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2014~2015学年度第二学期期末模拟试卷高一数学


2014~2015 学年度第二学期期末模拟考试

高一数学
考生注意:本试卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器。 参考公式:1. 方差的计算公式: 2. 用最小二乘法求线性回归方程 y ? bx ? a 的系数公式 (M 为平均数) ;

b?

y ?y ? (x ?

x ) (
i ?1 i i

n

)
, a ? y ? bx ,其中 x , y 表示样本均值.

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确.请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.) 1. 4cos50 ? tan 40 ?
0 0

A. 2

B.

2? 3 2
2 2

C. 3

D. 2 2 ? 1

且 x ? y ? 1} ,B ? {( x, y) | x, y 为实数, 且 y ? x} , 2. 已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数, 则 A ? B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

3. 若向量 a , b, c 满足 a ∥b 且 a ? c ,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 B.3 C.2 D.0 4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 A.11 B.12 C.13 D.14 5. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为

?20,40? , ?40,60? , ?60,80? ,8?20,100?. 若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数


A. 45

B. 50

C. 55

D. 60

高一数学(A 卷) 第 1 页 (共 4 页)

6. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 4 C. a ? 6 B. a ? 5 D. a ? 7

9 ,则 5

开始 S=1,k=1 是

k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

2 2 7. 过点 (3,1) 作圆 ( x ?1) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为

A , B ,则直线 AB 的方程为
A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 8. 将函数 y ? B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0
输出 S k=k+1





D. 4 x ? y ? 3 ? 0

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移

结束 (第 6 题图)

m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m
的最小值是 A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

9. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?),( ? ? 0, ? 是 A. 2, ? C. 4, ?

?

? ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ?, ? 的值分别 2 2

?

5? 6

?
?
3

B. 2, ? D. 4,

?
6

?
3

6

10. 在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中 , 记以 A 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为

a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M
分 别 为 (ai ? a j ? a 的) d 最 小 值 、 最 大 值 , )k ? ( dr ? ds ? t 其 中

{i , j ,? k }
A.m ? 0, M ? 0

{ 1 ,,{r2 , s, , t} ? 3 {1, , 2,3, 4 ,4,5} 5 } ,则 m, M 满足
B.m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D.m ? 0, M ? 0

二、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上。 ) 11. 函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________. 12. 直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是_______________.

高一数学(A 卷) 第 2 页 (共 4 页)

13. 执行如图所示的程 序框图,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为______. 14. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 开始 输入n
i ? 1, s ? 1

i?n




s ? s ? ? i ?1?

输出 s 结束

i ? i ?1

第 13 题图 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示 ,其中茎 为十位数,叶为个位数. (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶 图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (3) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1名优秀工人的概 率. 16.(本小题满分 12 分) 某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线,分别称为 1 号线和 2 号线,经过两年的运 行,每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如下表: 时间(天) 1 号线生产一台合格的该大型设备的频率 2 号线生产一台合格的该大型设备的频率 15~25 0. 1 0 25~35 0. 15 0. 25 35~45 0. 45 0. 4 45~55 0. 2 0. 3 55~65 0. 1 0. 05

1 2
3

7 0

9

1 5

0
第 15 题图

其中 m~n 表示生产一台合格的该大型设备的时间大于 m 天而不超过 n 天,m,n 为正整数. (1)现该企业接到甲、乙两公司各一个订单,每个公司需要生产一台合格的该大型设备,甲、 乙两公司要求交货时间分别为不超过 45 天和 55 天,为了尽最大可能在甲、乙两公司订 单要求的时间内交货,该企业应如何选择生产甲、 乙两公司订购的该大型设备的生产线; (2)该企业生产的这种大型设备的质量,以其质量等级系数 t 来衡量,t 的值越大,表明质量越 好, 下面是两条生产线生产的 6 台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图.

高一数学(A 卷) 第 3 页 (共 4 页)

试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大 型设备的质量做出分析. 17.(本小题满分 14 分)

已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图象过点

和点

. (1) 求 m,n 的值; (2) 将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上 各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

) , x? R .

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? f (3 ? ? ) ? f (3 ? ? 2 ? ) ? , , ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 13 5 ? 2? ?

19.(本小题满分 14 分) 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2, 0) , AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1, 1) 在 AD 边所在直线上. (1) 求 AD 边所在直线的方程; (2) 求矩形 ABCD 外接圆的方程; 20. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为1 ,圆 心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线 的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的 取值范围. y A O l x

高一数学(A 卷) 第 4 页 (共 4 页)

2014~2015 学年度第二学期期末模拟考试 高一数学参考答案与评分标准
一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确.请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 A 8 B 9 A 10 D

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上。 ) 11. 5

2) 12 (3,

13. 7

14. 185

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题意可知,样本均值 x ? (2)

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 6

样本 6 名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有 2 名,

2 ? 可以推断该车间 12 名工人中优秀工人的人数为:12 ? ? 4 6
(3)
2 从该车间 12 名工人中,任取 2 人有 C12 ? 66 种方法, 1 1 而恰有 1 名优秀工人有 C10 C2 ? 20
1 1 C10 C2 20 10 ? ? 2 C12 66 33

? 所求的概率为: P ?

方法二:用古典概型求解 16.(本小题满分 12 分) (1)用 Ak 表示事件“k 号线生产甲公司订购的合格的大型设备时,在规定的时间内交货”,用 Bk 表示事件“k 号线生产乙公司订购的合格的大型设备时,在规定的时间内交货”,其中 k=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0. 1+0. 15+0. 45=0. 7,P(A2)=0. 25+0. 4=0. 65. P(A1)>P(A2),所以用 1 号线生产甲公司订购的合格的大型设备. P(B1)=1-0. 1=0. 9,P(B2)=0. 25+0. 4+0. 3=0. 95. P(B2)>P(B1). 所以用 2 号线生产乙公司订购的合格的大型设备. (7 分)

高一数学(A 卷) 第 5 页 (共 4 页)

(2) 1 号线与 2 号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数都是 17.

1 号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差 = ,

2 号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差 =

< .

所以 1 号线与 2 号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数相同,但 2 号线生产合 格的该大型设备的质量稳定性较高. (12 分) 17.(本小题满分 14 分) 解: (1)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2x ? n cos2x ,

? f ( x) 过点 (

?
12

, 3 ), (

? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 12 6 6 2? 4? 4? f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 3 3 3

?

?

2? , ?2) 3

?

?1 3 n? 3 ? m? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? ?? ?n ? 1 ? ? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2
(2) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6
)

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?
2

?
6

设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0 ? 1 解得 x0 ? 0

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

?
6
?

? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

?

) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 6 2

?

? ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? , k ? z
?

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [ ?
18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f (

?
2

? k? , k? ], k ? z

5? 1 5? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 4 3 4 6 4
高一数学(A 卷) 第 6 页 (共 4 页)

(2) f (3? ?

5 1 ? ? 10 ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 13 2 3 2 6 13 3 1 ? ? 6 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ,即 cos ? ? 5 3 6 2 5

?

∵? , ? ? ?0,

? ?? , ? 2? ?
2

4 12 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 5 13 12 3 5 4 16 ? ? ? ? ∴cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 13 5 13 5 65
∴cos ? ? 1 ? sin ? ?

19.(本小题满分 14 分) (1) 因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为-3. 又因为点 T(-1, 1) 在直线 AD 上, 所以 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1) , 即 3x+y+2=0.

(2) 由

解得点 A 的坐标为(0, -2) .

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2, 0) , 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.

又|AM|=

=2

,

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x-2) 2+y2=8.

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵ 圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴ 圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线 的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0

高一数学(A 卷) 第 7 页 (共 4 页)



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴2k (4k ? 3) ? 0 ∴k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴ 所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵ 圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方 程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理

得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D ∴ 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R
2 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? 5? ?

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