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江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


南昌三中 2015—2016 学年度上学期期末考试 高二数学(理)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 5? 1、直线 l 过点 ?1,0 ? ,且倾斜角为 ,则直线 l 的方程为( 6 A. y ? ? 3 x ? 1 3
6 2

) D. y ? ? 3 ? x ? 1?
3

B. y ?

3 ? x ? 1?
3

C. y ? ? 3 x ? 1
3

2 2 2、椭圆 x ? y ? 1 的离心率为(

) D.
2 2

A. 1 3
2 2

B. 3

C. 2
3

6 3

3、圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 4、给出以下四个结论,其中错误 的是( ) ..

).

2 A.命题“若 x2 ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆否命题为“ x ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 0 ”

B.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 5、设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也 不必要条 件 6、一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形, 该四棱锥的体积等于( ) A.

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 6 3
1cm 1cm

1cm 1cm 主视图

2cm 左视图

7、设抛物线 y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为 足,如果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? ( A. 4 3 B.8 C. 8 3 ) D. 16 )


2cm 俯视图 第6题图

8、已知直线 m ? 平面? ,直线 l ? 平面? ,则下列结论中错误 的是( .. A.若 l ? ? , 则 m ∥ ? C.若 ? ∥ ? ,则 l ? m 9 、椭圆 C : B.若 l ∥ m ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则 l ∥ m

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 , 点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3
1

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A. ? , ? ? ?2 4? ?
3? B. ? 3 , ? ?8 4 ? ?



C.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

D.

?3 ? , 1 ? ?4 ? ?

10、正三角形 ABC 的边长为 2 ,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,此时四面体
ABCD 外接球表面积为(

) C. 7? D. 19
6 19?

A. 7 7? 6 11、 若双曲线

B. 19?

2 x2 y 2 它到右焦点及到直线 x ? ? a , ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 的 ? 2 ? 1? 0 ? a ? b ? 的右支上存在一点, 2 a b c

距离相等,则 离心率 e 的取值范围是( A. 1, 2

) 。 D. ? 2 ? 1, ?? ?

?

?

B. 1, 2 ? 1? C. ?

?

?

2, 2 ? 1? ?

?

12、在平面直角坐标系中,定义:一条直线经过一个点 ? x, y ? ,若 x, y 都是整数,就称该直线为完 美直线,这个点叫直线的完美点,若一条直线上没有完美点,则就称它为遗憾直线。现有如下几个 命题: ①如果 k , b 都是无理数,那 么直线 y ? kx ? b 一定是遗憾直线; ②“直线 y ? kx ? b 是完美直线”的充要条件是“ k , b 都是有理数” ; ③存在恰有一个完美点的完美直线; ④完美直线 l 经过无穷多个完美点,当且仅当直线 l 经过两个不同的完美点。其中正确的命题是 ( ) A.②③ B.②③④ C.①③④ D.③④ 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、若抛物线 y ?
2
2 2 1 x 的焦点与椭圆 x ? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2p 6 2



14、过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30? 的直线,与抛物线 分别交于 A 、B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则
FB AF ?



2 2 2 2 2 15、 过双曲线 x 2 ? y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F ? ?c,0 ? 作圆 x ? y ? a 的切线, 切点为 E , 延长 FE a b

交抛物线 y ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 FE ? EP ,则此双曲线的离心率为
2



16、一个正四棱锥和一个正方体,它们有半径相同的内切球,记正四棱锥的体积为 V1 ,正方体的体 积为 V2 ,且 V1 ? kV2 , 则实数 k 的最小值为 。

2

三、解答题 17、 (本小题 10 分)已知 求实数 a 的取值范围。

p : x ? 2 ? 0 , q : x ? 2 ? a ? a ? 0? ,
x?3

若 q 是 ? p 的必要不充分条件,

18、 (本小题 12 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ? 2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程.
3

19、 (本小题 12 分)已知双曲线 双曲线 的标准方程;

,求与双曲线

有相同的焦点,且过点



20、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. A (Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值;

F

C

O E

21、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角, AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:AB ? 平面 BEF;

B

(Ⅱ)设 PA=k ·AB,若平面 EBD 与平面 BDC 的夹角大于 45 ? ,求 k 的取值范围.

22、 (本小题 12 分)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切.
3

(Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点 A( x0, y0 ) 为圆上任意一点, AN ? x 轴于 N ,若动点 Q 满足 OQ ? mOA ? nON ,(其 中 m ? n ? 1, m, n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当 m ?

??? ?

??? ?

????

3 时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 与曲 2

线 C 交于 B 、 D 两点,且 ?BOD 为钝角,请说明理由.

南昌三中高二数学(理)期末考试试题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 5? 1、直线 l 过点 ?1,0 ? ,且倾斜角为 ,则直线 l 的方程为( D ) 6 A. y ? ? 3 x ? 1 3
6 2

B. y ? 3 ? x ? 1? C. y ? ? 3 x ? 1 D. y ? ? 3 ? x ? 1?
3

3

3

2 2 2、椭圆 x ? y ? 1 的离心率为( D )

A. 1 3
2

B. 3
2

C. 2
3
2

D.
2

6 3

3、圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

B ).

4、给出以下四个结论,其中错误 的是( C ) ..
2 2 A.命题“若 x ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆否命题为“ x ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 0 ”

B.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
2 D. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

5、设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件

)

D.既不充分也 不必要条件

6、一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形, 该四棱锥的体积等于( A ) A.

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 6 3
1cm 1cm

1cm 1cm 主视图

2cm 左视图

2cm 俯视图

第6题图

4

7、设抛物线 y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? ( B ) A. 4 3 B.8 C. 8 3 D. 16

8、已知直线 m ? 平面? , 直线 l ? 平面? ,则下列结论中错误 的是(D) .. A.若 l ? ? , 则 m ∥ ? C.若 ? ∥ ? ,则 l ? m 9 、椭圆 C : B.若 l ∥ m ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则 l ∥ m

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 , 点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3
B )

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A. ? , ? ? ?2 4? ?
3? B. ? 3 , ? ?8 4 ? ?

C.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

D.

?3 ? , 1 ? ?4 ? ?

10、正三角形 ABC 的边长为 2 ,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,此时四面体
ABCD 外接球表面积为(

C

) C. 7? D. 19
6 19?

A. 7 7? 6 11、若双曲线

B. 19?

x2 y 2 a2 2 的右支上存在一点,它到右焦点及到直线 ? ? 1 0 ? a ? b ? ? x ? ? , ? c ? a 2 ? b2 ? 的 a 2 b2 c

距离相等,则离心率 e 的取值范围是( C ) 。 A. 1, 2

?

?

B. 1, 2 ? 1? ?

?

C.

?

2, 2 ? 1? ?

D. ? 2 ? 1, ?? ?

?

12、在平面直角坐标系中,定义:一条直线经过一个点 ? x, y ? ,若 x, y 都是整数,就称该直线为完 美直线,这个点叫直线的完美点,若一条直线上没有完美点,则就称它为遗憾直线。现有如下几个 命题: ①如果 k , b 都是无理数,那么直线 y ? kx ? b 一定是遗憾直线; ②“直线 y ? kx ? b 是完美直线”的充要条件是“ k , b 都是有理数” ; ③存在恰有一个完美点的完美直线; ④完美直线 l 经过无穷多个完美点, 当且仅当直线 l 经过两个不同的完美点。 其中正确的命题是 ( D ) A.②③ B.②③④ C.①③④ D.③④ 二 、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、若抛物线 y ?
2
2 2 1 x 的焦点与椭圆 x ? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 1 。 2p 6 2 16

5

14、过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30? 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两点( A 在 y 轴左侧) ,则
FB AF ?

3.

2 2 15、过双曲线 x 2 ? y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F ? ?c,0 ? 作圆 x2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E ,延长 a b

FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 FE ? EP ,则此双曲线的离心率为 1 ?

5



2

16、一个正四棱锥和一个正方体,它们有半径相同的内切球,记正四棱锥的体积为 V1 ,正方体的体积 为 V2 ,且 V1 ? kV2 , 则实数 k 的最小值为 三、解答题 17、 (本小题 10 分)已知 数 a 的取值范围。 解:由已知, p : x
4 3



p : x ? 2 ? 0 , q : x ? 2 ? a ? a ? 0? ,
x?3

若 q 是 ? p 的必要不充分条件,求实

? ?3 或 x ? 2 ,从而, ? p : ?3 ? x ? 2 ,
? 2?a ? 2

2 ? a ? ?3 q : 2 ? a ? x ? 2 ? a ,又由已知得, ? p 是 q 的充分不必要条件,所以, ? ?a?5 ?

18、 (本小题 12 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ? 2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程.
3

[解析] :由

? b?4 5 ? c 2 ? ? ? e? ? ? 2 a2 3 2 ?a ? b ? c ?

2 2 y2 x2 ?a ? 12 ? ?1或 y ? x ?1 ,∴椭圆的方程为: ? 144 80 144 80 ? c ?8

19、(本小题 12 分)已知双曲线 曲线 的标准方程;

,求与双曲线

有相同的焦点,且过点

的双

A

20、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面
F

C

6
O E B

AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值;

解:(Ⅰ)由于平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点,则 AO ? EF ,根据面面垂直性质定理,所以 AO ? 平面 EFCB, 又 BE ? 平面 EFCB ,则 AO ? BE . (Ⅱ)取 CB 的中点 D,连接 OD,以 O 为原点,分别以 OE、OD、OA 为

x、y、z 轴建立空间直角坐标系, A(0,0 3a),
E(a,0,0),B(2,2 3 ? 3a,0),AE ? (a,0,? 3a),EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),由于平面 ?? ? ?? ? AEF 与 y 轴垂直,则设平面 AEF 的法向量为 n1 ? (0,1,0), 设平面 AEB 的法向量 n2 ? (x ,y ,1), ?? ? ??? ?? ? ??? x ? (2 3 ? 3a) y ? 0 , y ? ?1 , n2 ? AE ,ax - 3a ? 0,x ? 3 , n2 ? EB ,(2 ? a)
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 ?1 5 则 n2 ? ( 3,?1,1),二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos?n1 ,n2 ? ? ?? ,由二 ? ? ? ?? ? ? 5 5 n1 ? n2
??? ???

?? ?

面角 F ? AE ? B 为钝二面角,所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ? 21、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:AB ? 平面 BEF ; (Ⅱ) 设 PA= k ·AB, 若平面 EBD 与平面 BDC 的夹角大于 45 ? ,求 k 的取值范围.

5 . 5

(Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形,从而 AB ? BF. 又 PA ? 底面 ABCD, 所以平面 PAD ? 平 面 ABCD ,因为 AB ? AD ,故 AB ? 平面 PAD , 所以 AB ? PD , 在 ?PDC 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点, EF // PD ,所以 AB ? EF . 由此得 AB ? 平面 BEF . (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB、AD、AP 为 OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系, 设 AB 的长为 1,则 BD ? (?1,2,0), BE ? (0,1, k ),
2
?n2 ? BD ? 0 设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ? x, y,1? ,则 ? ? ? ?n2 ? BE ? 0

?? ?

7

?? ? ?? x ? 2 y ? 0 ,可得 n ? ? ?k , ? k ,1? ,设二面角 ? 2 ? ? ?? k 2 ? ? y? ?0 ? ? 2

E?BD?C 的大小为 ? ,

?? ?? ? ?? ?? ? n ? n 2 1 2 则 cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? 2 n1 ?n2

化简得 k 2 ? 4 ,则 k ? 2 5 . 5 5

22、 (本小题 12 分)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点 A( x0, y0 ) 为圆上任意一点, AN ? x 轴于 N ,若动点 Q 满足 OQ ? mOA ? nON ,(其中

??? ?

??? ?

????

m ? n ? 1, m, n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当 m ?

3 时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 与曲线 C 2

交于 B 、 D 两点,且 ?BOD 为钝角,请说明理由. 解: (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 l1 距离为 d ,则 d ?

| ?2 2 | 12 ? 12

? 2 ????2 分

所以圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ????????????????????3 分 (Ⅱ)设动点 Q( x, y) , A( x0, y0 ) , AN ? x 轴于 N , N ( x0 ,0) 由题意, ( x, y) ? m( x0 , y0 ) ? n( x0 ,0) ,所以 ?

? x ? (m ? n) x0 ? x0 ??????5 分 ? y ? my0

? x0 ? x x2 y2 1 ? 2 2 A ( x , y ) ? ? 1 ??????7 分 即: ? ,将 代入 , 得 x ? y ? 4 1 2 2 m 4 4 m y ? y 0 ? m ? 0 2
0 0 02 x 9y 3 ? ? 1 ,假设存在直线 l 与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 垂直,设 (Ⅲ) m ? 时,曲线 C 方程为 9 4 0 3 2 5 0 直线 l 1 5 的方程为 y ? ? x ? b ?????????? 8分 5 1 5
2

x2 y 2 ? ? 1 交点 B( x1, y1 ), D( x2 , y2 ) 设直线 l 与椭圆 4 3
联立得: ?

? y ? ?x ? b
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

2 2 ,得 7 x ? 8bx ? 4b ? 12 ? 0

???????9 分

8

因为 ? ? 48(7 ? b2 ) ? 0 ,解得 b2 ? 7 ,且 x1 ? x2 ?

8b 4b 2 ? 12 , x1 x2 ? ?10 分 7 7

??? ? ??? ? OD ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (b ? x1 )(b ? x2 ) ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2
8b 2 ? 24 8b 2 7b 2 ? 24 2 ? ? ?b ? ????????????????11 分 7 7 7
因为 ?BOD 为钝角,所以

7b 2 ? 24 24 ? 0 ,解得 b 2 ? 满足 b2 ? 7 7 7

?-

2 42 2 42 ?b? 7 7

所以存在直线 l 满足题意????????????????????12 分

9


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