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2005年全国高中数学联赛试题解答集锦(续)


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中学数 学教 学参考 

2 0 0 5 年 第 l 2 期  





 …

兹  匆  }  
一 ~ 一 … … …   …  

|   | § 年垒   甍 

数  繇 饕 试  挺 辩 答 煞  黼  
陕西省数学竞赛委员会



李三平  刘康宁  
AG上 C D, , C=1 1 9 . 又 D、 C、 E 在oA上 ,  
1  
‘ .

试 

.  



( 本 题 满分 5 0分 )  
’ . . ’ . . 

, A C=÷ J _D A C=   厄 C.  

如图 1 , 在△AB C 中, A B> 

A、 J 、 C、 E 四点共 圆,  
C, E=   (   =   AB C.  
1  

AC, 过 A 作 AA J  ̄ C的外接  圆的 切 线 . 又 以 A 为 圆  心, AC为半 径作 圆分 别交  线段 A B 于 D, 交 直线  于 

尸 

而  C , E=2  J C D, . ’ .   J C D=÷  AB C.  
二 

1  
’ . . 

A『 C=   J G C+   J G G=9 0 。 +{  AB C.  
二  1  

E 、 F . 求证 : 直线 D E、 D F  


’ . 

分别通 过△AB C 的 内心 与  个旁心 .   基本证法 : ( 1 ) 先证 D E  过 △AB C的 内心 .  


A C , =÷J _ A C B, . ‘ .I 为△AB c的内心.  

图I  

( 2 ) 再证 DF过 AA B C的一个 旁心 .   设 AB C的 外 角 平 分 线 交 直 线 DF 于 J   , 连 结 
Ⅱl 、 B J l 、 B J , 由( 1 ) 知, J为 AA B C 的 内心 , 则  伯J 1   =9 0 。 =  E D, 】 , 故 D、 B、   J四点共 圆.  
1  


如图 1 , 连结 C D, 作  B AC的平 分线 分别 交 D E  

于J , 交C D 于 G, 连结 C , , 则 由 AC=AD, 得 



’   B I I 】 =  B D , 】 =9 0 。 一  A D I =( {  B A c  




.  ? 

 ̄ . A B C  

1   j    b j  —4 c   } z1 一 z2 1 . ——   —一  



b +C =5 ,   =4 . 由b >C , 解得 b =4 , C =1 .  
a= 1 0, b= 4。 C= 1 .  

’ .





(  二   2  
8  

二   / 

1 3 . 本题 等价于: 对于 0 ≤ z≤ 1 , f( z) m m>0 ,  
且2 - 厂 ( z) 1 1 1 i l 1 >- 厂 ( z ) 一.  

即( b   一4 c ) 0 ≤6 4 , . ‘ . 0 <b   一4 c ≤4 .  

( 1 ) 当 优<0时 , - 厂 ( z) 1 1 1 i l 1 =- 厂 ( 0 ) , f ( x) 一 =- 厂 ( 1 ) .  
? . .

( 2 ) ’ . ’b 、 C 为数码 ( 6 ≠0 ) , .   .b   —4 c =1 , 2 , 3 , 4 .  

又b   被 4除的余数为 0或 1 , 所以 b   一4 c被 4除  的余数也是 0或 1 .  
从而 b   —4 c =1 或 b   —4 c =4 .   这两个方程 中符合题意 的整数解有 

{  ,  

/   1 > 0 2 一. ,  

解得 优>0 , 与 优<0矛盾 .  

( 2 ) 当0 ≤优 ≤{时, f ( x ) 1 1 i l 1 = - 厂 ( 优) ,  
- 厂 ( z) 一 =- 厂 ( 1 ) .  

I   b =1 , I   b = 3 , I   b =5 , I   b = 2 , I   b = 4 , I   b = 6 ,  
( C=0;( C=2;( C=6;( C =0 ;( C=3;( C =8 .  

故所求 的两位数 有 : 1 0 , 3 2 , 5 6 , 2 0 , 4 3 , 6 8 .   1 2 . ( 1 ) ’ . ’ 抛物线与 z轴有公共点 ,  
0 ≤( a+b+C )  —4 (   +   +c a ) =a( a— b   —C ) 一b ( C +口一b ) 一C ( a+b—C ) <a ( a—b—C ) .   又a >0 , . ‘ .a—b —C >0 , 即n >b +C .   故 n 、 b 、 C不能成为一个三角形的三边长 .   ( 2 ) 设  ( z) =z 2 一( a+b+C ) z +a b+b c +c a ,  
. . ’

一I {   2 ( 1 优 ) =   . = m , 2 > O , 解 得 0 < 优 < 1 .   2 ) >2—2 m.   … …  
. .






? . .

0 < 优≤   .  

( 3 ) 当{ <优≤1 时, f ( x ) m m =- 厂 ( 优) ,  
- 厂 ( z) 一 =0 .  

一 { l   2 ( 1 优   一 ) m =   2 ) . = > 优 1   > 0 , 解 得 一 焦 < 优 <   .
? . .

2 … ‘、 2 ’  

. 

 ̄ j l f( 口 )=b c >0 , - 厂 ( b+f )= b c>0 , 厂( -  
+b+c ) 2 +4 ( a b+b c +c a  
4  
’ . .

)  
? . . 

< 优 < 

.  

<0  

( 4 ) 当 优>1时 , - 厂 ( z) 一 =- 厂 ( 1 ) , - 厂 ( z ) 一 =- 厂 ( 0 ) .  



z 0 在 a与 b +C 之间, 故b +C <z 0 <a .   ( 3 ) 由韦 达 定 理 , 得 a+b+C=1 5 , a b+b c+c a   5 4 . . ‘ .a 2 +b 2 +C 2 =( a+b+C ) 2 —2 ( a b+b c +c a)  
. 

一 { l   f 2 ( 2 1   ) 一 =  ) 2   2 m -  1   2 > m   . >   0 , 解 得 优 ‘ < 、 号 4 . ‘  
? . .

这与 D / ' >1 矛盾 .  

=1 1 7 <1 1 2

由( 2 ) 知 口>9 , 故得 9   <口   <1 1   , 只有 a=1 0 .  

综上所述 , 当0 < 优<  时 , 满足题设条件 .  

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2 0 0 5 年第l 2 期 

+  A D G) 一  A   =_ }  B A C+  I D G,  
A、 J 、 J 1 三点 共线 .   J   是AA B C 的B C边外 的旁 心.   别证 1 : 如图 1 , 作  B AC 的平 分线 分 别 交直 线 
’ . . ‘ . .

故 J为△AB C的内心 .  



’ AC=A D, AJ A平 分 

B AC, . ’ .AJ A垂直 平 分线 
段 C D.. ’ .I C = I D,   C  
=I A D.  

D E、 D F于 J 、 J 1 ' 连结  、  1 .   仿 上可得 A、 J 、 C、 E 四点共圆 .   直线 EF与 AA B C 的外接 圆相切 ,  
。 ’ . ’ . . 

又 I  公用,  
’ . .

△ I C I At e a I DI A.   I CI A =  



AC B=  F AD = 2 / AE D =2 / ACI .  



. 

平分  A C B, 故J 为 AAB C的内心 .   又 F、 D、 C在oA 上 , A、 J 、 C、 E 四点共 圆 ,  
‘ . .  

=9 0 。 .  
。 .



1  
‘ . .  



’C / 平分  A C B,   C I A平 分  A C B 的 


图3  

I 】 F C=_ }  D A c=  I A C=  I E C,  
F、   C、 A 四点共圆 .  
B( 1 P =   BAC 十   AB C =  BAC +   CAE 

外角 .  

’ . .

故  为AA B C的B C边外 的旁心 .   说明 : 在 阅卷过程中我们发现 , 考生 中大同小异 的  证法非 常多 , 限于篇 幅 , 以上只是 给出了三种本质不 同 
的证 法 .  

’ . . 

=   DAE = 2 /DF E =2 /I 1 C P.  
’ .

.  



平分 AC B 的外角  B C P.  

故J   为AA B C 的边 B C外 的旁 心 .   别证 2 : 如图 2 , 作 AA C E  的外接 圆 交直 线 D E于J , 连  结  、B I 、C D,则  AE D 
1  
’ .

二、 ( 本题满分 5 0分) 设正数 a 、 b 、 c 、   Y 、 z满足  c 3 , +b z=a , a 2 ; +C X=b, 妇 +a y=C , 求 函数 f(  , Y,  

z ) =  

+  

+  

的最, J 、 值.  
6 2+ c 2一 n2  
z 一 —   ,  

=  AC I.  

基本解法 :  

’  

AE D =—  / F AD 
二 

1  
= — 

AC B,   AC B‘ ,  

r c y+ b z= 

二 
1  
‘ . .  

AC I=  

{   I  

解方程组 n  +C X=  

t i    
。 . ’

t 二   —   Y 
 



2 +n 2一 b 2  
,  

【 缸 +a y=   得 

,●●●●●● ●  、●● ● ●●【

即  平分  A C B.  
又  E『 C=   EAC 
:  
。 . .

+ n2


b 2 一c 2  

— 

■一 ’  

a、 6 、 C 、 z、 Y 、 z均 为正数 ,  
b 2+ c 2 >口 2 C2+ a 2 >b 2
。 。

C,  






+ n2

b 2 >c 2  

D、 B、 C、 J四点共 圆.  
1   1  

故以 a 、 b 、 C为边长 , 可构成 一个 锐 角 AA B C, 则  z=c o s A, Y=c o s B, z=c o s C. 于是, 问题转 化为 : 在锐 

’ . . 

1 t 3 ( 2 =  I D C:_ }  E A c:_ }  A B c ,  
B J 平分 AB C, 故J 为 AA B C 的内心 .  

‘ . .

角 △A B c 中, 求 f( c o s A, ∞ 6 B, ∞ 6 c)=  c 丽 o s t A   +   +   的  值.  

延长 AJ 交直线 D F于  , 则  C I I A=  A E C.   ’C、 E、 F、 D 四点共圆 , . ’ .   C DI A=   C E F.  
’ . ’ . . 

C I I A=   C D I A , . ’ .C、 J 、 D、 I A四点共 圆 .  
妇 A=  I I )   =9 0 。 ,  

‘ . . 

令  =c o t A,   =c o t B, 叫 =c o t C, 贝 0  、  、 叫  
∈R  ,  
+  ) .  
2  


C I A平分  AC B 的外角 .   又 A  平 分  B AC,. ‘ .I a 为 AA B C 的 一 个 
’ . .

+删 +  

=1 , 且   2+ 1= (   +  ) (  

+叫) ,  2 +1 =(  +叫) (  +  ) , 叫2 +1 =( 叫+  ) ( 叫 

旁心 .   别证 3 : 如图 3 , 作  B A C 的平 分 线 分别 交 直 线 
D E、 D F于J 、   , ’ . 。AC = A D,   C AI =   D A I , A 

c o s t a  。1+ c o s A 一

1 +“ 2  

公用 ,  
‘ . .

△ AJ C  △ A D , . ’ .  

ACI=   A  .  

1 +    ̄ / 1 +

“2  

又 AD=AE, . ‘ .   ADJ=   AEI .  
‘ . .  



丝 ! f 避
3  

二 丝 )  

AC I=   A  .  
1   1  
,  

(  ̄ / .   _2 +  )
3  
, 
二  

 ̄ / .   _2  

又 A E I = _ } /F A D=寺 A c B ,  
二 

一丽

  一 

. 



 

1  
’ . . 

A C I = { LA C B, 即   平分  A C B .  

 ̄U 2 -   U 3 ‘  1   +  

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中学 毅

2 0 0 5

攀 年 翥 第期 1 2     参 考  

厝露四坦 誉  殛  
示例如下 :  
1  
1  

  : ; : 骞  

同 理 ,   ≥ v 2 - 萼 (   +   ) ,   ≥ w 2 - 孚 (   1+   ) .  
‘ . .

2  

3  

4  

5  

6  
.  *  

,≥ “  + 7 3  + 训 



上 r  
2 、z ‘ +  

+型   ±  
’   +Z U  

2  
3   4  

+   ) :U 2 +V 2 +W2   ZU - I -z ‘  


丢 [ (   2 一 “   +   ) + (   2  

5  
6  

仉 +Z U 2 ) +( Z U 2 一Z U U+z ‘ 2 ) ] =   1   ( z ‘  +仉 +删 )  
 




当且仅 当  :   =W 时 , 上式等号成 立 .  

则( ^ ∑ + 1 )   2 k   一   厂 ( n) = ∑ ∑T( j ) =  [ T( 1 ) + T( 2 ) ]  


这时 , n=b =c ,   =Y =z=÷ .   故 f( x,  , z ) 胁=   1.   说明 : ( 1 ) 本题的条件实质 是AA B C的射影定理 .   其中 a 、 b 、 c为 AA B C 的三 边长 ,  、 Y 、 z为边 a 、 b 、 c  

+(  一1 ) [ T( 3 ) +T( 4 ) ] +… + [ T( 2 n 一1 )+ T   ( 2  ) ] .  
1 6 2   1 5  

由此 ,∑ 厂( k): ∑ ( 1 6一 k)[ 丁( 2 k一1 )  


+T( 2 k ) ] .   记a   :T( 2 k一1 ) +T( 2 忌 ) , 忌=1 , 2 , …, 1 5 , 易得 

所对角 的余弦值 .   ( 2 ) 本题 的等 价问 题是 文 [ 1 ] P . 2 0 9收 录的第 6 7  
个不等式 : 在锐 角△A B c中 , 有 ∑  ≥1 .  

a   的取值情况如下 :  

( 3 ) 据 文[ 2 ] P . 3 2 2 -3 2 4 中记载 , 本题的代换技巧 ,   是江西科技师范学院陶平生教授于 1 9 9 1 年在《 数学通  讯》 第1 0 期 中给 出来 的.   ( 4 ) 本 题还 可以利用偏 导求其最小值 .   三、 ( 本题满分 5 0分) 对每个正整数  , 定义函数  f 0 (   为平方数 ) ,  

因此 , ∑f ( 忌 ) =∑ ( 1 6一是 ) a k =7 8 3 .  

据定义 , f ( 2 5 6 ) :f ( 1 6   ) =0 .   又当 忌 ∈{ 2 4 1 , 2 4 2 , …, 2 5 5} 时, 设 忌=1 5   +r ( 1 6  
≤ r≤ 3 0) ,贝 U  
f 


一 1 5 =  
r ,  r  

1 5   +r 一 1 5  
, r 

.  

v /   干  +1 5 ‘‘3 1、、 /  
? ?
? 

+1 5、3 0’  

, (   )   1 [ _  ] (   不 为 平 方 数 ) .  
k {   }  

≤  <  

<   <2 .  

其 中[  ] 表示不超过 z的最大整数 , {  } =   一{  } .  


试求 ∑ 厂 ( 忌 ) 的值 .  
基本 解 法 : 对任 意 a 、 忌∈ N  , 若 是  < a< ( 忌  
+1 ) 2 , 则1 ≤ n—k 2 ≤2 k . 设  :忌+0 , 0 < <1 , 则 

?

?  

高  _ 1 ' 忌 ∈ { 2 4 1 , 2 4 2 , ' " , 2 5 5 } ?  

从 而 置 志 ) : 7 8 3 一  l  志 ) : 7 8 3 — 1 5 = 7 6 8 ?  
别解 : 由题 设 得 f( 1 )= f( 2   ):f( 3   )一 ?   =f ( 1 5   ) =0 , f ( 2 ) =2 , f ( 3 ) =1 .   设  <  +   <(   +1 )   , 则 1 ≤ m≤ 2 n( m 

』0 : {   }    


      忌: n一 是  : n一 是  < 、 n一 忌  ~  
r   忌 ]  



r   1
 






{   }  _ 。 a一是  

EN* ) .. ? .,(  2 + 优 ) =  

]  
+   <2  +1 ,  

让 a跑遍 区间( 忌   , ( 忌+1 )   ) 中的所有整数 , 则 

而1] =  
。 

]  



[  翌 二  
优  
. .
. 




? .

?2  < ~  

于是‘ ^ 莹


妻 莹 , ( 。 ) =k [   ] .   =l   l / l
= =

< 
m  r n 

±丝<  
. 

优  

下面计算莹[ V k ] : 画一张2 k × 2 k的表, 第i 行 
中, 凡是 i的倍数 处填 写 “*” 号, 则这 行 的 “ *” 号共 

,‘  

一 ’  

? . .

[   ] ≤  n 2 +优) <  2 n+1   2 n] +1  


? .

, (   +优) =[ 2 hi .  


[ 孕] 个, 全 表的 “ * ” 号 共  [ 孕] 个; 另 一 方面 , 按 列收  
集“ * ” 号数 : 第  列 中, 若  有 T( j ) 个 正 因数 , 则该列 
便有 T( j ) 个“ *” 号, 故全 表的“*” 号个数 共 ∑ T( j )  
J   1  

设g (  ) =[   ] +[   ] +[   ] +… +[   ] , 则 
2 4 O

荟  是 ) : =   g  1 ( 1   ) +   g  2 ()  +   g   ( 3   ) +… +   g   (   1 4 )  
.  

l  

2 

1 

2f  




个, 因此 ∑[   ] =   T( j ) .  

磊 6 , ( 忌 )  g ( 1 ) + g ( 2 ) 十 g ( 3 )   ‘ + g ( 1 4  

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中学数 学教 学参考 
2 0 0 5 年 第l 2 期 

骞  :   酶 申祝 平  ( 3 ) 6 4 关于周 界中点三角形 的两个不等式  静 吴 勤文  ( 3 ) 6 4 一个条件等式的推广 
渗张在 明  

( 6 ) 5 8 解不等式要注 意“ 等价”  
错误剖 

( 8 ) 2 8 集合 表示 中值 得注意的几个 问题  赫傅 建民  

l  英语数学—


毋田

 
枫 供 

l  问题争鸣 
( 8 ) 4 4 理性 看待数学课程中一个争议较大 
的问题  陈 宁 

( 1 ~2 ) 1 2 1   Mo t i v a t i n g   S t u d e n t s   t o   S t u d y   Ma t h e ma t i c s  

( 1 -2 ) 1 2 2  S o meQ u e s t i o n s  
P ob r a b i l i t y   a n d   S t a t i s t i s  c

国田

枫 供 

l  初数新探 
( 1 -2 ) 1 1 9   平行 四边形 面积公式严 格推证  的几 种方法  加强  吴善 和 黪杨 之 

( 3 ) 6 3  S ome   Ma t h e ma t i c a l   E x p r e s s i o n s   o f  
舔任 明俊  

( 4 ) 6 2  S o meQ ue s t i o n s  

黪 任 明俊  

( 4 ) 6 1 周界 中点三角形两个面积不等式的 
石焕 南 

( 4 ) 6 2   Mo t i v a t i n g   S t u d e n t s   t o   S t u d y   a t M h e ma t i s c  

参考译 文 

罄任 明俊 
罄田 枫供 

( 4 ) 6 1 巧妙的 比值 , 你知道吗?   ( 4 ) 6 1 等角线的性质  ( 5 ) 6 1 母子三角形 内旁切圆的性质  ( 5 ) 6 1 分割三角形的一个面积公式 
( 6 ) 5 3 “ 梯子 问题 ” 的逆问题 

僚张留杰  勘宿晓阳  姆李耀 文  谢
杨 张
瓣杨 帆

( 5 ) 6 2  C r e a t i n g   A   G u i d e d —d i s c o v e r y   L e s s o n   ( 6 ) 5 9  D e v e l o p i n g   P r o f i c i e n c y   i n   T e a c h i n g  

祥 
之  贽 

at M h e m a t i s c  
( 7 ) 5 8  S ome   Q u st e i o n s   ( 8 ) 6 2  D e f i n i t i o n   o f   a   C i r c l e   ( 9 ) 5 9  D ef i n i t i o n   o f   n  a E l l i p s e  

霉荀金青  罗新兵 
露 罗新 兵   金 志刚 供  蛰金 志 刚 供   金 志刚 供  金 志刚 供 
黪 罗新 兵 

( 6 ) 5 3 “ 垂边三角形” 性质初探 
( 6 ) 5 3 双圆四边 形的一个 性质 

张敬坤 

( 7 ) 5 9 一个 几何 不等 式猜想的否定及修正 
杨 定 华 

( 1 0 ) 6 1   ef D i n i t i o n   o f   t h e   Hy p e r b o l a   ( 1 1 ) 6 0   P a r a ol b a s  

( 7 ) 5 9 《 关于方程  =l o g d c 解 的范 围》 的质疑 
杨德 兵 余 咏梅  

( 1 2 ) 5 7   E f f e c t i v e   T ac e in h g   i n   S c h o o 1   a t M h e ma t i s  c

( 7 ) 5 9 立方根一个近似估计式 的初等证 明  邵剑波  ( 8 ) 6 1 相关二次方程的一个问题  ( 8 ) 6 1 初等对称多项式与实数判别  谚彭宝义  瓣吴  波 

l  数学走廊 
( 1 ~2 ) 1 2 6   负数的历史与“ 负 负得 正” 的引入 
秭佟 巍 汪 晓 勤 

( 9 ) 5 8 圆锥侧 、 表 面积 与体积 的关系 
( 9 ) 5 8 三割线定理 

雅石长伟  
船侯 明辉 

( 4 ) 6 3 起 源于赌博的数学——概率论 
稚 傅 赢芳

璐牟方田 
张 维 忠 
镑 曲元 海 

( 5 ) 6 3 不 尽根 数的估算 : 多元文化数 学的观点 

( 1 0 ) 6 0 一道流行几何命题 的推广  ( 1 0 ) 6 0 矩阵 与柯西不等式  ( 1 1 ) 6 1 分段等差数列  ( 1 2 ) 5 6 周期数列通项 的拉格 朗 日插值法
成果集锦 

姆曾建 国   国胡明娣  辔杨 之  霸王凯成 

( 6 ) 6 0 “ 口吃” 数学 家丰坦纳与三次方程求根公式  ( 7 ) 6 0 文学家卡莱尔的数学岁月 黔胡 海霞  汪晓勤  ( 9 ) 6 0 一元五次方程求根公式与伽罗华群论 
曲元 海 

( 1 -2 ) 1 2 0 一个几何不等式猜想不能成立的理由 
瓣张 赘  总 目次 

( 1 -2 ) 1 2 0 勾股数组在 n维 空间的推广  嵇杨

明 

( 1 2 ) 5 9 本刊2 0 0 5年 1 ~1 2期总 目次 
+5 8+6 6+7 4+8 4+9 1+ 1 0 1+9 6= 7 6 8 .  

( 上接第 5 4页 )   +[  ] +[   ] +… +  3 0 ]
.  

说 明: 参考答案给出的基本解法 比较抽象 , 几乎没  有考生按这 种方法 来解 的 . 有耐心且 运算能 力较 好的 
2 4 0  

又g ( 1 ) =[ 午] + [ 寺] = 3 , 可分别求出  
g ( 2 ) =8 , g ( 3 ) =1 4 , g( 4 ) =2 0 , g( 5 ) =2 7 , g ( 6 )   =3 5 , g ( 7 ) =4 1 , g( 8 ) =5 0 , g( 9 ) =5 8 , g( 1 0 ) =6 6 ,   g( 1 1 ) =7 4 , g ( 1 2 ) =8 4 , g ( 1 3 ) =9 1 , g( 1 4 ) =1 0 1 .  

考生大都采用 “ 硬算” 的方法 . 如果将计算 ∑f ( k ) 改为 
l  

, nnS  

计算 ∑f ( k ) , 可能会更好一些 .  
=l  

参考文献 
1 匡继 昌. 常用不等式 ( 第三版 ) [ M] . 济南 : 山东科学技术 出  
版社 , 2 0 0 4  

x  c - 3 l O   j +  
2 4 0  
‘ ? ?

+. . ? +  3 0 =9 6
,  

2 杨之 . 初等数学研究的问题 与 课题 [ M]   长沙 : 湖南教育 出  
版社 , 1 9 9 3   ( 续完)  

吾, ( 是 ) = 3 + 8 + 1 4 + 2 0 + 2 7 + 3 5 + 4 1 + 5 0  


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