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2013理科二模-上海市闵行区高三数学

时间:2014-03-18


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——闵行区数学(理科)

2013 年上海市闵行区高三年级二模试卷——数学(理科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程组 ?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 的增广矩阵为 ?3 x ? y ? 8



2 2.已知集合 M ? x | x ? 4, x ? R , N ? ? x | log 2 x ? 0? ,则集合 M

?

?

I N?




3. 若 Z1 = a + 2i , Z 2 =

1 2i 2
3

3

,且

z1 为实数,则实数 a 的值为 z2

4. 用二分法研究方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的近似解 x ? x0 ,借助计算器经过若干次运算得下表: 运算 次数 解的 范围 1 ? ? 4 5 6 ? ?

(0,0.5)

(0.3125,0.375)

(0.3125,0.34375)


(0.3125,0.328125)

若精确到 0.1 ,至少运算 n 次,则 n ? x0 的值为 5 .已知 e1、e2 是夹 角为 为 .

r

r

r r r r r r r r ? ? e , a // b ,则实数 k 的 值 的两个单位 向量,向量 a ? e1 ? 2 e2 , b ? ke 若 1 2 2
频率/ 组距

6. 某工厂对一批产品进行抽样检测, 根据抽样检测后的 0.150 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图如图 0.125 0.100 所示,已知产品净重的范围是区间 ?96,106 ? ,样本中净 0.075 0.050 100? 的产品个数是 24 ,则样本中净重在 重在区间 ?96, 区间 ?100,104 ? 的产品个数是 . 96 98 100 102 104 106 克 第 6 题 图

7.一个圆锥的底面积为 4? ,且该圆锥的母线与底面所 成的角为

? ,则该圆锥的侧面积为 3



8. 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴

建立极坐标系, 在极坐标系中曲线 ? 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 , 曲线 ? 与 C 相交于两点 A 、B , 则弦长 AB 等于 .

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9. 设双曲线 x ? y ? 6 的左右顶点分别为 A1 、A2 ,P 为双曲线右支上一点, 且位于第一象限, 直线 PA1 、
2 2

PA2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则 k1 ? k2 的值为



10. 设 ?ABC 的 三 个 内 角 A、 B 、 C 所 对 的 边 长 依 次 为 a、b、c , 若 ?ABC 的 面 积 为 S , 且

S ? a 2 ? (b ? c)2 ,则

sin A ? 1 ? cos A



11. 已知随机变量 ? 所有的取值为 1, 2,3 ,对应的概率依次为 p1 , p2 , p1 ,若随机变量 ? 的方差 D? ?

1 ,则 2

p1 ? p2 的值是



12. 公 差 为 d , 各 项 均 为 正 整 数 的 等 差 数 列 {an } 中 , 若 a1 ? 1,an ? 7 3 ,则 n?d 的最小值等 于 .

13.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O , AC ? 6, BC ? 7, AB ? 8, 则 AO ? BC ? 14.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ?

uuu r uuu r
任 意

. 的 .

1 8







x?R







f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3x , f ( x ? 4) ? f ( x) ? 10 ? 3x ,则 f (2014 ) =

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.二项式 ( x ? ) 展开式中 x 的系数为
6

(B) ?15 . (C) 6 . (D) ?6 . uu u r uuu r 16.在 ?ABC 中, “ AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 是钝角三角形”的 ( (A) 15 .

1 x

4

(

)

)

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 17.设函数 f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ? ? (A) ?1 . (B)0.

? ? ?? , ,则函数 f ( x) 的最小值是 ( ? 2 2? ?
(C)

)

1 . 2

(D)

9 . 8

18.给出下列四个命题: ①如果复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? i |? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆. ②设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ? R , | f ( x) |?| f (? x) | 恒成立,则 f ( x) 是 R 上的奇函数 或偶函数. ③已知曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 和 两 定 点 E ? ?5, 0 ?、F ? 5, 0 ? , 若 P ? x, y ? 是 C 上 的 动 点 , 则 9 16

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PE ? PF ? 6 .
④设定义在 R 上的两个函数 f ( x) 、 g ( x) 都有最小值,且对任意的 x ? R ,命题“ f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ” 正确,则 f ( x) 的最小值为正数或 g ( x) 的最小值为正数. 上述命题中错误的个数是 (A)1. (B)2. ( (C)3. (D)4. )

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,在半径为 20cm 的半圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD ,其中点 A 、 B 在直径 上,点 C 、 D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题 作答 即可: .... .. ①设 ?BOC ? ? ,矩形 ABCD 的面积为 S ? g (? ) ,求 g (? ) 的表 出 ? 的范围. ②设 BC ? x(cm) ,矩形 ABCD 的面积为 S ? f ( x) ,求 f ( x) 的表达式,并写出 x 的范围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积. 解: x ? 10 2 时 A O B 达式, 并写 D C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. A1 ? 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? , AB ? AC ? 2 , C1

B1

2

AA1 ? 6 ,

点 E、F 分别在棱 AA1、CC1 上,且 AE ? C1 F ? 2 . (1)求四棱锥 B ? AEFC 的体积; (2)求 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值. 解:

F E A C B

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在坐标轴上,且经过 M (2,1)、N (2 2, 0) 两点, P 是 E 上的 动点. (1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A、B ,求证:直 线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补. 解:

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ? 0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

?b x

b b ?????????????????????2 分 ?a? x? x x b b 故 ( x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? x x

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23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y ? x 于 P 1 点,过 P 1 点作倾斜角为 120 的直
?
2

?

线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P2 点;过 P2 点作倾斜角为 60 的直线交 x 轴于 Q2 点,交 ? 于 P3 点;过 P3 点作倾
?

斜 角 为 120 的 直 线 , 交 x 轴 于 Q3 点 , 交 ? 于 P4 点 ; 如 此 下 去 ? ? . 又 设 线 段
?

OQ1 , QQ L3,Qn? Qn, L 1 , 2 Q Q2 , 1











a1 , a2 , a3 ,L , an ,L



?OPQ ?Q1P2Q2, ?Q2 PQ L ,?Qn?1PnQn, L 的面积分别为 G1 , G2 , G3 ,L , Gn ,L , 数列 ?an ? 的前 n 项的 1 1, 3 3,
y 和为 S n . (1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , lim
n ??
a

P3 x

P1 O Q1 P2 P4 Q2 Q3

Gn ; Sn

(3)设 bn ? a n ( a ? 0且a ? 1) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于正整数 p, q, r, s ,若 p ? q ? r ? s ,且

p ? s ? q ? r ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.-

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闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分标准 进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的 解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程 度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不 给分. 一、 (第 1 题至第 14 题) 1. ? 6.44; 7.8? ;

? 1 ?2 5 ? ?; ?3 1 8 ?

2. ?1, 2 ? ; 9. 1 ;

3. ?

3 ; 2

4.5.3; 11.理

5. ?

1 ; 2

8.理 8 ,文 17 ;

10. 4 ;

3 1 ,文 ; 4 7

12.理

18 ,文 14 ;

28 13.理 ?14 ,文 ? ; 3
15.D;

6561 38 32014 或 . 14.理 ,文 8 8 8
16.A; 17.B; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. (理) 20 . (文) [解]

①由 ?BOC ? ? ,得 OB ? 20cos ? , BC ? 20sin ? ,其中 ? ? ? 0,

? ?

??

? 理 2 分,文 3 分 2?

所以 S ? g (? ) ? AB ? BC ? 2OB ? BC ? 800sin ? cos ? ? 400sin 2? 即 g (? ) ? 400sin 2? , ? ? ? 0, ②连接 OC ,则 OB ?

? ?

??
? 2?

????????????文理 4 分

400 ? x 2 (0 ? x ? 20)
2

????????理 2 分,文 3 分

所以 S ? f ( x) ? AB ? BC ? 2 x 400 ? x (0 ? x ? 20) 即 f ( x) ? 2 x 400 ? x (0 ? x ? 20) .
2

????????文理 4 分

(2)①由 S ? g (? ) ? 400sin 2?

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得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? 此时 BC ? 20sin

?
4

时, S 取最大值 400cm .??理 4 分,文 5 分

2

?
4

? 10 2cm ,
2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .?文理 2 分
2 2 2 2 2 ② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,

当且仅当 x ? 400 ? x ,即 x ? 10 2 时, S 取最大值 400cm .??理 4 分,文 5 分
2 2 2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .?文理 2 分 19. (文) [解](1) VA1 ? B1C1F ? VF ? A1B1C1 ?

2

1 1 1 4 S?A1B1C1 ? C1F ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ?6 分 3 3 2 3

(2)连接 CE ,由条件知 CE // FA1 ,所以 ?CEB 就是异面直线 BE 与 A1 F 所成的角.2 分 在 ?CEB 中, BC ? CE ? BE ? 2 2 ,所以 ?CEB ? 60 ,
?

??????2 分

所以异面直线 BE 与 A1 F 所成的角为 60 . 20.(理) [解](1) VB ? AEFC ? ?

?

?????????????2 分

1 1 1 S AEFC ? AB ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? 4 ??7 分 3 3 2
A1 C1 F E A C x B y z B1

(2)建立如图所示的直角坐标系,则

A(0,0,0) , B(0, 2,0) , E (0,0, 2) , F (2,0, 4) ,
EF ? (2, 0, 2) , EB ? (0, 2, ?2)

???

???

????????2 分

设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?

? ? ??? ? ? n ? EF ? 2 x ? 2 z ? 0 ? 取z ? 1得x ? ?1, y ? 1 , ? ? ? ??? n ? EF ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? ? 所以 n ? (?1,1,1) ???????????2 分
? ? n ? n1 1 3 ? ? 平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0, 0,1) ,则 cos ? ? ? ? ? n ? n1 3 3

所以 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值为 21. [解](1)设椭圆 E 的方程为 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)
2 2

3 .?3 分 3

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将 M (2,1), N (2 2, 0) 代入椭圆 E 的方程,得 ?

? 4m ? n ? 1 ???理 2 分,文 3 分 ? 8m ? 1
????理 2 分,文 3 分

解得 m ?

x2 y2 1 1 ?1 , n ? ,所以椭圆 E 的方程为 ? 8 2 8 2
2 2 2

(x0 , y0 ) ,则 OP ? x0 ? y0 . 设点 P 的坐标为
2 2 x0 y0 2 2 ? 8 ? 4 y0 又 P( x0 , y0 ) 是 E 上的动点,所以 ,代入上式得 ? ? 1 ,得 x0 8 2
2 2 2 2 OP ? x0 ? y0 ? 8 ? 3 y0 , y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ?

故 y0 ? 0 时, OP max ? 2 2 . OP 的最大值为 2 2 . ??????理 2 分 (2)因为直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM ?

1 1 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? b .由 2 2

1 ? y ? x?b ? ? 2 2 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

??????文理 2 分

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b ? 4 .
2

又 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2
y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? .???文理 2 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故 k1 ? k2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2

????文理 2 分

? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b 2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0
故 k1 ? k2 ? 0 .????????????????????????文 2 分 所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.?????????????理 2 分 22. [解](理) (1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 1| 既不是奇函数也不是偶函数.??2 分 ∵ f (?1) ? ?2, f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1)

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所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.???????????????2 分 (2)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ?1 , 由 f (2 x ) ?

5 5 得 2 x | 2 x ? 1| ?1 ? 4 4

???????????2 分

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

?????????2 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 . 2
??????2 分

所以 x ? log 2

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

?b x

b b ?????????????????????2 分 ?a? x? x x b b 故 ( x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? x x b b 又函数 g ( x) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ? 0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ? 0,1? 上 h( x ) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) . ??????????????2 分 ②当 ?1 ? b ? 0 ,在 ? 0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ?b 时, ( x ? )min ? 2 ?b ,此时要使 a 存在, x
? ?1 ? b ? 2 ?b ? ? ?1 ? b ? 0
即 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b )

必须有 ?

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ; 当 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? . ???????????2 分

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[解](文) (1)当 a ? 1 时,函数的单调递减区间为 ? ,1? ??????2 分 函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ? 由 f (2 ) ? 0 得 2 x | 2 x ? 1| ?
x

?1 ? ?2 ?

??????2 分

1 , 4
??????2 分

1 ?0 4

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

??????2 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 . 2
??????2 分

所以 x ? log 2

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

1 4x

1 1 ??????????2 分 ?a ? x? 4x 4x 1 1 故 (x ? )max ? a ? ( x ? )min , x ? ? 0,1? 4x 4x 1 1 3 又函数 g ( x) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,∴ ( x ? )max ? g (1) ? ???2 分 4x 4x 4
函数 h( x) ? x ?

1 ? 1? ?1 ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增, 4x ? 2 ? ?2 ?

∴ (x ?

1 1 3 ?3 ? )min ? h( ) ? 1 ;所以 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ? ,1? .??2 分 4x 2 4 ?4 ?
a1 3a1 a 3a1 , ) ,又 P1 ( 1 , ) 2 2 2 2

23. [解] (1)如图,由 ?OQ1 P 1 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P 1 的坐标为 (

3a12 a1 2 ? ,得 a1 ? 在抛物线 y ? x 上,所以 4 2 3
2

??????2 分

同理 P2 ( ?

2 3

a2 3a2 4 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 2 2 3

??????2 分

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(2)如图,法 1:点 Qn ?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) ,即点 ( Sn ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所 以 直 线 Qn ?1 Pn 的 方 程 为 y ? 3( x ? Sn ?1 ) 或 y ? ? 3( x ? S n ?1 ) , 因 此 , 点 Pn 的 坐 标 满 足

? y2 ? x ? ? ? ? y ? 3( x ? Sn?1 )
消去 x 得 3 y ? y ? 3Sn ?1 ? 0 ,
2

所以 y ?

1 ? 1 ? 12Sn ?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?
2

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12 S n ?1 2
??① ??② ?????????????????2 分

从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1
2

由①有 3an ?1 ? 2an ?1 ? 4Sn
2 2

②-①得 3(an ?1 ? an ) ? 2(an ?1 ? an ) ? 4an 即 (an ?1 ? an )(3an ?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ????2 分 3 3 3 (a1 ? an )n 1 (文) Sn ? ????????????文 2 分 ? n(n ? 1) 2 3 (a ? an )n 1 (理) Sn ? 1 ? n(n ? 1) 2 3
Gn 3n 2 3 3 2 3 2 ? lim ? Gn ? an ? n , lim n ?? n ?? Sn 3n(n ? 1) 3 4 9
????????理 2 分

法 2:点 Qn ?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) ,即点 ( Sn ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所以直线 Qn ?1 Pn 的方程为 y ? 3( x ? Sn ?1 ) 或 y ? ? 3( x ? S n ?1 )

? y2 ? x ? 2 因此,点 Pn ( x, y ) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? Sn ?1 ) ? x , ? ? y ? 3( x ? Sn?1 ) a a 2 a 2 又 x ? Sn ?1 ? n ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1 ?① ??2 分 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn ?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) ,

闵行区 2013 高三数学二模(理科)

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——闵行区数学(理科)

即点 ( Sn ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( Sn ?1 ?
2

an 3an a 3 2 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an ? Sn?1 ? n 2 2 4 2
??????????????????????2 分

即 3an ? 2an ? 4 S n ?1 以下各步同法 1

b a (3) (文)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3

a

2n 3

?a ,
2 2

2 3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a 3 ? 1 ,首项 b1 ? a 3 ? q0 , 因正整数 p, q, r, s 成等差数列,且 p ? q ? r ? s ,设其公差为 d ,则

d 为正整数,所以 q ? p ? d , r ? p ? 2d , s ? p ? 3d
则 Tp ?

b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0p ? d ) b (1 ? q0p ? 2 d ) b (1 ? q0p ?3d ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 ? 2分 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 b12 ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0p ?3d ) ? (1 ? q0p ? d )(1 ? q0p ? 2 d ) ? ? (1 ? q0 ) 2 ?
?????????? 2 分

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 ? ? ?(q0p ? d ? q0p ? 2 d ) ? (q0p ? q0p ?3d ) ? 2 ? ? (1 ? q0 )
而 (q0
p?d

d d ? q0p ? 2 d ) ? (q0p ? q0p ?3d ) ? q0p (q0 ? 1) ? q0p ? 2d (q0 ? 1)

d d 2d d 2d ? 1)q0p (1 ? q0 ) ? ?q0p (q0 ? 1)(q0 ? 1) ????? 2 分 ? (q0 ? 1)(q0p ? q0p ? 2 d ) ? (q0

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a 3 ? 0且q0 ? 1 , 又 d 为正整数,所以 ( q0 ? 1) 与 (q0 ? 1) 同号,
d 2d

2

故 ?q0 (q0 ? 1)(q0 ? 1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr .
p d 2d

??????? 2 分

b a (理)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3

a

2n 3

?a ,
2 2

2 3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a 3 ? 1 ,首项 b1 ? a 3 ? q0 ,

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——闵行区数学(理科)

则 Tp ?

q r s b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 ?? 2 分 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 s q r p?s q?r ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 )? (注意 q0 ? q0 ) 2 ? ? (1 ? q0 )
?????????? 2 分
s r

?

b12 q r s ? ?(q0 ? q0 ) ? (q0p ? q0 )? 2 ? ? (1 ? q0 )
q r p s q p

而 (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 )
q? p r s ?r q? p r ? q0p (q0 ? 1) ? q0 (q0 ? 1) ? (q0 ? 1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q? p r? p q? p r? p ? (q0 ? 1)q0p (1 ? q0 ) ? ?q0p (q0 ? 1)(q0 ? 1) ????????? 2 分

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a ? 0且q0 ? 1 又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 (q0 故 ?q0 (q0
p q? p

2 3

q? p

r? p ? 1) 与 (q0 ? 1) 同号,

r? p ? 1)(q0 ? 1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr .??????? 2 分

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)

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