k 的取值范围是

18、数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2n ? 49, S n 达到最小值时,n = 19、若 sin ? , cos? 是方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的 2 个根,则
2

sin ? cos? ? ? 1 ? cot? 1 ? tan?

13 20、在 ?ABC中,已知a ? 7, b ? 8, cos C ? ,则最大角的余弦是 14
21、已知向量 a , b 互相垂直,且 | a |? 2, | b |? 3,则( a ? b )(3 a ? 2 b ) ? 22、已知 tan x ? cot x ? 2, x为第一象限的角,则sin x ? cos x ?
54
? ? ? ? ? ? ? ?

37、 若定义在区间(?1,0)内的函数 f ( x) ? log 2 a ( x ? 1) 满足f ( x) ? 0 , 则 a 的取值范围是 38、以等腰三角形的一个顶点在原点,另两个顶点在抛物线 y ? 4 x上,且底边过此抛物线的焦
2

点,则此三角形的周长是