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初中数学函数知识点归纳(1)

时间:2017-03-08


初中函数知识
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
平面直角坐标系
1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限: (+,+) 第二象限: (-,+) 第三象限: (-,-) 第四象限: (+,-) 3、坐标轴上点的坐标特征: x 轴上的点,纵坐标为零;y 轴上的点,横

坐标为零;原点的坐标为(0 , 0) 。两坐标轴 的点不属于任何象限。 点 P(x,y) ,则 x>0,y>0; 点 P(x,y) ,则 x<0,y>0; 点 P(x,y) ,则 x<0,y<0; 点 P(x,y) ,则 x>0,y<0;

4、点的对称特征:已知点 P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横坐标相同,纵坐标反号 纵坐标相同,横坐标反号 横,纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 平行于 x 轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于 y 轴的直线上的任意两点:横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征: 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点 P(x,y)的几何意义: 点 P(x,y)到 x 轴的距离为 |y|,

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初中函数知识
点 P(x,y)到 y 轴的距离为 |x|。 点 P(x,y)到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离: X 轴上两点为 A ( x1 ,0) 、B ( x2 ,0) Y 轴上两点为 C (0, y1 ) 、D (0, y 2 ) 已知 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) AB|= |AB| ?| x2 ? x1 | |CD|
x2 ? y2

?| y 2 ? y1 |

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

9、中点坐标公式:已知 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) M 为 AB 的中点,则:M=( 10、点的平移特征: 在平面直角坐标系中,

x 2 ? x1 y ? y1 , 2 ) 2 2

将点(x,y)向右平移 a 个单位长度,可以得到对应点( x-a,y) ; 将点(x,y)向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点(x+a ,y) ; 将点(x,y)向上平移 b 个单位长度,可以得到对应点(x,y+b) ; 将点(x,y)向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点(x,y-b) 。 注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来, 从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

函数的基本知识:
基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的 值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把 x 称为自变量,把 y 称为因变量,y 是 x 的函数。 *判断 A 是否为 B 的函数,只要看 B 取值确定的时候,A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域: 定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 值域:一般的,一个函数的因变量所得的值的范围,叫做这个函数的值域。

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初中函数知识
4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。

5、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.

6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7:增减性(单调性) :增减性又叫单调性,分两种情况:单调增、单调减
单调增:y 随 x 的增大而增大 单调减:y 随 x 的增大而减小 口诀: “同增异减” , 注意:单调性只适用于单调区间,即有一个 X 只有唯一确定的 y 与之对应时。

8、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描 出表格中数值对应的各点) ; 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 。 9、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数 之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系, 但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

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初中函数知识
一次函数图象和性质
【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义:一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,称为正比倒函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式: y=kx+b (k≠0) 说明: ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数 2、解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0) 3、图像:一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(线 y=kx+b, 4、增减性(单调性) : k>0,y 随 x 的增大而增大(单调增) ;k<0,y 随 x 而增大而减小(单调减) 5、必过点: (0,b)和(-

b ,0)两点的一条直线,我们称它为直 k

b ,0) :理由如下:y=kx+b 中, k
, , )点 )点

⑴当 x=o,时,y= 所以,该函数经过( ⑵当 y=o,时,x= 所以,该函数经过(

所以,一次函数 y ? kx ? b 的图象是必经过( ?

b ,0)和(0,b)两点的一条直线., k

注:两点确定一条直线。画图时,可通过这两点来确定直线。
6、一次函数图像的画法:两点法

b ① 计算必过点(0,b)和(- ,0) k ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的直线)
7、增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. 8、倾斜度(只与 k 相关):|k|越大,图象越接近于 y 轴;|k|越小,图象越接近于 x 轴.

9、截点(与 b 有关) : (直线与 y 轴的交点,该点到原点的距离叫做截距) ①当 b>0 时直线与 y 轴交于原点上方(即 y 轴的正半轴) ;

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初中函数知识
②当 b<0 时,直线与 y 轴交于原点的下方。 (即 y 轴的负半轴) 10、图像的上下平移(只与 b 相关) :直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到. 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位;口诀“正上” 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. 口诀“负下” 例如:y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习:y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位 注:一次函数 y=kx+b 图像的平移,只与 b 有关,将 y=kx 的图像平移,平移方向: b 正 上移,b 负下移 11、一次函数

y ? kx ? b 的图象与性质
b>0 b<0 b=0(正比例函数) 经过:第一、二、三 象 限 经过:第一、三、四象限 经过:第一、三象限 不经过:第四象限 不经过:第二象限 不经过:第二、四象限

k>0

增减性(单调性):图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大,单调增 经过第一、二、四象限 不经过:第三象限 经过第二、三、四象限 不经过:第一象限 经过第二、四象限 不经过:第一、三象限

k<0

增减性(单调性):图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小,单调减 必过点:经过( ?

b ,0)和(0,b)两点,正比例函数即是经过原点(0,0) k

12、 两直线之间的位置关系 (平行或相交) :

(3)若直线l1 :y ? k1 x ? b1

l2 :y ? k 2 x ? b2

①平行: 当k1 ? k 2 时,l1 / / l2 ;当b1 ? b2 ? b时,l1 与l2 交于(0,b) 点。 ②相交:将两直线方程联立成一个方程组,{
y ? k 1 ? b1 y ? k 2 ? b 2 ,解得结果,即为交点。

13、二元一次方程组与一次函数的关系:两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 14、 应用:要点是(1)会通过图象得信息; (2)能根据题目中所给的信息写出表达式。 15、 【思想方法】数形结合 。巩固练习:试试画出 y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1 的图像

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初中函数知识
反比例函数图象和性质
【知识梳理】 一、反比例函数的基础知识 1、定义:一般地,形如 y ?

k ( k 为常数, k ? o )的函数称为反比例函数。 x
?1

y?
2、解析式: y ?

k 还可以写成 y ? kx x

k ( k 为常数, ) x

注:反比例函数解析式的特征:
①等号左边是函数 y , 等号右边是一个分式。 分子是不为零的常数 k(也叫做比例系数 k ) , 分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ②比例系数 k ? 0 ③自变量 x 的取值为一切非零实数。 (反比例函数有意义的条件:分母≠0) ④函数 y 的取值是一切非零实数。
3、增减性(单调性) : k>0,y 随 x 的增大而减小(单调减) ;k<0,y 随 x 增大而增大(单调增) 4、反比例函数的图象:双曲线 (1)图像的画法:描点法 ① 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)

(1) 是中心对称图形,对称中心是原点 ? ? ( 2 )对称性: ? ? ?(2) 是轴对称图形,对称轴是直线y ? x和y ? ? x
(3)反比例函数 y ?

k ( k 为常数, k ? 0 )中自变量 x ? 0 ,函数值 y ? 0 ,所以双曲线是不 x

经过原点,断开的两个分支(称为左、右支) ,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

k ? 0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小 ? ? ( 3) ? ? ?k ? 0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大

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初中函数知识
(4)比例系数 k 的几何含义(右图) :反比例函数 y= 几何意义,即过双曲线 y=

k (k≠0)中比例系数 k 的 x

k (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线,设垂足分 x

别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积)为 (由 y=

k

.

k 变形可得:k=xy 因为面积为正数,所以 k 取绝对值。 ) x

5、反比例函数性质如下表:

k 的符号

k>0
y

k<0
y

图像的大致位置

o

x

o

x

经过象限 增减性(单调性: 单调区间内讨论)



象限



象限

在每一象限内, 从左到右看, y 随 x 的增大而减小 ; (-∞,0)U(0,+∞)区间 内,单调减

在每一象限内,从左到右看 y 随 x 的增大而增大 (-∞,0)U(0,+∞)区间 内,单调增

图像的对称性

中心称图形,对称中心是原点; 同时,也是轴对称图形,对称轴是直线 y=x 和直线 y=-x

6、 【思想方法】 :数形结合

? ?(1)应用在P ? ? ? 73. 、 应用 ?( 2 )应用在u ? ? ?( 3)其它 ? ?

F 上 S S 上 t

其要点是会进行“数形结合”来解决问题

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二次函数图象和性质
【知识梳理】 一、二次函数的基础知识:
b, c 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。 1.定义:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a , c 可以为零. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b ,

二次函数的定义域(x 的取值范围) :全体实数,R.
b, c 是常数) 2. 解析式(表达式) :一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 , a , :

说明:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2.
b, c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. ⑵ a,
对于二次函数y ? ax 2 ? bx ? c,经过配方变形为顶点式:y=a(x+ b 2 4ac ? b2 b 4ac ? b2 )? , 其顶点坐标为(- , ) 2a 4a 2a 4a

补充:⑴二次函数解析式的表示方法(三种) ①一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; ②顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ;[抛物线的顶点 P(h,k)]
对于二次函数y ? ax 2 ? bx ? c,经过配方变形顶点式:y=a(x+ b 2 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 )? , 其顶点坐标为(- , ) 2a 4a 2a 4a

③两根式(交点式) : y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).

[仅限于与 x 轴有两个交点 A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即△≥0] 其中 x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac (即一元二次方程求根公式) , x2 ? 2a 2a

注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-

b 2a

k=

4ac ? b2 4a

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? 2a 2a

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只 有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化.

⑵二次函数 y ? a ? x ? h? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 的比较
2

从解析式上看, y ? a ? x ? h? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前
2

b ? 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? 者,即 y ? a ? x ? ? ? ,其中 h ? ? , . k? 2a ? 4a 2a 4a ?

2

3、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

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初中函数知识
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

4、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象的画法
五点绘图法: ① 利用配方法将二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定其开口方向、对称轴及 顶点坐标; c? 、 ② ②然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、 与 y 轴的交点 ? 0 ,
c ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , c ? 、与 x 轴的交点 ? x1 , 0 ? , ? x2 , 0 ? (若与 x 轴没有交点, 以及 ? 0 ,

则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 4、二次函数的图像:抛物线

对称轴:直线 x =(1)对称性:抛物线是轴对称图形。对称轴:直线

b ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛 2a

物线的顶点 P。特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0)
b 4ac ? b 2 ) (2)抛物线有一个顶点 P, 坐标为P(- , 2a 4a

当-

b =0 时,P 在 y 轴上;当Δ = b2 ? 4ac =0 时,P 在 x 轴上。 2a
y

5、a.b.c 与抛物线的关系( a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项) (1)a 决定抛物线的开口方向和大小: 开口方向:a 为正(a>0),开口朝上,有最小值; a 为负(a<0),开口朝下,有最大值; 开口大小:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (2)a、b 共同决定 对称轴:直线 x =-

y=5x2 y=x2
x

b 2a

ab 的符号决定对称轴 x ? ?

b 的位置,分两种情况: 2a

①当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左侧; ②当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右侧。
概括的说就是“左同右异” (3)常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。

抛物线与 y 轴交于(0,c) ,分三种情况:
⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.
b, c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要 a ,

6、抛物线与 x 轴交点个数

Δ = b2 ? 4ac >0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。A(x1,0)和 B(x2,0)

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初中函数知识
Δ = b2 ? 4ac =0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P ( ? Δ = b2 ? 4ac <0 时,抛物线与 x 轴没有交点。 配图:开口向上(开口向下,情况类似)
y

b ,0 ) 2a

△>0

y

△=0

y

△<0

A

B

x

P

x

x

7、类比一元二次方程的根的情况:

特别地,二次函数(以下称函数) y ? ax2 ? bx ? c 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程) ,即 ax 2 ? bx ? c ? 0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。
b ? 4ac ? b2 ? 8、二次函数 y ? a ? x ? ? ? 的图像和性质 2a ? 4a ?
2

a >0
y

a <0

图 开

象 O 口

x

对 称 轴 顶点坐标 最 增 减 性 9. 应用: (1)最大面积; (2)最大利润; (3)其它 值 当 x= 时, y 有最 值,y y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 当 x= 时, y 有最 值,y y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而

在对称轴左 侧 在对称轴右 侧

10、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
k? ; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h? ? k ,确定其顶点坐标 ? h ,
2

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初中函数知识
⑵ 保持抛物线 y ? ax2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h , k ? 处,具体平移方法如下:
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=ax2 y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 方法二: ⑴ y ? ax ? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? ax2 ? bx ? c ? m (或 y ? ax2 ? bx ? c ? m )
⑵ y ? ax ? bx ? c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c (或 y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c )

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初中函数知识
函数 y=kx+b(b>0)和 y=
?k (k≠0),在同一坐标系中的图象可能是( B x



A

B

C

D

在一次函数 y=2x-1 的图象上,到两坐标轴距离相等的点有( B ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、无数个
1 的图像上, x

若点(-2,y1) 、 (-1,y2) 、 (1,y3)在反比例函数 y ? 则下列结论中正确的是( D
A、



y1>y2>y3 B、y1<y2<y3 C、y2>y1>y3 D、y3>y1>y2 2 2 2 已知一次函数 y=(m -4)x+1-m 的图象在 y 轴上的截距与一次函数 y=(m -2)x+m -3 的图象在 y 轴上的截距
互为相反数,则 m=___-1____。

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