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浙江省2015届高三高考模拟冲刺卷数学【理科】试题及答案

时间:2014-10-23



浙江省 2015 届高三高考模拟冲刺卷 数学(理)试题 命题人:江书杰
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 P ? ?3, 4,5,6? , Q ? ?5,7? ,下列结论成立的是 A. Q ? P B. P ( D. P ( D. 13 )

Q?P

C. P

Q?Q

Q ? ?5?


2.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 ( z ? i )(3 ? i ) ? 10 ,则 z ? A. 5 B. 6 C. 10

3. “? ?

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ? 0 ”的 ( ) 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 4.已知两条直线 a, b ,两个平面 ? , ? .给出下面四个命题: ① a // b, a // ? ? b // ? ; ② a ? ? , b ? ? , ? // ? ? a ? b ; ③ a ? ? , a // b, b // ? ? ? // ? ; ④ ? // ? , a // b, a ? ? ? b ? ? .
其中正确的命题序号为 A.①② B.②③ ( C.①④ ) D.②④ ) D.9 或 10
开始

?

5.如果执行右边的程序框图,若输出的 s ? 55 ,则 k ? ( A.8 B .9 C.10

i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

x2 y 2 6 . 设 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 . 若 双 曲 线 上 存 在 点 M , 使 a b
?F1 MF2 ? 60 ,且 MF1 ? 2 MF2 ,则双曲线离心率为(
A. 2 B. 3 C. 2 ) D. 5

s ? s ?i
i ?k?
否 输出 s 是

结束 第5题

7.现有 3 位男生和 3 位女生排成一行,若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相 邻,且男生甲和女生乙必须相邻,则这样的排法总数是 ( ) A.20 B.40 C.60 D.80 解:①男甲,甲,甲

A (A
2 2 2

2

2 2

+2

A

2 2

)=12;②甲,甲,男甲

A (A
2

2

2 2

+2

A

2 2

)=12;③甲,男甲,甲

A

2 2

(2

A

2 2

+2

A

)=16

8 . ?ABC 中 , A, B 为 锐 角 , a, b, c 为 其 三 边 长 , 如 果 a sin A ? b sin B ? c , 则 ?C 的 大 小 为 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

9.已知正三角形 ABC 的顶点 A( 3,1), B(3 3,1) ,顶点 C 在第一象限,若点 M ( x, y ) 在 ?ABC 的内部或边 界,则 z ? OA ? OM 取最大值时, 3x 2 ? y 2 有 A.定值 52 B.定值 82 ( C. 最小值 52 ) D. 最小值 50

? 3 4 ? 8 x ? ,1 ? x ? 2, ? ? 2 10.定义函数 f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 2n ] ( n ? N* )内的所有零点 ? 1 f ( x ), x ? 2. ? ?2 2 的和为 ( )

3 n (2 ? 1) 4 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
A. n B. 2 n C. 11. ( x ?

3 D. (2n ? 1) 2

1 8 ) 展开式中 x 5 的系数是 x

. . .

12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的半径为 13.已知向量 a, b 满足 2a ? 3b ? 1 ,则 a ? b 最大值为

14. 设点 A, B 分别在直线 3x ? y ? 5 ? 0 和 3x ? y ? 13 ? 0 上运动, 线段 AB 的 中 点 M 恒 在 圆 x2 ? y 2 ? 8 内 , 则 点 M 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为 .

15. 已知 f ( x) ? sin x ? a cos x , 且 f( )?0, 则当 x ? [?? ,0) 时,f ( x) 的单调递减区间是 . 3 16.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l , A 为抛物线上一点, AK ? l , K 为垂足,如果直线 KF 的 斜率为 ?1 ,则 ?AKF 的面积为 . 17.已知 f ( x) 是二次函数,令 a1 ? 2, a2 ? f (2), a3 ? f (a2 ), 比数列,则 f (2) ? .

?

, an ? f (an ?1 ) ,如果数列 ?an ? 是各项为正的等

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n .已知 a1 ? 6 , an ?1 ? 3Sn ? 5n , n ? N* . (1)设 bn ? S n ? 5n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项,它们构成等差数列?若存在,请求出所有满足条件的三项; 若不存在,请说明理由.

19. 在某次娱乐游戏中,主持人拿出甲、乙两个口袋,这两个口袋中各装有大小、形状完全相同,但颜 色不同的 10 个小球,其中甲口袋中装有 8 个红球,2 个白球,乙口袋中装有 9 个黄球,1 个黑球.现进行 摸球游戏,主持人宣布游戏规则:从甲口袋中摸一个球,如果摸出的是红球,记 4 分,如果摸出的是白球, 则记 ?1 分;从乙口袋中摸一个球,如果摸出的是黄球,记 6 分,如果摸出的是黑球,则记 ?2 分. (1)如果每次从甲口袋中摸出一个球,记下颜色后再放回,求连续从甲口袋中摸出 4 个球所得总分 (4 次得分的总和)不少于 10 分的概率; (2)设 X (单位:分)为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分,求 X 的数学期望.

20 .在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? ?APB ? 90? ,点 M 是线段 AB 上的一点,且

PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM .
(1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值.

P M
C
(第20题)

A

B

D

21.已知椭圆 C1 :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为单位圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 1 的直径,且 椭圆的离心率为 . 2 a b 3 (1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆短轴的上顶点 B1 作直线分别与单位圆 C2 和椭圆 C1 交于 A, B 两点 ( A, B 两点均在 y 轴的右

侧) ,设 B2 为椭圆的短轴的下顶点,求 ?AB2 B 的最大值.

y
B1

A
O

x

B
B2
(第21题)

22.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线是 y ? (3a ? 3) x ? 3a ? 4 . (1)试用 a 表示 b 和 c ; (2)求函数 f ( x) ? ?

3 在 ?1,3?上恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

2015 年浙江省高考模拟冲刺卷 数学理科参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. D 提示:因为 7 ? P ,所以 A,B,C 都错. 2. D 提示:由 ( z ? i )(3 ? i ) ? 10 得 z ? 3 . A 提 示 : 当 ??

10 ? i ? 3 ? 2i ,所以 z ? 13 . 3?i

?

? 2k? (k ? Z ) 时 , cos 2? ? cos( ? 4k? ) ? 0 ; 当 cos 2? ? 0 时 , 4 2

?

? 2k? ( k ? Z ) . 2 4 4 4.D 提示:① b 可能在平面 ? 内,所以①错;②由 b ? ? , ? // ? 得 b ? ? ,因为 a ? ? ,所以 a ? b , ②正确;③由 a ? ? , a // b, b // ? 可得 ? ? ? ,所以③错;④由 ? // ? ,a ? ? 得 a ? ? ,又 a // b ,所以 b ? ? , 2? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ,得 ? ? ?
即④正确. 5.B 提示:∵ S ? 1 ? 2 ?
10 ? 55 ,所以 i ? 10 ,故 k ? 9 .

?

?

? k? ,推不出 ? ?

?

6.B 提示:由点 M 在双曲线上,且 MF1 ? 2 MF2 ,则 MF1 ? 4a, MF2 ? 2a ,又 ?F1 MF2 ? 60 ,所以

在 ?MF1 F2 中,由余弦定理得 16a 2 ? 4a 2 ? 2 ? 4a ? 2a ? cos 60 ? 4c 2 ,解得 e ? 3 7.B 提示:分成两类,第一类:男女男女男女.先排男生,当男生甲在最前的位置时,女生乙只能 在其右侧,当男生甲不在最前的位置时,女生乙均有两种排法,另外两位男生和女生的排法都有 A22 种,所
1 以第一类的排法总数有 A22 ? A22 ? C2 ? A22 ? A22 ? A22 ? 20 种.第二类:女男女男女男,与第一类类似,也有 20

种排法,所以满足条件的排法总数是 40 种. 8.D 提示:若 A ? B ?

?
2

,则 sin A ? cos B,sin B ? cos A ,从而

sin 2 A ? sin 2 B ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin( A ? B) ? sin C ,这与 a sin A ? b sin B ? c 矛盾;同理 A ? B ?
也不可能,所以 A ? B ?

?
2

?
2

,及 ?C ? 900 .

9.C 提示:由题意得 C (2 3, 4) , 因为 z ? OA ? OM ? 3x ? y ,而 k BC ? ? 3 ,所以 z ? OA ? OM 取最 大值时,点 M ( x, y ) 的坐标满足 3x ? y ? 10 (2 3 ? x ? 3 3) ,所以 y ? 10 ? 3 x (2 3 ? x ? 3 3) ,

s ? 3x 2 ? y 2 ? 3x 2 ? (10 ? 3x) 2 ? 6 x 2 ? 20 3 x ? 100 ,对称轴 x ?
上单调递增,因此当 x ? 2 3 时 s 有最小值 52 10. D 提示:当 1 ? x ? 当

5 3 ,所以 s ? f ( x ) 在 ? 2 3,3 3 ? ? ? 3

3 1 3 时, f ( x) ? 8 x ? 8 ,所以 g ( x) ? 8( x ? ) 2 ? 8 ,此时当 x ? 时, g ( x) max ? 0 ; 2 2 2

3 ? x ? 2 时, f ( x) ? 16 ? 8 x ,所以 g ( x) ? ?8( x ? 1) 2 ? 2 ? 0 ; 2
由此可得 1 ? x ? 2 时, g ( x) max ? 0 . 下面考虑 2n ?1 ? x ? 2n 且 n ? 2 时, g ( x) 的最大值的情况. 当 2n ?1 ? x ? 3 ? 2n ? 2 时,由函数 f ( x) 的定义知 f ( x) ?

1 x f( )? 2 2

?

1 x x 3 f ( n ?1 ) ,因为 1 ? n ?1 ? ,所以 n ?1 2 2 2 2

g ( x) ?

1 2
2 n ?5

( x ? 2n ? 2 ) 2 ? 8 ,此时当 x ? 3 ? 2n ? 2 时, g ( x) max ? 0 ; 1 2
2 n ?5

当 3 ? 2n ? 2 ? x ? 2n 时,同理可知, g ( x) ? ?

( x ? 2n ?1 ) 2 ? 8 ? 0 .

由此可得 2n ?1 ? x ? 2n 且 n ? 2 时, g ( x) max ? 0 . 综上可得对于一切的 n ? N * , 函数 g ( x) 在区间 [2n ?1 , 2n ] 上有 1 个零点, 从而 g ( x) 在区间 [1, 2n ] 上有 n 个

3 零点,且这些零点为 xn ? 3 ? 2n ? 2 ,因此,所有这些零点的和为 (2n ? 1) . 2
11.28; 12.1 ; 13.

1 2 p ; 14.[ , 2 ]; 15.[ - p ,]; 16.2 ; 17.2 24 5 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 解:因为 an ?1 ? S n ?1 ? S n ,且 an ?1 ? 3Sn ? 5n ,所以 S n ?1 ? 4 Sn ? 5n ,??2 分 把 S n ? bn ? 5n 代入得 bn ?1 ? 4bn ,??3 分 所以数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? S1 ? 5 ? 1 ,公比为 4 的等比数列,所以 bn ? 4n ?1 .??5 分 (2)假设数列 ?bn ? 中存在任意三项 ai , a j , ak 成等差数列.??6 分 不妨设 i ? j ? k ? 1 ,由于数列 ?bn ? 单调递增,所以 2a j ? ai ? ak ,所以 2 ? 4 j ?1 ? 4i ?1 ? 4k ?1 ,??9 分 因此 2 ? 4i ? k ? 4 j ? k ? 1 ,此时左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,??13 分 所以数列 ?bn ? 中不存在不同的三项,它们构成等差数列.??14 分 19 . 解: ( 1 )设连续从甲口袋中摸出的 4 个球中,红球有 x 个,则白球有 4 ? x 个,由题设可得

4 x ? (4 ? x) ? 10 , 解 得 x ?

14 , ? ? 4 分 由 x? N , 得 x ? 3 或 x ? 4 , 所 以 所 求 的 概 率 为 5

P ? C43 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192 .??6 分
(2)由题意知 X 可能取值分别为 X ? 10,5, 2, ?3 ,??8 分 且 由 每 次 摸 球 的 独 立 性 , 可 得 : P( X ? 10) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 , P( X ? 5) ? 0.2 ? 0.9 ? 0.18 , P( X ? 2) ? 0.8 ? 0.1 ? 0.08 , P( X ? ?3) ? 0.2 ? 0.1 ? 0.02 ,??12 分 由此得 X 的数学期望为: EX ? 10 ? 0.72 ? 5 ? 0.18 ? 2 ? 0.08 ? (?3) ? 0.02 ? 8.2 .??14 分 20.解: (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD ,??5 分 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。??7 分 (2)由(1)可知:面 DA ? 面 PAB ,延长 AB 与 CD 交于一点 H , 作 AN ? PH ,连接 ND ,则平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的平面角是

?AND ,??10 分
在 ?AND 中, AN ?

39 , AD ? 2t , 13
N
H
A
z

P

所以 sin ?AND ?

13 ,平面 PAB 与平面 PCD 的 4 13 .??15 分 4

M

B

二面角的正弦值是

D

P

解法二: (1)同上; (1)如图建系,
C

平面 PAB 的法向量为 n ? (1,0,0) ,
D

A

M

B

y

x

C

P(0,0,

3 t 3 t ), C (2t , ,0), D(t ,? t ,0) 2 2 2

t 3 因此 PC ? (2t , , t ), CD ? (?t , ?2t ,0) ,??10 分 2 2
设平面 PCD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 x ? 2 y ? 0,4 x ? y ? 3 z ? 0 , 即可得 m ? (2 3 ,? 3 ,?7) ,所以 cos ? m, n ?? 即平面 PAB 与平面 PCD 的二面角的正弦值是

3 . 4

13 .??15 分 4

21. 解: (1) 由题意知 b ? 1 , 又e ? 7分

x2 c a2 ? 1 6 ? ? , 解得 a 2 ? 3 , 所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . ?? 3 a a 3

(2)由(1)得 B1 (0,1), B2 (0, ?1) ,设过椭圆的短轴的上顶点 B1 的直线的方程为 y ? kx ? 1 ,由于 B1 B2 为

1 6k 1 ? 3k 2 , ) ,由题意易知 k ? 0 , 圆的直径,所以直线 B2 A 的斜率 k1 ? ? .把 y ? kx ? 1 代入 C1 得 B(? k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
1 ? 3k 2 ?1 2 1 ? ? ,所以 k1 , k2 ? 0 ,且 k1 ? 3k2 ,??10 分 且直线 B2 B 的斜率为 k2 ? 1 ? 3k ?6k 3k 1 ? 3k 2
又在 ?B2 AB 是直角三角形,所以 ?AB2 B 必为锐角.因为 B2 A 与 B2 B 的方向向量分别为 (1, k1 ),(1, k2 ) ,所以

B2 A ? B2 B ? (1, k1 ) ? (1, k2 ) ? 1 ? 3k22





B2 A ? B2 B ? 1 ? k12 ? 1 ? k22 cos ?AB2 B





cos ?AB2 B ?

1 ? 3k22 1 ? 9k22 ? 1 ? k22

??12 分

? 1?

4k22 4 3 3 3 ,当 且仅当 k2 ? 时, cos ?AB2 B 取 得最小值 ,由 ? 1? ? 2 4 1 1 ? 10k2 ? 9k2 2 3 2 2 ? 9k2 ? 10 k22

?AB2 B 为锐角得 ?AB2 B 的最大值为

?
6

.??15 分

2 22.解: (1)因为 f ?( x) ? 3 x ? 6 x ? b ,所以 f ?(1) ? ?3 ? b ? 3a ? 3 , f (1) ? b ? c ? 2 ? 1 ,即有

b ? 3a, c ? ?3a ? 3 .??5 分
(2)由(1)可知 f ( x) ? x ? 3 x ? 3ax ? 3a ? 3 , x 3 ? 3 x 2 ? 3ax ? 3a ? 3 ? ?
3 2

3 2,

3ax ? 3a ? ? x 3 ? 3 x 2 ?

9 9 3a ( x ? 1) ? ? x 3 ? 3 x 2 ? ,??7 分 , 2 2

当 x ? 1 时,成立, a ? R ,??8 分

当 x ? 1 时, 3a ?

? x 3 ? 3x 2 ? x ?1 ? t 3 ? 3t ? t

9 2



令 t ? x ? 1 , 3a ?

5 5 2 ? ?t 2 ? 3 ? 2 t

5 5 5 ? 2t 3 ? 2 2 令 g (t ) ? ?t ? 3 ? 2 , 0 ? t ? 2) g ?(t ) ? ?2t ? 2 ? 2 2 ( ,所以 , t t t
5 5 5 5 g ?(t ) ? 0 ? t ? ( ) 3 , g ?(t ) ? 0 ? t ? ( ) 3 , g (t ) max ? g (( ) 3 ) ? 3 ? 3( ) 3 , 4 4 4 4 5 5 3a ? 3 ? 3( ) 3 ,故 a ? 1 ? ( ) 3 .??14 分 4 4
2 2 1 1 1 2


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